Kristallide pakkimistihedus: kui tihe on metall?

Vali metall või sisesta ise kristallstruktuur, võreparameeter ja molaarmass. See leht leiab punktid, kus aatomid puutuvad kokku, ja arvutab selle põhjal raadiuse. Seejärel leitakse, kui suure osa kristallist aatomid täidavad, kui palju ruumi jääb iga aatomi kohta ja milline on sellest tulenev tihedus. Aatomeid käsitletakse siin jäikade sfääridena. See on aga eeldus, mille kaks alltoodud selgitust kolmest ümber lükkavad.

Näidisarvutus — Kristallide pakkimistihedus: kui tihe on metall?

Aatomeid ühes rakus	4
Lähinaabrid	12
Lähinaabrite vahekaugus	2,5562 Å
Puutuvate sfääride raadius	1,2781 Å
Raku ruumala	47,240 Å³
Pakkimistihedus	74,05%
Ruumala aatomi kohta	11,810 Å³
Tihedus võre põhjal	8,935 g/cm³

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kristallide pakkimistihedus: kui tihe on metall?

Kristall kujutab endast üht korduvat elementaarrakku. Selle aatomite loendamisel tuleb arvestada nende jagamist: nurgas asuv aatom kuulub kaheksale rakule, tahul asuv kahele. Pakkimistihedus on aatomite poolt hõivatud raku ruumala osa, kusjuures iga aatom on sfäär, mis vaevu puudutab oma lähinaabreid: φ = n · (4/3)πr³ / V, kus raadius r on pool lähinaabrite vahekaugusest. Seesama rakk annab ka tiheduse ρ = nM / (N_AV), sest see sisaldab n teadaoleva massiga aatomit.

Mida iga sümbol tähendab

a: võreparameeter: kuubilise raku serv või heksagonaalse põhja serv, mida mõõdetakse röntgen- või neutrondifraktsiooni abil
n: aatomite arv rakus, kus nurga aatom loetakse väärtusega ⅛ ja tahu aatom väärtusega ½
r: puutuvate sfääride raadius ehk pool aatomikeskmete lühimast vahekaugusest
φ: pakkimistihedus ehk sfääride sisse jääv osa raku ruumalast

Eeldab: Eeldatakse, et aatomid on ühe raadiusega jäigad sfäärid, mis puutuvad kokku piki võre lühimat vahemaad. Võreparameetrid kujutavad toatemperatuuril väärtusi Wyckoffi 1963. aasta kogumikust. Eranditeks on raud 912 °C juures ja poloonium 283 K juures. Kristall on täiuslik: puuduvad tühimikud või lisandid, sel on üks kindel isotoopide segu ja standardne aatommass. Iga siin lehel esitatud tihedus vastab sellise ideaalkristalli röntgentihedusele. Reaalse proovi poorid ja vakantsid saavad seda näitajat ainult vähendada.
Ei kehti, kui: See eeldus murdub igal pool, kus aatom pole jäik sfäär. Leht ise näitab seda kahel korral. Raua raadius muutub naabrite tõttu 2,52% ja tsingi c/a suhe reedab, et kihtidevahelised sidemed erinevad kihtidesisestest. Sfääride eeldus ei kehti ka ühendite puhul, kus kaht tüüpi ioonidel on erinevad raadiused ning mis pakitakse teistsuguste reeglite järgi. Lõpuks murdub see miljardikosa tasemel. Just seal tuleb täpselt mõõta vakantse, lisandeid ja isotoopide segu, nii nagu tehti Avogadro projekti raames.

