Kepleri orbiitide simulaator

Demonstreeri Kepleri planeetide liikumise seadusi. Reguleeri orbiidi pooltelge, ekstsentrilisust ja keskmassi, et orbiiti animeerida ning näha kiirusvektorit ja võrdsete pindaladega sektoreid.

Näidisarvutus — Kepleri orbiitide simulaator

Kiirus periheelis	45.5 km/s
Kiirus afheelis	19.5 km/s

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Pindalaseadus on varjatud impulsimoment 🖖

Kepler tuletas oma kolm seadust, analüüsides aastaid Tycho Brahe erakordselt täpseid, palja silmaga tehtud vaatlusandmeid — aastakümneid enne, kui keegi teadis, miks planeedid peaksid nõnda käituma. Siin sisse-välja lülitatav seadus "võrdsed pindalad võrdsetes ajavahemikes" ei ole tegelikult geomeetria küsimus: see on impulsimomendi jäävuse otsene tagajärg, sest gravitatsioon tõmbab alati mööda otsejoont planeedi ja tähe vahel ega saa kunagi orbiiti külgsuunas väänata. Just seetõttu liigub planeet kõige kiiremini periheelis ja kõige aeglasemalt afheelis — impulsimomendi L = r×v jäävus sunnib kiiruse suurenema, kui r väheneb. Newtoni gravitatsiooniseadus, mida Kepler ise ei tundnud, seletaski lõpuks ära, miks tema juba geomeetriliselt avastatud muster pidi paika pidama.

Mida ekstsentrilisus tegelikult tähendab 🖖

Ekstsentrilisus on ainus arv, mida see liugur juhib - see mõõdab, kui välja venitatud on orbiit. Kui e = 0, saad täiusliku ringi; lükates seda 1 poole, venib ellips komeedi rajaks, kusjuures täht asub keskpunktist eemal ühes fookuses, mitte kunagi keskel. Üllatav on see, et Maa orbiidi ekstsentrilisus on e = 0.017 - peaaegu ring. Aastaajad tulenevad Maa telje kaldest, mitte muutuvast kaugusest Päikesest.

Miks ellips täpselt sulgub 🖖

Planeet joonistab igavesti täpselt sama ellipsi - ta ei triivi kunagi aeglaselt pöörlevaks rosetiks. See pole iseenesestmõistetav. Bertrandi teoreem tõestab, et ainult kaks jõuseadust lasevad seotud orbiitidel pärast üht tiiru sulguda: pöördruudu-gravitatsioon (1/r²) ja harmooniline vedrujõud (∝ r). Iga teine astmeseadus jätab orbiidid, mis kunagi päris ei kordu. Puhas suletud ellips on gravitatsiooni täpse 1/r² kuju sõrmejälg.

Ülesanded täielikult lahendatud

e = 0,4 orbiit Päikese massiga tähe ümber 5 sammu
Orbiidil on a = 1 AU ja e = 0.4 ümber Päikese massiga tähe. Leia kiirus mõlemas otsas ja seejärel leia suurus, mis jääb samaks kogu tiirlemise vältel.
1. Ellips pikema poolteljega a ja ekstsentrilisusega e jõuab lähimasse punkti väärtusel a(1−e) ja kaugeimasse väärtusel a(1+e). Need kaks raadiust on kogu geomeetria, mida ülesanne vajab.
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 0.6 AU, r_{a} = a (1 + e) = 1.4 AU$
2. Vis-viva võrrand annab kiiruse mis tahes raadiusel üksnes raadiuse ja pikema pooltelje põhjal. Tiirleva keha mass ega tema algukoht ei puutu üldse asjasse.
  
  $v = μ (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$
3. Arvuta väärtus mõlemas otsas. Ülalolev visualiseerija väljastab selle orbiidi jaoks täpselt need kaks arvu ning teeb seda samat võrrandit rakendades, mitte midagi simuleerides.
  
  $v_{p} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 + e}{1 - e} = 45.5 km/s, v_{a} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 - e}{1 + e} = 19.5 km/s$
4. Nüüd võta suhe ja vaata, kuidas tähe mass taandub välja. Kiiruste suhe sõltub ekstsentrilisusest ja ei millestki muust — mitte a-st ega tähest. Komeet ekstsentrilisusega e = 0.99 saabub 199 korda kiiremini, kui ta lahkub kaugeimast otsast.
  
  $\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} = \frac{1.4}{0.6} = 2.333$
5. See suhe on varjatud jäävuse seadus. Korruta kumbki kiirus oma raadiusega ja need kaks korrutist on võrdsed: impulsimoment massiühiku kohta on konstantne, seega mille orbiit võidab kauguses, selle peab ta kaotama kiiruses.
  
