Interaktiivsed matemaatika- ja teadusõppetunnid (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧
Õppetund
Fourier’ rida on väide, et iga perioodiline laine, olgu ta kui sakiline tahes, on puhaste siinuste summa, mille sagedused on ühe põhisageduse täisarvkordsed. Summa ehitatakse liige liikme haaval ja joonistatakse sihtkuju peale. Huvitav sõna on võrdub: summa jõuab sihini kõikjal, kus siht on pidev, ja rida Peak ongi see koht, kust saad teada, mis juhtub seal, kus ta seda ei ole.
NkaₖPeakmax|fN(x)|, osasumma kõrgeim punkt. Sihi amplituud on 1, nii et see rida küsib tegelikult: kas summa läks üle?1.273 sin(x) + 0.4244 sin(3x) + 0.2546 sin(5x) + …, mis on 4/(kπ) väärtustel k = 1, 3, 5. Midagi ei ole sobitatud — kordajad tulevad integraalist ja igal lainekujul on omad.f(x + π) = −f(x): nihuta neid pool perioodi ja nad pöörduvad ümber, mida paarisharmooniline teha ei suuda. Saehambal sellist sümmeetriat ei ole ja seetõttu vajab ta iga harmoonilist — mida rida „Harmonics used“ otse välja ütlebki.4/π = 1.273 ja kahaneb nagu 1/k; kolmnurk annab 8/π² = 0.8106 ja kahaneb nagu 1/k²; saehammas annab 2/π = 0.6366 ja kahaneb nagu 1/k. Kiirem kahanemine tähendab sama täpsuse saavutamiseks vähem liikmeid — just seepärast paistab kolmnurk valmis ammu enne kaht teist.Sea kujuks kolmnurk ja kasvata N-i ühest ülespoole: tipp näitab 0.8106, 0.9006, 0.9331, 0.9596 … 0.9899 kui N = 20. Ta tõuseb altpoolt ühe suunas ega ületa seda kunagi. Lülitu nüüd ruudule: 1.273, 1.2, 1.188, 1.182 … ja siis ta lihtsalt jääb seisma, 1.179 peal, ja ükski järgmine harmooniline teda enam ei liiguta. Lõpuks saehammas: 0.6366, 0.827, 0.9185, siis 1.008 kui N = 5 — ta ületab ühe — ja N = 20 juures on ta 1.131 peal ja tõuseb edasi. Kolm kuju ja kolm täiesti erinevat lugu ühel real. Saehammas on see, mis eksitab: teda üksi vaadates järeldaksid, et ülevõnge kasvab piiramatult. Ei kasva. Ta liigub sama 1.179 poole nagu ruutki, lihtsalt altpoolt.
(2/π)·Si(π) = 1.17898…, ja harmooniliste lõputu lisamine teeb piigi kitsamaks, mitte madalamaks. Nii koondub rida ruudule igas üksikus punktis ja mitte kunagi ühtlaselt — täpselt see vahe, mille õpetamiseks kogu nähtus olemas on. See seletab ka näilise vastuolu sellel lehel: ülalolev tähelepanek räägib umbes 8.95%-st ja see rida 17.9%-st. Mõlemad on õiged — 0.179 amplituudi 1 suhtes on 0.0895 hüppe 2 suhtes. Michelson kohtas piiki 1898. aastal oma harmoonilisel analüsaatoril ja kahtlustas masinaviga; Gibbs kirjutas järgmisel aastal ajakirjale Nature, et seda teeb matemaatika, mitte messing.FOURIER’ TEOORIA — MIKS MÕNI LAINE VAJAB ROHKEM HARMOONIKUID
Iga perioodiline laine on siinuste summa. Mitut neist vajad, enne kui summa õige välja näeb, pole maitse küsimus — selle määrab ära, kui sile sihtlainekuju on. Hüpe maksab palju rohkem harmoonikuid kui nurk, sümmeetria poolitab töö tasuta ja üks kindel viga ei kao kunagi, ükskõik kui palju liikmeid lisad.
01
Lainekujul on: Püstine hüpe kahe taseme vahel ja lisaks poollaine sümmeetria.
Kordajate kahanemine: cn ∝ 1/n, n = 2k+1
Mida näed: 10 harmoonikut annavad teravad servad, mis ikkagi ületavad umbes 9% hüppe kõrgusest.
Ava see juht: ruutlaine, 10 harmoonilist
02
Lainekujul on: Üks hüpe perioodi kohta ja poollaine sümmeetriat, mis midagi kustutaks, pole.
Kordajate kahanemine: cn ∝ 1/n, ∀n
Mida näed: 10 harmoonikut: võnkumine igal hüppel ja iga harmoonik 1, 2, 3 … annab oma panuse.
Ava see juht: saehammaslaine, 10 harmoonilist
03
Lainekujul on: Laine ise on pidev; hüppab ainult selle tõus.
Kordajate kahanemine: cn ∝ 1/n2, n = 2k+1
Mida näed: 8 harmoonikut on juba peaaegu täpselt sihil, ilma igasuguse ületuseta.
Ava see juht: kolmnurklaine, 8 harmoonilist
04
Lainekujul on: Katkestasid summa väikese N juures. Küsimus on, mis maha jäi.
Kordajate kahanemine: ε ≈ ∑n>N cn
Mida näed: Ristkülik n = 1 juures on üksainus siinus: õige periood, kujust mitte midagi.
Ava see juht: ruutlaine, 1 harmooniline
Viis kantlainet aproksimeerivat siinuslainet ulatuvad sellest üle, saavutades väärtuse 1,182 kantlaine 1 vastu. Selgita välja, kas liikmete lisamine parandab olukorra.
Kantlaine on paaritu ja poollainesümmeetriline, mis kaotab iga paarisarvulise harmooniku enne mis tahes arvutuste tegemist. Viis liiget tähendab seega, et k = 1, 3, 5, 7, 9 — paneeli harmoonikute loend on sümmeetria tagajärg, mitte seadistus.
Osasumma ulatub hüppekoha lähedal üle. Kui N = 5, on tipp 1,182 ja RMS 0,979, mis on juba lähedal täpse laine RMS-väärtusele 1 — seega on energia peaaegu õige, kuid kuju serva lähedal mitte.
Nüüd katseta ilmselget lahendust. Kui N = 1, on tipp 1,273; kui N = 5, siis 1,182; kui N = 50, siis 1,179; kui N = 200, siis 1,17898.
See koondub — kuid mitte väärtuseks 1. Piirväärtus on (2/π)·Si(π) = 1,17898 ning üleheide ei kao ühegi liikmete arvu korral.
Juhtub aga see, et üleheide muutub kitsamaks. See nihkub katkevuskoha poole ja võtab enda alla järjest väiksema laiuse, mis tõttu ruutkeskmine viga läheneb nullile, kuigi tipu viga seda ei tee.
Vastus
Tööriist väljastab N = 5, harmoonikud 1, 3, 5, 7, 9, tipu 1,182 ja RMS-i 0,979. Tulemus, mida meeles pidada, on see, et tipp koondub 1,17898-le, mitte 1-le. See on Gibbsi nähtus ja sellele viitamine nõuab ettevaatust: üleheide on 8,95% hüppest — ja see laine hüppab 2 võrra, vahemikus −1 kuni +1, seega on sama fakt väljendatav kui 17,9% amplituudist. Mõlemad arvud on õiged ja kumbki pole teine. Samuti ei ole see arvutuslik artefakt: just selline näeb välja punktiviisiline koonduvus, kui piirväärtus on katkev, ning seepärast tekitavad teravad servad müra JPEG-vormingus ja helifiltrites.
Õpitee
