Spektrijoonte laienemine

Määra temperatuur, element ja pöörlemiskiirus, et näha, kumb kahest spektrijoont rohkem laiendab.

Näidisarvutus — Spektrijoonte laienemine

Termiline poollaius (1/e)	2,1779 × 10⁻² nm
Pöörlemise poollaius (max servanihe)	0 nm
Kombineeritud poollaius	2,1779 × 10⁻² nm
Kombineeritud FWHM	3,6265 × 10⁻² nm
Termiliste laiuste suhe Vesinik / Raud	7,443

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Spektrijoonte laienemine

Spektrijoonel endal pole märkimisväärset laiust. Laius, mida sa mõõdad, on seda joont tekitanud aatomite Doppleri nihete jaotus. Soojus annab igale aatomile meie vaatesuunal juhusliku kiiruse. Pöörlemise tõttu liigub tähe üks serv sinu poole ja teine eemale. Need mõlemad hägustavad üht ja sama joont. Kohale jõuab üksainus profiil, mille laius poolel maksimumil ongi arv, mida see leht arvutab.

Mida iga sümbol tähendab

FWHM: joone laius seal, kus selle sügavus on pool keskpunkti sügavusest
v sin i: reaalselt nähtav pöörlemiskiirus, mis varjab telje kaldenurka

Eeldab: Soojuskiiruste Maxwelli jaotust ja tahke kehana pöörlevat tähte. Kumbki eeldus pole täiesti täpne. Tõeline täht pöörleb ekvaatoril kiiremini kui poolustel. Siinsed kaks laiust liituvad ruutude summana vaid seetõttu, et mõlema profiili kuju on lähedane Gaussi jaotusele.
Ei kehti, kui: Suurel tihedusel, kus kumbki siin lehel toodud mehhanism enam tulemust ei määra. Põrked naaberosakestega katkestavad kiirgamise ja laiendavad joont rõhust sõltuval määral. Just nii eristatakse valget kääbust sama temperatuuriga hiidtähest, ning seda me siin üldse ei modelleeri.

Vesiniku joon on 7,443 korda laiem kui raual 🖖

Üks gaas temperatuuril 6000 K, üks joon H-α juures, kaks elementi. Vesiniku termiline 1/e poollaius on 2,1779 × 10⁻² nm; vajuta Raud ja sama joon samas gaasis annab tulemuseks 2,9261 × 10⁻³ nm. Suhtarvu rida näitab 7,443 ja see jääb paigale. Lohista temperatuur kuhu tahes vahemikus 1000 K kuni 50 000 K või liiguta lainepikkust üle kogu nähtava spektri. Mõlemad kõverad paisuvad ja kahanevad koos, kuid see üks arv püsib muutumatuna.

Temperatuur avaldub tegurina √T ja lainepikkus tegurina λ ning mõlemad korrutavad mõlemat laiust võrdselt, mistõttu nad taanduvad jagamisel välja. Järele jääb vaid masside suhte ruutjuur: √(55,845/1,008) = 7,443. Raua aatom on vesiniku aatomist 55 korda raskem, kuid kannab 6000 K juures sama kineetilist energiat. Seega liigub see vaatesuunal 7,443 korda aeglasemalt ning tekitab oma footonile 7,443 korda väiksema Doppleri nihke.

Laius on termomeeter ja kohale pole vaja minna 🖖

Valem Δλ = λ·√(2kT/(A·u·c²)) sisaldab ühte tundmatut. Konstandid on konstandid, λ loetakse otse spektrilt ning A pärineb perioodilisustabelist. Avalda sellest T ja mõõdetud joone laius annab sulle tagasi seda kiiranud gaasi temperatuuri. Just selles suunas tegelik spektroskoopia töötabki.

Vaata liugurilt, kuidas see toimib. Temperatuuril 6000 K on vesiniku poollaius 2,1779 × 10⁻² nm; lohista see väärtusele 24 000 K ja laius on 4,3559 × 10⁻² nm ehk täpselt kaks korda suurem, sest laius on võrdeline teguriga √T. Tulemuseks on seda konkreetset joont tekitanud aatomite kineetiline temperatuur, ja seda vaid siis, kui laiuse määrab puhtalt soojusliikumine, mis tähendab siin lehel, et pöörlemise liugur on 0 peal. Joont laiendavad ka turbulents ja rõhk, mistõttu spektroskopist võtab neid mõlemaid enne arvu uskumist arvesse. Teistpidi lugedes sõltub T laiuse ruudust, mistõttu 1% liiga laiana mõõdetud joon teatab gaasist, mis on 2% liiga kuum.

