Logaritmi uurija

Vaata, kuidas aluse muutmine kõverat kujundab, võrdle seda reaalajas funktsioonidega ln(x) ja log₁₀(x) ning mõista, miks logaritmid muudavad korrutamise liitmiseks.

Algväärtused — Logaritmi uurija

ln(x) — naturaallogaritm	on
log₁₀(x) — kümnendlogaritm	on
x väärtus	2

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Logaritmi uurija

Logaritm on astendaja. log_b(x) tähistab astendajat, millega tuleb arvu b astendada, et saada x. Nii on log_b(x) = y ja b^y = x üks ja sama väide, mida loetakse lihtsalt kahes suunas.

Mida iga sümbol tähendab

b: alus ehk arv, mida astendatakse. Sobib iga positiivne väärtus, välja arvatud 1. Arvu 1 astendamine annab tulemuseks alati 1, seega ei jõuaks see kunagi erineva x-i väärtuseni.
x: argument ehk väärtus, milleni soovid jõuda. See peab olema positiivne, sest positiivse aluse ükski reaalne aste ei anna tulemuseks nulli ega negatiivset arvu.
y: vastus, mis ongi astendaja ise. Sellele piiranguid ei ole. Olenemata alusest on vastus täpselt 0, kui x on 1. Kui alus on suurem kui 1, on vastus negatiivne piirkonnas, kus x on väiksem kui 1, ning positiivne igal pool mujal. Kui alus on väiksem kui 1, vahetavad need kaks poolt kohad, mis ongi halfBase'i olukord.

Kust valem tuleb

Alustame definitsioonist. Kui log_b(x) = y, siis b^y = x.
Võtame mõlemast poolest naturaallogaritmi. Mida teed ühele poolele, pead tegema ka teisele: ln(b^y) = ln(x).
Astme reegel toob astendaja ette, andes ln(b^y) = y·ln(b). Järele jääb y·ln(b) = ln(x).
Jagame avaldisega ln(b), mille tulemusel saame y = ln(x) / ln(b). See on uuele alusele ülemineku valem, mida näed ka ülaloleval paneelil. Aluse 2 ja x = 2 korral on selle kuju 0.69 / 0.69 = 1.

Kuidas nähtut lugeda

Joonisele on tõmmatud kolm kõverat. Esimene on sinu kõver sinu valitud alusega. Sellele lisanduvad ln(x) ja log₁₀(x), mis on püsivad võrdluspunktid. Kõik kolm läbivad väikest punkti asukohas (1, 0), sest iga alus astmes 0 annab tulemuseks 1. Suurem punkt paikneb seal, kus argument ja alus on võrdsed ehk kohas (b, 1). Seega libiseb see alust lohistades mööda kõverat. Kursoriga graafikul liikudes näed kõikide kolme logaritmi väärtust just sellel konkreetsel x-il.

Eeldab: b > 0, b ≠ 1 ja x > 0. Need ei ole lihtsalt formaalsed nõuded. Just nendel tingimustel on küsimusel „millisesse astmesse tuleb astendada b, et saada x?“ täpselt üks reaalne vastus.
Ei kehti, kui: Alus 1 on põnev erand. Põhjus selgub 4. sammus, kus tuletuskäigu jagaja on ln(b). Kuna ln(1) = 0, on väärtus määramata, mitte lihtsalt väga suur. Sellesse punkti ei saa püsima jääda. Kui sisestad aluseks 1, asendatakse see arvuga 0.99. Sel juhul jagab uuele alusele ülemineku valem arvuga, mis asub väärtuse −0,01 lähedal, ning vastus hüppab sama x = 2 korral väärtuseni −68.97. Kui alus on väiksem kui 1, jääb see jagaja negatiivseks ja kogu kõver pöörab end ümber. See on endiselt logaritm, kuid nüüd kahanev.

miks logaritmid on kõikjal 🖖

Logaritmid muudavad korrutamise liitmiseks — see ongi kogu trikk, ja seepärast ilmuvad nad kõikjal, kus inimesed peavad tohutuid vahemikke millekski loetavaks kokku suruma. pH-skaala on -log₁₀[H⁺]: iga täisaste tähendab happesuse 10-kordset muutust. Detsibellid on 10·log₁₀(võimsuste suhe): vaikne tuba ja reaktiivmootor erinevad puhtas võimsuses umbes biljon korda, kuid vaid umbes 120 dB võrra. Richteri ehk momentmagnituudi skaala töötab samamoodi — magnituudiga 7 maavärin vabastab umbes 32 korda rohkem energiat kui magnituudiga 6, mitte 7/6 korda rohkem. Enne taskuarvuteid kandsid insenerid logaritmijoonlaudu, mis muutsid selle liitmistriku füüsiliseks vahendiks: kahe logaritmiliselt jaotatud skaala nihutamine üksteise suhtes võimaldas kahte arvu korrutada lihtsalt pikkusi liites. Infoteoorias on aga bittide arv, mida millegi esitamiseks vaja on, sõna otseses mõttes log₂ võimaluste arvust — iga valikuvõimaluste kahekordistumine maksab täpselt ühe biti võrra rohkem.