Tahkkeskendatud kuupvõre ja heksagonaalne tihepakend täidavad ühtemoodi 74,05% ning ükski teine ühesuuruste sfääride paigutus ei täida ruumi rohkem 🖖

Laota sfäärid tasapinnalisse kihti ja igaüks neist puutub kokku kuuega. Järgmine kiht asetub süvenditesse, aga kolmandal kihil on valikuvõimalus. See võib asetseda otse esimese kohal (ABAB), mis annab heksagonaalse tihepakendi. See võib minna ka teise kihi jäetud vabadesse süvenditesse (ABCABC), mis moodustab tahkkeskendatud kuupvõre. Mõlemal juhul puutub iga sfäär kokku kaheteistkümnega ja need täidavad ruumist π/(3√2) = 74,05%. Vajuta nupule Vask ja muuda seejärel struktuur heksagonaalseks. Kuna leht kasutab esmalt ideaalset c/a suhet, on tulemuseks täpselt sama arv. Johannes Kepler pakkus juba 1611. aastal, et paremini polegi võimalik. Thomas Halesi osaliselt arvutil põhinev tõestus ilmus alles 2005. aastal. Sellele järgnes 2017. aastal formaalne versioon, mille iga samm oli masinaga läbi kontrollitud. Ruumkeskendatud kuupvõre paistab peaaegu sama tihe. Sel on küll kaheksa naabrit ja veel kuus tükki paiknevad vaid 15% kaugemal, aga ruumitäide on 68,02%.

Raud muutub 912 °C juures kuumutades 1% tihedamaks, ehkki jäigad sfäärid ennustavad 8% muutust 🖖

Vajuta Raud alla 912 °C ja seejärel Raud üle 912 °C. Ruumkeskendatud raual on a = 2,9058 Å ning see jätab igale aatomile 12,268 Å³. Tahkkeskendatud raual on samal temperatuuril a = 3,6487 Å, mis annab iga aatomi ruumalaks 12,143. See on 1,02% vähem ruumi. Nii muutubki raud faasisiiret läbides tihedamaks ja dilatomeeter näeb kangi lühenemist, ehkki ahi alles kuumeneb. Fikseeritud suurusega sfäärid oleksid kahanenud 8,14% võrra, mis on vahe 68,02% ja 74,05% vahel. Nii aga ei lähe. Aatomi suurus pole muutumatu: kummagi võre põhjal arvutades on raua raadius ruumkeskendatud vormis 1,2583 Å ja tahkkeskendatud vormis 1,2900 Å. Kaheteistkümne naabriga on see seega 2,52% suurem kui kaheksaga. Ka 1955. aasta röntgenmõõtmised kinnitavad täpselt sama nähtust, andes muutuseks 1,04%.

Tsinki nimetatakse heksagonaalseks tihepakendiks, kuid see paikneb hõredamalt kui raud 🖖

Heksagonaalsed kihid on tihedalt pakitud vaid siis, kui raku kõrgus on √(8/3) = 1,6330 korda suurem selle laiusest. Nii asuvad aatomi kuus naabrit järgmises kihis sama lähedal kui kuus naabrit samas kihis. Magneesium jõuab suhtega 1,6235 sellele üsna lähedale, täites 73,62%. Vajuta nüüd Tsink. Selle c/a on 1,8563. Kihid seisavad üksteisest eemal: järgmise kihi aatomid paiknevad 2,9128 Å kaugusel, võrreldes 2,6648 Å kaugusega sama kihi piires. Nad asuvad 9,31% kaugemal ja nii täidab tsink kihtides puutuvate sfääridena kokku vaid 65,14% ruumist. Seda on isegi vähem kui ruumkeskendatud raua 68,02% juures – ometigi ei nimeta keegi viimast tihepakendiks. Sama kehtib kaadmiumi kohta (64,12%). Struktuuri nimi viitab pelgalt kihtide ladumise järjekorrale ABAB. Kas aga paigutus tegelikult ka tihe on, sõltub c/a suhtest. Tsingi puhul näitab see selgelt, et kihtidevahelised sidemed pole samad mis kihtidesisesed. Sfäärimudel ei suuda seda tõsiasja aga kuidagi edasi anda.

