Päikese heleduse võrdlus

Kasuta valemit L/L☉ = (R/R☉)² (T/T☉)⁴, et hinnata tähe suhtelist ja absoluutset heledust.

Algväärtused — Päikese heleduse võrdlus

Raadius (R☉)	1
Temperatuur (K)	5772

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Päikese heleduse võrdlus

Heledus on kogu kiirgusvõimsus — iga vatt, mida täht korraga kõigis suundades kiirgab. See ei näita seda, kui hele täht paistab: nähtav heledus väheneb kauguse suurenedes, heledus aga mitte.

Mida iga sümbol tähendab

L: tähe heledus, mis on siin esitatud nii Päikese heleduste kordsena kui ka vattides.
R: tähe raadius. See esineb valemis ruudus, sest kiirgab tähe pind ning pindala on võrdeline suurusega R².
T: pinna efektiivne temperatuur kelvinites. Stefani-Boltzmanni seaduse järgi võetakse see neljandasse astmesse.
L☉: Päikese allindeks, mida kasutatakse ühikuna. Siia sisse ehitatud väärtused on IAU nominaalväärtused: L☉ = 3.828 × 10²⁶ W ja T☉ = 5772 K.

Kuidas nähtut lugeda

Kaks paneeli ning nende järjekord ongi põhiline. Esimene esitab heleduse suhtena Päikese heledusse otse avaldisest (R/R☉)²(T/T☉)⁴ — vaikeväärtuste korral on see 1 · 1 = 1 L☉. Alles teine teisendab suhte vattideks, korrutades selle läbi väärtusega L☉ = 3.828 × 10²⁶ W. Suhe ei vaja vähimatki füüsikalist konstanti; vattideks teisendamine vajab ühte.

Eeldab: Kera, mis kiirgab ühtsel temperatuuril ideaalse mustkehana. Päris tähed on ääretumendusega, pöörlemise tõttu lapikud ja kaetud plekkidega — ning efektiivne temperatuur on defineeritud kui mustkeha temperatuur, mis kiirgaks vaadeldavat võimsust, mistõttu kehtib neljanda astme seadus siin pigem definitsiooni kui mõõtmise alusel.
Ei kehti, kui: Miski siin ei arvesta sellega, mis jääb tähe ja teleskoobi vahele: tähtedevaheline tolm tuhmistab ja punastab valgust, mistõttu vajab vaadeldavast heledusest tuletatud heledus ekstinktsiooniparandust, mida see lehekülg ei modeleeri. Samuti ei ole tähe raadius selline pind, millel saaks seista — see on sügavus, kus gaas lakkab olemast läbipaistmatu.

Kahe tähe võrdlemiseks pole Stefan-Boltzmanni konstanti kunagi vaja 🖖

Jaotus näitab kõigepealt suhet ja alles siis vatte, ja see järjekord ei ole juhuslik. Kirjuta L = 4πR²σT⁴ üks kord tähe ja teine kord Päikese jaoks ning jaga: 4π ja σ on mõlemal real samad ja taanduvad, alles jääb (R/R☉)²(T/T☉)⁴. Ühikud taanduvad koos nendega, nii et kahest paljast suhtest piisab — tööriist annab Vega väärtuseks 42,7 Päikese heledust, enne kui ükski füüsikaline konstant mängu tuleb. Vatid ilmuvad alles teisel real, kus see 42,7 korrutatakse ühe Päikese heledusega, 3,828 × 10²⁶ W.

Temperatuur loeb rohkem kui suurus 🖖

Tähe kogu valgusväljund sõltub kahest asjast: kui suur ta on ja kui kuum on tema pind. Kuid temperatuur kaalub palju rohkem, sest see siseneb valemisse neljandas astmes, raadius aga vaid ruudus. Just seepärast paistab Veega — vaid 2,4 korda Päikese raadiusest — umbes 40 korda eredamalt: tema ligikaudu 9600 K pind teeb raske töö ära.

Kuum täht, mis on Päikesest tuhmim 🖖

Ainuüksi pinnatemperatuur ei tee tähte helendavaks — sõna saab ka suurus. Valge kääbus võib hõõguda 25 000 K juures, üle nelja korra kuumemalt kui Päike, ja kiirata ometi vaid mõne protsendi Päikese valgusest. Põhjus on tema Maa-suurune keha: raadiusega umbes 0,01 R☉ kahandab R²-liige väljundit vaatamata metsikule kuumusele. Kuum ei tähenda alati eredat.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Sea temperatuuriks pool Päikese omast, 2886 K. Kui suur peaks täht olema, et kiirata endiselt täpselt 1 L☉ — ja kus on vahetuskurss lehel otsesõnu kirjas?