iga alus on sama kõver 🖖

Liiguta alust ja graafikud näivad kuju muutvat — kuid nad ei muuda. Aluse vahetuse valem annab log_b(x) = ln(x) / ln(b), seega on iga kõver lihtsalt ln(x) korrutatud püsiva arvuga. Liugur üksnes venitab üht ja sama universaalset kõverat kõrgussuunas. Vii alus alla ühe ja see tegur muutub negatiivseks ning kõver pöördub tagurpidi; sea see täpselt ühele ja kõik variseb kokku, sest ln(1) = 0 tähendab nulliga jagamist.

LOGARITMID — MIS ALUSEL SA OLED JA KUIDAS ÜHELT TEISELE MINNA

Millises logaritmi juhtumis sa oled?

Logaritm küsib üht asja — mis astmeni tuleb b tõsta, et saada x? —, kuid alus otsustab, milleks vastus kõlbab. Alus e ilmub kõikjale, kus miski kasvab iseendaga võrdelise kiirusega; alus 10 loeb suurusjärke; ühest väiksem alus pöörab kogu kõvera ümber; ja iga aluse saab ühe jagamisega igaks teiseks teisendada. Viimane juhtum üllatab: kui alus läheneb ühele, plahvatab logaritm.

Naturaallogaritm — alus e, mida analüüs eelistab ln x = log_e x

Kümnendlogaritm — alus 10, suurusjärkude lugemine log₁₀ x

Alus alla ühe — kõver pöördub ümber 0 < b < 1

Aluse vahetus — iga logaritm on iga teine, ümber skaleeritud log_b x = ln x / ln b

Alus napilt üle ühe — logaritm plahvatab b → 1 ⇒ ln b → 0

Naturaallogaritm — alus e, mida analüüs eelistab

Mida sa tead: Alus on e ≈ 2,718. Kirjapildis ln x on see logaritm, mis ilmub alati, kui muutumiskiirus on võrdeline praeguse hulgaga.

Alus: ln x = log_e x

Näidisarvutus: ln 2 = 0,693, sest e^0,693 = 2 — ja just see 0,693 annab valemi "kahekordistumisaeg = ln 2 / kasvukiirus"

Ava see juhtum: naturaallogaritm

Naturaallogaritm — alus e, mida analüüs eelistab. Naturaallogaritm: tõus täpselt 1/x ja pindala pöördväärtuse kõvera all. Alus on e ≈ 2,718. Kirjapildis ln x on see logaritm, mis ilmub alati, kui muutumiskiirus on võrdeline praeguse hulgaga. — Naturaallogaritm: tõus täpselt 1/x ja pindala pöördväärtuse kõvera all.

Kümnendlogaritm — alus 10, suurusjärkude lugemine

Mida sa tead: Alus on 10. Iga ühikuline samm vastuses tähendab, et sisend korrutati kümnega.

Alus: log₁₀ x

Näidisarvutus: log₁₀ 100 = 2, log₁₀ 1000 = 3 — kümnekordne hüpe x-is liidab täpselt 1

Ava see juhtum: kümnendlogaritm

Kümnendlogaritm — alus 10, suurusjärkude lugemine. Iga kümnekordne kasv x-is läbib kõveral sama vahemaa. Alus on 10. Iga ühikuline samm vastuses tähendab, et sisend korrutati kümnega. — Iga kümnekordne kasv x-is läbib kõveral sama vahemaa.

Alus alla ühe — kõver pöördub ümber

Mida sa tead: 0 < b < 1. Murru tõstmine kõrgemasse astmesse teeb ta väiksemaks, nii et logaritm kahaneb kasvamise asemel ja muutub x > 1 korral negatiivseks.