Ülesanne täielikult lahendatud

Avogadro arvu arvutamine ränisfääri abil 4 sammu
Aastal 2017 raporteeris International Avogadro Coordination 1 kg raskusest ränisfäärist, mis oli rikastatud 99,9985% ulatuses isotoobiga räni-28. Selle molaarmass oli 27,976942674 g/mol, võreparameeter 543,0996218 pm ja tihedus 2320,068748 kg/m³. Ränil on teemantvõre. Mitu aatomit on ühes moolis?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Teemandi elementaarrakk sisaldab kaheksat aatomit: kaheksa asub nurkades osaga ⅛, kuus tahkudel osaga ½ ja neli täielikult sees.
  
  $n = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} + 4 = 8$
2. Selle ruumala on a³, mis võreparameetriga a = 5,430996218×10⁻⁸ cm annab tulemuseks 1,6019114×10⁻²² cm³.
  
  $a^{3} = (5.430996218 \times 1 0^{- 8} cm)^{3} = 1.6019114 \times 1 0^{- 22} c m^{3}$
3. Raku mass on tihedus korrutatud ruumalaga, ehk 2,320068748 g/cm³ × 1,6019114×10⁻²² cm³ = 3,7165447×10⁻²² g. Seega kaalub üks aatom sellest kaheksandiku, täpsemalt 4,6456808×10⁻²³ g.
  
  $m_{cell} = ρ a^{3} = 2.320068748 \times 1.6019114 \times 1 0^{- 22} = 3.7165447 \times 1 0^{- 22} g m_{atom} = \frac{m _{cell}}{8} = 4.6456808 \times 1 0^{- 23} g$
4. Üks mool selliseid aatomeid kaalub 27,976942674 g. Jagades selle ühe aatomi massiga, saamegi nende arvu.
  
  $N_{A} = \frac{M}{m _{atom}} = \frac{8 M}{ρ a ^{3}} = \frac{27 . 976942674}{4 . 6456808 \times 1 0 ^{- 23}}$
Vastus

N_A = 6,022140516×10²³ mooli kohta. See on täpselt sama arv kõigi kümne numbrikoha ulatuses, mis uuringus selle sfääri kohta esitati. See leht teeb sedasama arvutust tavapärases suunas. Vajutades Räni, annavad loodusliku räni 5,4307 Å, kaheksa aatomit ja 28,085 g/mol tiheduseks 2,329 g/cm³. Kuna 2019. aastast on Avogadro konstant fikseeritud väärtusele 6,02214076×10²³, käib mõõtmine nüüd vastupidises suunas – loendatud aatomitelt liigutakse massile. Tegemist on praegu ühega kahest kõige täpsemast meetodist, mille abil kilogrammi definitsiooni realiseeritakse.

$N_{A} = 6.022140516 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$

Allikad (3)

Every room-temperature lattice parameter on the page, entry by entry, from Wyckoff's compilation as the Crystallography Open Database transcribes it: R. W. G. Wyckoff, Crystal Structures, vol. 1, 2nd edition. Interscience, New York, 1963; entries 9008460-9008565 of the Crystallography Open Database (crystallography.net). Polonium: W. H. Beamer and C. R. Maxwell, J. Chem. Phys. 17, 1293 (1949), COD 1509138.
Iron's two lattice parameters at 912 °C, from neutron diffraction in the furnace: M. Onink, C. M. Brakman, F. D. Tichelaar, E. J. Mittemeijer, S. van der Zwaag, J. H. Root and N. B. Konyer, "The lattice parameters of austenite and ferrite in Fe-C alloys as functions of carbon concentration and temperature." Scripta Metallurgica et Materialia 29(8), 1993, pp. 1011-1016. DOI 10.1016/0956-716X(93)90169-S
The silicon-28 sphere of the worked problem, and the Avogadro constant it gave: G. Bartl, P. Becker, B. Beckhoff et al. (33 authors), "A new ²⁸Si single crystal: counting the atoms for the new kilogram definition." Metrologia 54(5), 2017, pp. 693-715. DOI 10.1088/1681-7575/aa7820

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.