Näita vastust

R = 4 R☉, ja jaotus näitab miks: 16 · 0.063 = 1 L☉. Raadiuse liige võidab täpselt selle 16-kordse teguri, mille temperatuuri liige kaotab. Vahetuskurss on plokis Local sensitivity — +1% T → +4% L versus +1% R → +2% L —, seega üks protsent temperatuuri on väärt kaks protsenti raadiust, ja poolituva temperatuuri korvamiseks on vaja neljakordset raadiust, mitte kahekordset.
Sea nüüd raadiuseks 10 R☉ Päikese temperatuuri juures, mis annab suhte 100. Mida näitab tähesuuruse rida ja miks on see arv nii ümmargune?

Näita vastust

Täpselt −5.00. Tähesuuruste skaala on defineeritud nii, et viis tähesuurust on tegur 100: ΔM = −2.5 log₁₀(L/L☉) ja log₁₀(100) = 2. Just seetõttu on üks tähesuurus ebamugav 100^(1/5) ≈ 2.512 ega midagi puhtamat — ümmargusus pandi teguri 100 juurde ja pidi kuskilt tulema. Pane tähele ka märki: heledam on väiksem, nii et 100 korda Päikesest heledam täht jääb viis tähesuurust allapoole.

Ülesanded täielikult lahendatud

Riigeli heledus ja tähesuuruse nihe 78,9 Päikese raadiuse juures 6 sammu
Rigel: 78,9 Päikese raadiust temperatuuril 12 100 K. Arvuta selle heledus ja tähesuuruse nihe, seejärel ütle, kumbat kahest sisendist mõõdaksid pigem täpselt. See on olek Rigel.
1. Kogu tööriist on üks võrrand ja see on Stefani seadus jagatuna iseendaga. Kõik taandub välja, välja arvatud need kaks suhet.
  
  $L = 4 π R^{2} σ T^{4} ⟹ \frac{L}{L _{⊙}} = (\frac{R}{R _{⊙}})^{2} (\frac{T}{T _{⊙}})^{4}$
2. Arvuta tegurid eraldi, sest tuum seisneb selles, kui erinevad need on. Raadius annab kolm suurusjärku, temperatuur vaevalt rohkem kui ühe.
  
  $(\frac{R}{R _{⊙}})^{2} = 78. 9^{2} = 6.225 \times 1 0^{3}; (\frac{12100}{5772})^{4} = 2.096 3^{4} = 19.311$
3. Korruta need läbi ning skaleeri seejärel Päikese heledusga, et lahkuda mõõtmeteta maailmast.
  
  $\frac{L}{L _{⊙}} = 6225 \times 19.311 = 1.202 \times 1 0^{5} ⟹ L = 4.602 \times 1 0^{31} W$
4. Tähesuurused on −2,5 log₁₀ kiirgusvoogude suhtest, seega tegur 120 000 muutub 12,7 tähesuuruse võrra heledamaks. Miinusmärk on astronoomide kokkulepe, et heledam tähendab väiksemat.
  
  $Δ M = - 2.5 lo g_{10} (1.202 \times 1 0^{5}) = - 2.5 \times 5.080 = - 12.70$
5. Tundlikkuse read on lihtsalt astendajad, mida loetakse elastsustena. See on kasulik kuju, kui otsustad, mida mõõta.
  
  $\frac{\partial ln L}{\partial ln T} = 4, \frac{\partial ln L}{\partial ln R} = 2 ⟹ + 1% T \to + 4% L$
6. Teisenda suhe kestuseks ja see ei ole enam abstraktne.
  
  $\frac{1.202 \times 1 0 ^{5} days}{365.25} = 329 years of sunlight, per day$
Vastus

Temperatuur kahekordselt, raadius aga kolmesajakordselt. Siin pole vastuolu: esimene näitab suhtelist, teine absoluutset mõju. Stefani seaduses on temperatuuri astendaja 4 ja raadiuse astendaja 2, seega mõjutab 1% viga temperatuuris tulemust kaks korda rohkem kui 1% viga raadiuses. Seda tundlikkust näitab ka paneel. Rigeli raadius on aga 78,9 Päikese raadiust, temperatuur kõigest 2,1 Päikese temperatuuri. Seetõttu annab raadiuse tegur 120 000-st 6 225, temperatuuri tegur vaid 19,3. Astendaja ütleb, millist mõõtmist tuleb eriti hoolikalt teha; väärtus näitab, millest kiirgusvõimsus tegelikult tuleneb. Rigel kiirgab ühe päevaga sama palju energiat kui Päike 329 aastaga.