  $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a} ⟹ 0.6 \times 45.5 = 1.4 \times 19.5 = 27.3$
Vastus

45.5 km/s periheelis, 19.5 km/s afeelis, suhe on täpselt 2.333 = (1+e)/(1−e). Mõlemad raadiuse ja kiiruse korrutised on 27.3, mis on Kepleri teine seadus arvuna väljendatult: „võrdsete aegadega võrdsed pindalad“ reegel on lihtsalt rv = konstant. Sellepärast veedavad komeedid peaaegu kogu oma aja orbiidi välisosas ja läbivad sisesüsteemi nädalatega — see on fakt pindala, mitte gravitatsiooni tugevuse muutumise kohta.

$\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} (the constant is L = m r v)$
Aasta osa, mille planeet veedab aeglaselt orbiidi kaugemat poolt läbides 6 sammu
Paneel annab orbiidile perioodi 1,000 aastat ja paneb periheeli 0,6000 AÜ peale, afeeli 1,400 peale. See animeerib, kuidas planeet kaugemas pooles roomab, ega ütle kunagi, kui kaua ta seal viibib. Arvuta see välja — aasta murdosana, ainuüksi ekstsentrilisusest.
1. Alusta trükitust. Kaks apsiidi asuvad kohtades a(1−e) ja a(1+e), nii et see orbiit ulatub rohkem kui kaks korda kaugemale, kui ta lähedale tuleb.
  
  $T = a^{3/2} = 1.000, r_{p} = a (1 - e) = 1.00 (1 - 0.400) = 0.6000, r_{a} = a (1 + e) = 1.400$
2. Kepleri teine seadus on siin kogu tööriist, ja see on väide pindala, mitte kauguse kohta: juhtkiir katab võrdsetes aegades võrdsed pindalad. Seega on veedetud aeg kaetud pindala ja ei midagi muud.
  
  $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = const ⟹ Δ t \propto A$
3. Lõika ellips väiketelge mööda pooleks. Mõlemal poolel on sama pindala — aga Päike ei ole keskpunktis, vaid fookuses, nihkega c = ae. Sealt vaadates on kaugem pool poolellips pluss kolmnurk fookuse ja selle lõike vahel.
  
  $A_{f} = \frac{1}{2} π ab + \frac{1}{2} (2 b) (c), c = a e$
4. Jaga kogupindalaga ja peaaegu kõik taandub. Kaovad nii a kui ka b, ja alles jääb hämmastavalt puhas tulemus: murdosa on pool pluss ekstsentrilisus jagatud π-ga.
  
  $\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{b c}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π}$
5. Pane sisse selle orbiidi ekstsentrilisus. Peaaegu 63 % aastast kulub välimises pooles — planeet pole seal mitte ainult aeglasem, vaid veedab seal kaks kolmandikku oma elust.
  
  $e = 0.400 : \frac{1}{2} + \frac{0.400}{π} = 0.5000 + 0.1273 = 0.6273$
6. Nüüd Maa oma, mis on vaid 0,0167.
  
  $e = 0.0167 : \frac{1}{2} + 0.00532 = 0.50532, 2 (0.00532) (365.25) = 3.88 d$
Vastus

Orbiidi kaugema poole läbimiseks kulub ½ + e/π tiirlemisperioodist: ekraanil kujutatud orbiidi korral 62,73% ja Maa korral 50,53%. Viimane arv on väike, kuid siiski tähenduslik: väikese telje kaugemal poolel veedab Maa aastast 3,88 päeva rohkem kui lähemal poolel. Sama ekstsentrilisus selgitab teise sirge järgi jaotades ka aastaaegade ebavõrdset pikkust. Maa läbib periheeli jaanuari alguses, mistõttu langeb põhjapoolkera talv orbiidi kiiremale poolele ja kestab suvest umbes viis päeva vähem. Tuletuskäigus ei läinud vaja tiirlemisperioodi, massi ega orbiidi mõõtmeid. Määrav oli üksnes kuju.

$\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} : e = 0.400 \Rightarrow 62.73%, e = 0.0167 \Rightarrow 50.53%$

Õpitee

Orbiidid kahe arvu põhjal

Viib edasi Vis viva ellipsi ja kaks seda määravat arvu, milleks on pikem pooltelg ja ekstsentrilisus.

Allikad (2)

Kepler working from Tycho Brahe’s observations, and the laws themselves: J. Kepler, Astronomia Nova, 1609 — translated by W. H. Donahue as New Astronomy, Cambridge University Press, 1992. ISBN 978-0-521-30131-2.
Equal areas as conservation of angular momentum: H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., §3.2. Addison-Wesley, 2002. ISBN 978-0-201-65702-9.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Maa - Maa: peaaegu ringikujuline orbiit, e=0.017
Marss - Marss: märgatav ekstsentrilisus, e=0.093
Merkuur - Merkuur: suurim planeetide ekstsentrilisus, e=0.206
Halley komeet - Halley komeet: väga ekstsentriline, e=0.967