Pöörlemine edestab soojust 9,95 km/s juures, raual 1,34 km/s juures 🖖

Mõlemad mehhanismid venitavad joont proportsionaalselt väärtusega λ: soojusliikumine teguriga √(2kT/(A·u·c²)), pöörlemine teguriga v·sin i / c. Võrdsusta need ning lainepikkus taandub välja. Alles jääb kiirus, mis sõltub ainult temperatuurist ja massiarvust. Temperatuuril 6000 K on see vesiniku jaoks 9,95 km/s ja raua jaoks 1,34 km/s. Termiline pool sisaldab tegurit 1/√A, mistõttu on see sees ka nende üleminekukiiruses ning vesiniku oma on √(55,845/1,008) = 7,443 korda suurem kui raual. See arv on sama mis laiuste suhe ja täpselt samal põhjusel.

Vali raud ja lükka pöörlemise liugurit väärtusest 0 ülespoole. Juba 2 km/s juures on pöörlemine raua joone üle võtnud; vesinik peab vastu väärtuseni 10. Kiirusel 50 km/s on pöörlemisest tingitud laius 1,0946 × 10⁻¹ nm, mis on vesiniku termilisest laiusest viis korda suurem. Kaks profiili graafikul asuvad nüüd peaaegu teineteise peal. Mõlemad annavad nüüd teavet tähe pöörlemise ja mitte enam selle temperatuuri kohta. Tööriist kujutab tähte ekvaatori tasandilt vaadatuna, sin i = 1; täht, mis on kaldu pooluse suunas, säilitab oma termilised laiused ja kaotab pöörlemisest tingitud laiuse.

Ülesanne täielikult lahendatud

Laius, mida saab mõõta, ja temperatuur, mida ei saa 6 sammu
A-klassi täht temperatuuril 9600 K pöörleb piisavalt kiiresti, et v sin i = 150 km/s. Võta selle H-gamma joon, mis on õhus 434,05 nm, ja arvuta välja täislaius poolkõrgusel, mille sa mõõdaksid. Seejärel tee seda, milleks spekter sind vaikimisi üles kutsub: tõlgenda kogu see laius soojusliikumisena ja vaata, millise temperatuuri sa vastuseks saad.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Termiline laienemine algab ühe aatomi kiirusest vaatesuunal. Maxwelli-Boltzmanni gaas annab joonele Gaussi profiili laiusega λ√(2kT/(Auc²)) ning see laius on 1/e poollaius. See pole ei standardhälve, mis on √2 võrra väiksem, ega FWHM, mis on 1,6651 korda suurem, ja selle rea nimeks on pandud Termiline poollaius (1/e), nii et sa ei saa pakutavaga eksida. Vesiniku puhul temperatuuril 9600 K on juurealune väärtus 1,76211 × 10⁻⁹, selle ruutjuur on 4,19775 × 10⁻⁵ ja korrutatuna väärtusega 434,05 nm saame tulemuseks 1,8220 × 10⁻² nm.
  
  $Δ λ_{th} = λ \frac{2 k T}{A u c ^{2}} = 434.05 nm \times 1.76211 \times 1 0^{- 9} = 1.8220 \times 1 0^{- 2} nm$
2. Pöörlemine laiendab sama joont täiesti teistsuguse mehhanismiga. Lähenev serv kogeb sininihet suuruses λ v sin i / c ning eemalduv serv samaväärset punanihet, mistõttu profiil laotub üle kogu selle vahemiku. Jagades väärtuse 150 km/s suurusega c = 2,99792458 × 10⁵ km/s saame 5,00346 × 10⁻⁴ ning 434,05 nm korrutatuna sellega on 2,1718 × 10⁻¹ nm. Pane tähele, mida tööriist sinu eest eeldas: i = 90°, vaade ekvaatorilt, sin i = 1. Täht, mida vaadatakse rohkem pooluse suunast, peidab osa oma pöörlemisest ning ühe joone mõõtmine ei suuda sulle öelda, kumma juhuga on tegemist.
  