$\frac{L}{L _{⊙}} = (\frac{R}{R _{⊙}})^{2} (\frac{T}{T _{⊙}})^{4} = 1.202 \times 1 0^{5}, Δ M = - 12.70$
Proxima Centauri heledus 0,1542 Päikese raadiuse ja 3042 K juures 5 sammu
Proxima Centauri: 0,1542 Päikese raadiust temperatuuril 3042 K. Leia selle heledus ning seejärel kontrolli tähesuuruste skaalat, võrreldes seda Rigeliga. See on olek Proxima Centauri.
1. Samad kaks tegurit, mõlemad nüüd alla ühe. Pane tähele, et temperatuuri suhe on vaevalt pool, kuid viib siiski kolmeteistkordse tegurini, sest see tõstetakse neljandasse astmesse.
  
  $(\frac{R}{R _{⊙}})^{2} = 0.154 2^{2} = 0.02378; (\frac{3042}{5772})^{4} = 0.527 0^{4} = 0.07713$
2. Korrutis on 1,834 × 10⁻³ Päikesest — 1 osa 545-st —, mispärast ongi meile lähim täht ilma teleskoobita nähtamatu.
  
  $\frac{L}{L _{⊙}} = 0.02378 \times 0.07713 = 1.834 \times 1 0^{- 3} ⟹ L = 7.022 \times 1 0^{23} W$
3. Alla ühe jääv heledus annab positiivse tähesuuruse nihke — 6,84 tähesuuruse võrra Päikesest tuhmim.
  
  $Δ M = - 2.5 lo g_{10} (1.834 \times 1 0^{- 3}) = + 6.84$
4. Nüüd ristkontroll. Võta otse kahe heleduse suhe.
  
  $\frac{L _{Rigel}}{L _{Proxima}} = \frac{1.202 \times 1 0 ^{5}}{1.834 \times 1 0 ^{- 3}} = 6.55 \times 1 0^{7}$
5. Seejärel võta kahe tähesuuruse vahe ja pöörda logaritm. Need kaks teed peavad kokku langema, ja just kokkulangemine ütlebki sulle, et tähesuuruste skaala on logaritm ja mitte midagi muud.
  
  $Δ M_{Proxima} - Δ M_{Rigel} = 6.84 - (- 12.70) = 19.54; 1 0^{19.54/2.5} = 6.55 \times 1 0^{7}$
Vastus

1,834 × 10⁻³ L☉ ja Rigel ületab seda heleduselt 6,55 × 10⁷ korda. Kontroll ongi asja mõte: kaks tähesuuruse nihet on −12,70 ja +6,84, mis teeb vaheks 19,54 tähesuurust, ning 10^19,54/2,5 on 6,55 × 10⁷ — täpselt sama arv, mille annavad heledused otse. See ei ole juhus, vaid definitsioon; tähesuuruste skaala kohandati inimsilma reaktsioonile teisel sajandil eKr ning formaliseeriti täpselt viieks tähesuuruseks iga 100-kordse teguri kohta 1856. aastal. Mõlemad Proxima tegurid töötavad siin kahanevalt, raadius ja temperatuur koos, mis selgitabki, miks raadiuselt Päikesest 6,5 korda väiksem täht on lõpuks 545 korda tuhmim.

$1.834 \times 1 0^{- 3} L_{⊙}, Δ M = + 6.84; 19.54 mag = 1 0^{19.54/2.5} = 6.55 \times 1 0^{7}$

Õpitee

Kui kaugel see on?

Viib edasi Tähesuurus tähe tegeliku kiirgusvõimsuse Päikese kiirgusvõimsuse kordsena.

Allikad (1)

Where L☉ = 3.828 × 10²⁶ W and T☉ = 5772 K come from — the IAU 2015 nominal values this page uses: A. Prša et al., “Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3.” The Astronomical Journal 152, 41, 2016.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-09-03

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Astronoomia & Kosmos õppetunnid →

Näiteülesanded

Proxima Centauri - Proxima: väike raadius ja madal temperatuur annavad väga väikese heleduse.
Päike - Päikese võrdlusjuhtum: täpselt 1 L☉ normeeritud definitsiooni järgi.
Vega - Vega: kuumem fotosfäär ja suurem raadius annavad palju suurema heleduse.
Rigel - Rigeli-taoline ülihiid: nii suurus kui temperatuur põhjustavad tohutu heleduse.