Alus: 0 < b < 1

Näidisarvutus: log₀,₅ 4 = −2, sest 0,5⁻² = 4 — sama suur kui log₂ 4 = 2, ainult vastupidise märgiga

Ava see juhtum: alus < 1

Alus alla ühe — kõver pöördub ümber. Ühest väiksema alusega kõver langeb: suurem x annab negatiivsema logaritmi. 0 < b < 1. Murru tõstmine kõrgemasse astmesse teeb ta väiksemaks, nii et logaritm kahaneb kasvamise asemel ja muutub x > 1 korral negatiivseks. — Ühest väiksema alusega kõver langeb: suurem x annab negatiivsema logaritmi.

Aluse vahetus — iga logaritm on iga teine, ümber skaleeritud

Mida sa tead: Vajad alust, mida sinu kalkulaatoril pole. Jaga kaks logaritmi mis tahes aluses, mis sul on: log x alusel b = ln x / ln b.

Alus: log_b x = ln x / ln b

Näidisarvutus: log₄ 16 = ln 16 / ln 4 = 2,7726 / 1,3863 = 2, ja sama jagamine töötab ln-i asemel ka log₁₀-ga

Ava see juhtum: aluse vahetus

Aluse vahetus — iga logaritm on iga teine, ümber skaleeritud. Üks kõver, ümber skaleeritud: ln b-ga jagamine viib ühe aluse teiseks. Vajad alust, mida sinu kalkulaatoril pole. Jaga kaks logaritmi mis tahes aluses, mis sul on: log x alusel b = ln x / ln b. — Üks kõver, ümber skaleeritud: ln b-ga jagamine viib ühe aluse teiseks.

Alus napilt üle ühe — logaritm plahvatab

Mida sa tead: b on ühe lähedal, seega ln b on nulli lähedal. Kuna log x alusel b = ln x / ln b, teeb selle imepisikese arvuga jagamine tulemuse hiiglaslikuks.

Alus: b → 1 ⇒ ln b → 0

Näidisarvutus: log₁,₀₅ 50 = ln 50 / ln 1,05 = 3,912 / 0,04879 = 80,2 — viiekümnekordistumiseks kulub 80 sammu 5 % kasvu

Ava see juhtum: lähedal b = 1

Alus napilt üle ühe — logaritm plahvatab. Mida lähemal on alus ühele, seda järsem on kõver; täpselt ühe juures teda ei ole. b on ühe lähedal, seega ln b on nulli lähedal. Kuna log x alusel b = ln x / ln b, teeb selle imepisikese arvuga jagamine tulemuse hiiglaslikuks. — Mida lähemal on alus ühele, seda järsem on kõver; täpselt ühe juures teda ei ole.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Määra aluseks 0.5 ja jäta x väärtuseks 2. Mõtle enne vaatamist korraks järele. Kas vastus tuleb positiivne või negatiivne ning kui suur see laias laastus on?

Näita vastust

Negatiivne ja väike, täpsemalt log₀.₅(2) = −1. Uuele alusele üleminekul tekib ln(2)/ln(0.5). Kuna ln(0.5) on negatiivne, pöörabki kogu kõver end ümber. Tulemus on täpselt −1, sest 0,5 astmes −1 on 2. Tegu on sisuliselt tagurpidi tehtud ühekordse poolitamisega.
Suurem punkt paikneb alati kohas (b, 1). Lohista alust väärtuselt 2 väärtuseni 9 ja ennusta, mida punkt teeb. Miks püsib vastus kogu aeg arvul 1?

Näita vastust

See libiseb mööda kõverat paremale, jäädes kõrgusele 1. Iga aluse korral kehtib log_b(b) = 1. Küsimuse „millisesse astmesse tuleb astendada b, et saada b?“ vastus on ju alati 1. Punkt liigub horisontaalselt seetõttu, et selle x-koordinaat ongi seesama alus, mida sa parasjagu lohistad.
Sisesta aluseks 1. Püüa enne nuppudele vajutamist arvata, mis juhtub. Kas kõver muutub vertikaalseks, horisontaalseks või toimub midagi muud?

Näita vastust

Ei juhtu midagi eelnevast. Leht keeldub sellest väärtusest ja asendab selle arvuga 0.99. Tuletuskäigu 4. sammus jagatakse avaldisega ln(b) ning me teame, et ln(1) = 0. Seetõttu on alus 1 määramata, mitte lihtsalt väga järsk. Väärtuse 0,99 korral jagab uuele alusele ülemineku valem arvuga, mis on üsna lähedal väärtusele −0,01, andes tulemuseks −68.97. See on hiiglaslik negatiivne arv. Just nii näebki välja määramatusele ühelt poolt lähenemine.