  $Δ λ_{rot} = \frac{λ v sin i}{c} = \frac{434.05 nm \times 150 km/s \times sin 9 0 ^{\circ}}{2.99792458 \times 1 0 ^{5} km/s} = 2.1718 \times 1 0^{- 1} nm$
3. Liida need kaks kvadratuuris. See on kahe Gaussi kõvera puhul täpne, aga pöörlemise tuum ei ole Gaussi funktsioon. Tööriist asendab selle sama 1/e poollaiusega Gaussi kõveraga ja on aus selle paari protsendi osas, mis see maksma läheb. √((1,8220 × 10⁻²)² + (2,1718 × 10⁻¹)²) = 2,1794 × 10⁻¹ nm. Vaata, mida termiline liige juurde andis: kombineeritud laius on kõigest 0,35% laiem kui pöörlemine üksinda.
  
  $Δ λ = Δ λ_{th}^{2} + Δ λ_{rot}^{2} = (1.8220 \times 1 0^{- 2})^{2} + (2.1718 \times 1 0^{- 1})^{2} = 2.1794 \times 1 0^{- 1} nm$
4. Väärtus, mille spektroskopist esitab, on FWHM, ja profiili puhul kujuga exp(−(x/Δλ)²) on see 2√(ln 2) korda poollaius. 1,6651 × 2,1794 × 10⁻¹ = 3,6289 × 10⁻¹ nm, mis on kirjas real Kombineeritud FWHM. Lohista pöörlemiskiirus nulli ja sama rida langeb väärtuseni 3,0339 × 10⁻² nm. See on kaksteist korda kitsam ning just sellist joont näitaks see täht siis, kui ta pöörlemise lõpetaks.
  
  $FWHM = 2 ln 2 Δ λ = 1.6651 \times (2.1794 \times 1 0^{- 1}) = 3.6289 \times 1 0^{- 1} nm$
5. Rida Termiliste laiuste suhe püsib väärtusel 7,443 olenemata sellest, mida sa temperatuuri või lainepikkusega teed, sest √(A_Fe/A_H) on ainus, mis pärast ülejäänu taandumist alles jääb. Vajuta nüüd Raud, jättes pöörlemiskiiruse endiselt 150 km/s peale. Raua termiline laius ongi 7,443 korda kitsam ehk 2,4479 × 10⁻³ nm ja selle kombineeritud laius on 2,1719 × 10⁻¹ nm võrrelduna vesiniku väärtusega 2,1794 × 10⁻¹. Kaks aatomit erinevad massi poolest 55 korda, kuid jooned, mida sa tegelikult mõõdaksid, erinevad teineteisest vaid kolmandiku protsendi võrra.
  
  $\frac{Δ λ _{H}}{Δ λ _{Fe}} = \frac{A _{Fe}}{A _{H}} = \frac{55.845}{1.008} = 7.443$
6. Pane termiline laius tagasi kiirusühikutesse, et näha üleminekupunkti asukohta. Δλ_th/λ on v_th/c, kus v_th = √(2kT/(Au)), mis on vesiniku puhul 9600 K juures 12,58 km/s. Tähe pind liigub 11,92 korda kiiremini kui selle enda aatomid vaatesuunal liiguvad. Allpool väärtust umbes 12,6 km/s on termiline liige kahest suurem ja laius mõõdab endiselt temperatuuri; sellest ülevalpool võtab pöörlemine juhtrolli üle ega peatu.
  
  $v_{th} = \frac{2 k T}{A u} = 12.58 km/s, \frac{v sin i}{v _{th}} = \frac{150}{12.58} = 11.92$
Vastus

Joone laius poolkõrgusel on 3,6289 × 10⁻¹ nm. Sisesta see laius termilisse valemisse, nagu pöörlemist polekski olemas, ja see annab sulle tagasi temperatuuri 1,37 × 10⁶ K. Seda põhjusel, et temperatuur asub laiuse valemis ruutjuure all ning tuleb sealt tagasi ruutu tõstetuna: (2,1794 × 10⁻¹ / 1,8220 × 10⁻²)² = 143,1 ja 143,1 × 9600 K ongi täpselt see koht, kuhu sa maandud. Tööriista temperatuuri liugur peatub 50 000 K juures, millest jääb kakskümmend seitse korda puudu. Tõelise mõõtmise päästab see, et kaks mehhanismi jätavad endast maha erinevad kujud – Gaussi kõvera ja peaaegu elliptilise laigu –, seega eraldab korralik profiilisobitus need seal, kus üksik laius seda mitte kunagi ei suuda.

$T^{'} = \frac{( Δ λ / λ ) ^{2} A u c ^{2}}{2 k} = (\frac{Δ λ}{Δ λ _{th}})^{2} T = 143.1 \times 9600 K = 1.37 \times 1 0^{6} K$

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.