Tehete järjekord ja kus selles pole kokku lepitud

Sisesta avaldis. See tööriist taandab selle tehe tehte haaval, nimetades iga sammu taga oleva reegli. Samuti väärtustatakse rida nelja kokkuleppe järgi, mis pole omavahel täielikus kooskõlas.

Näidisarvutus — Tehete järjekord ja kus selles pole kokku lepitud

Tavapärane	17
Vasakult paremale	221
Kordaja esimesena	17
Tabelarvutus	17
Erinevad vastused	2
Sammud	6
Vastus	17

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Reegel on vajalik vaid seal, kus × kohtub + märgiga 🖖

Vajuta Miks reegel on vajalik. Avaldis 2 + 3 × 4 annab reeglit teades vastuseks 14, vasakult paremale lugedes aga 20. Reeglist on ilmselgelt kasu. Trüki nüüd 8-3-2 ja seejärel 12/2*3. Kõik sellel lehel toodud tavad on mõlema puhul ühel meelel, kuna püsitakse ühe tasandi piires ning samaväärseid tehteid loetakse vasakult paremale. Kujutle mastaape: ainuüksi + ja − abil kõikvõimalikke kolme tehtemärgi ja 1 kuni 9 operandidega avaldisi moodustades leiab nelja tehtega taskuarvuti kõik 52 488 õiget vastust. Sama kehtib ainult × ja ÷ märke kasutades – jällegi 52 488 õiget vastust. Sega aga need kaks tasandit omavahel ning 419 904 avaldisest tervelt 186 624 annavad erineva tulemuse. Reegel õigustab end täielikult seal, kus × ja ÷ tasand kohtub + ja − tasandiga, ent kummagi tasandi siseselt ei muuda see midagi.

Kolm kohta, kus kunagi kokkuleppele ei jõutud 🖖

Avaldis 2^3^2 annab paremalt rühmitades 512 ja vasakult rühmitades 64. −3² on −9, kui miinusmärk ootab ära astendamise, ja 9, kui ei oota. Microsofti enda Exceli tehete järjekorra tabelis on vastandarvu võtmine teisel ja astendamine neljandal kohal. Seega annab tabelarvutusprogrammi lahter tulemuseks 9 seal, kus taskuarvuti ütleb −9. Avaldis 6 ÷ 2(1 + 2) on koolis õpetatava reegli kohaselt 9. Tulemuseks on aga 1 juhul, kui sulgudega kokku kirjutatud arv seob tugevamalt kui jagamine. Just nii loetakse avaldist a/bc paljudes õpikutes ja MathWorld hoiatab, et arvutialgebrasüsteem seda just nii ei loe. Vajuta nelja nuppu ja jälgi, kuidas vastus muutub. Aritmeetika jäi selle käigus täpselt samaks. Muutus vaid viis, kuidas me avaldist loeme.

Sulud on ainus osa, mis pole kokkuleppeline 🖖

Tabeli all kuvab tööriist sama avaldise, kus iga tehe on sulgudes. Sisesta see rida uuesti kasti ning kõik neli tõlgendust koonduvad üheks arvuks. See pole vaid nende näidete eripära: võta iga kolme tehtemärgiga avaldis operandidega 1 kuni 6, aseta iga tehe sulgudesse ja 82 944 juhust 0 annavad erineva tulemuse. See on parim põhjendus nende kahe märgi kasutamiseks. Matemaatilistes väljaannetes kirjutatakse a/(bc) või laotakse murd vertikaalselt üksteise kohale ning selline paigutus kannab oma rühmitust geomeetrias, kuhu ükski kokkulepe ligi ei pääse.

Ülesanne täielikult lahendatud

6 ÷ 2(1 + 2): kas see on 9 või 1? Vaidlus on kestnud aastaid ning mõlemad pooled oskavad aritmeetikat. Uuri välja, mille üle tegelikult vaieldakse.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Esmalt lahendatakse sulud ja sellele ei vaidle keegi vastu. Mõlemad lugemisviisid on nüüd silmitsi sama olukorraga, kus sulgude asemel seisab 3.
  
  $6 \div 2 (1 + 2) ⟶ 6 \div 2 (3)$
2. Koolireegel: märkidel × ja ÷ on sama prioriteet ning samaväärseid tehteid loetakse vasakult paremale. Jagamine tehakse esimesena, kuna see on kirja pandud esimesena.
  
  $(6 \div 2) (3) = 3 \times 3 = 9$
3. Teine lugemisviis: sulgudega kokku kirjutatud arv moodustab ühe terviku. Seega on 2(3) üksik 6, enne kui jagamistehe üldse mängu tuleb.
  
  $6 \div (2 (3)) = 6 \div 6 = 1$
4. Mõlemad on sisemiselt loogilised ja kumbagi ei saa tuletada puhtast aritmeetikast. Vali vaheldumisi Tavapärane ja Kordaja esimesena ning lehel olev puu paigutub ümber. Tavareegli puhul on tipus korrutamine, kordaja eelistamisel aga jagamine.
  
  $(a \div b) c \neq = a \div (b c)$
5. Lahendust ei too siin mitte parem reegel, vaid selgemalt kirja pandud avaldis. Mõlemad sulgude lisamise viisid on kõigi nelja tava puhul üheselt mõistetavad ning tööriist kuvab tabeli all avaldise täielikult sulgudega varustatud kuju.
  
  $(6 \div 2) (1 + 2) = 9, 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$
6. Seepärast ongi taoline avaldis trükises haruldane. Teadusajakiri paigutab murru lugeja ja nimetaja üksteise kohale. Selline asetus annab rühmitamise edasi visuaalselt, kus ükski tava ei saa seda vääriti tõlgendada.
  
  $\frac{6}{2} (1 + 2) = 9, \frac{6}{2 ( 1 + 2 )} = 1$
Vastus

Siin polegi ühte kindlat tõde. Nii 9 kui ka 1 on korrektsed tõlgendused reast, mis pandi kirja liiga lohakalt, et omada vaid ühte väärtust. Lahkheli taandub täielikult sellele, kuidas loetakse ühele reale kirjutatud jagamismärki ja kõrvuti asetamist. Igaüks siinsel lehel toodud neljast lugemisviisist on iseenesest järjekindel. Kirjuta (6 ÷ 2)(1 + 2), kui pead silmas 9, ja 6 ÷ (2(1 + 2)), kui pead silmas 1, ning probleem lakkab eksisteerimast.

$(6 \div 2) (1 + 2) = 9 \neq = 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$

Allikad (2)

The spreadsheet convention, from the vendor's own precedence table: Microsoft, "Calculation operators and precedence in Excel", Microsoft Support. Negation is listed second and exponentiation fourth.
Why a number pressed against a bracket is read two ways, and the advice that follows: Eric W. Weisstein, "Solidus", MathWorld — A Wolfram Web Resource.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.