Ülesanne täielikult lahendatud

Põhjus, miks 2¹⁰ = 1024 ja 10³ = 1000 on lähedased 5 sammu
2¹⁰ = 1024 ja 10³ = 1000 ning need on lähedased põhjusel, mida see paneel juba kuvab. Leidke see põhjus ning seejärel leidke, kui kiiresti see kokkulangevus hääbub.
1. Aluse vahetus teisendab iga logaritmi kahe teise logaritmi suhteks. Tööriist näitab ln(2) = 0,693147 ja log₁₀(2) = 0,30103 ning log₂(10) on teise pöördväärtus: 3,32193.
  
  $lo g_{2} 10 = \frac{ln 10}{ln 2} = \frac{2.302585}{0.693147} = 3.32193 = \frac{1}{0.30103}$
2. Seega on kümme kahekordistumist kümne astmetes väljendatuna 10 × 0,30103.
  
  $2^{10} = 1 0^{10 l o g_{10} 2} = 1 0^{3.0103}$
3. Astendaja on 3 asemel 3,0103. See 0,0103 ongi kogu lahknevus ja kümne astmesse tõstetuna on see 1,024.
  
  $1 0^{3.0103} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.0103} = 1000 \times 1.024 = 1024$
4. Vahe kumuleerub, sest ülejääk korrutub, mitte ei liitu. Kibibait on 2,4% üle tuhande, mebibait 4,9% üle miljoni ja gibibait 7,4% üle miljardi.
  
  $\frac{2 ^{20}}{1 0 ^{6}} = 1.048576, \frac{2 ^{30}}{1 0 ^{9}} = 1.073741824$
5. Sama 0,30103 on põhjus, miks võimsuse kahekordistumist nimetatakse 3 dB-ks. Täpne väärtus on 3,0103 dB ja ümar arv on lihtsustus, mille viga on üks osa kolmesajast.
  
  $10 lo g_{10} 2 = 3.0103 dB$
Vastus

Tööriist kuvab ln(2) = 0,693147 ja log₁₀(2) = 0,30103. Teist tasub pähe õppida, sest see teisendab kahe aluse vahel, mida kõik tegelikult kasutavad: bitid ja kümnendkohad. Arv vajab umbes 3,32 bitti kümnendkoha kohta, 2048-bitine võti on umbes 617 kümnendkohta ja mis tahes kahekordistumisprotsess ületab tuhandekordse teguri iga kümne sammuga. Sammud 4 ja 5 on sellele lisatud hoiatus: 2¹⁰ ≈ 10³ on lähisväärtus, mis muutub halvemaks iga kord, kui seda rakendatakse. Seetõttu on kettatootjad ja operatsioonisüsteemid vaielnud terabaidi suuruse üle kolmkümmend aastat — 10% võrra, ja see lahknevus kasvab.

$lo g_{10} 2 = 0.30103 : ten doublings are three decades, and 2.4%$

Õpitee

Suurusjärgud

Viib edasi Universumi skaala teadmise, et logaritm on astendaja, ja aluse vahetamise reegli.

Allikad (5)

pH as −log₁₀[H⁺]: R. P. Buck et al., "Measurement of pH. Definition, standards, and procedures (IUPAC Recommendations 2002)." Pure and Applied Chemistry 74(11), 2169–2200, 2002.
The decibel as 10·log₁₀ of a power ratio: L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens & J. V. Sanders, Fundamentals of Acoustics, 4th ed. Wiley, 2000. ISBN 978-0-471-84789-2.
Why one magnitude step is about 32× the energy — the scale is defined so that energy goes as 10^1.5 per unit: T. C. Hanks & H. Kanamori, "A moment magnitude scale." Journal of Geophysical Research: Solid Earth 84(B5), 2348–2350, 1979.
The slide rule, and the seventeenth-century instruments it came from: Florian Cajori, On the History of Gunter’s Scale and the Slide Rule during the Seventeenth Century. University of California Press, Berkeley, 1920.
Bits as log₂ of the number of possibilities: C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication." Bell System Technical Journal 27(3), 379–423, 1948.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

naturaallogaritm - Naturaallogaritmi näide: ln(2) ≈ 0.693.
kümnendlogaritm - Kümnendlogaritmi näide: log10(100) = 2.
alus < 1 - Alus alla 1 pöörab kõvera ümber: log0.5(4) = -2.
aluse vahetus - Aluse vahetuse kontroll: log4(16) = 2.
lähedal b = 1 - Alus veidi üle 1: kõver muutub peaaegu vertikaalseks, sest jagamine arvuga ln(1.05) ≈ 0.049 paisutab tulemuse tohutuks.