Ratsionaalfunktsioonide uurija

liiguta nullkohta, poolust ja võimendust ning jälgi, kuidas harude kuju muutub

Näidisarvutus — Ratsionaalfunktsioonide uurija

\|z − p\|	3
x-teljelõikepunkt	1
Vertikaalne asümptoot	-2
Horisontaalne asümptoot	1

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Aseta nullkoht pooluse peale ja plahvatus kaob 🖖

Lohista nullkoht täpselt pooluse peale ja juhtub midagi kummalist: kõver ei plahvata enam, vaid muutub horisontaalseks sirgeks. Kui z = p, taandab tegur (x − z) nimetaja täielikult ja kõikjal jääb alles konstant k — välja arvatud kohas x = p, kus algne valem jagab endiselt nulliga. Graafik on seega sirge, millest on üks punkt välja löödud, ja see tööriist teatab asümptoodi asemel augu asukoha (p, k). Nimetaja nullkoht on poolus ainult siis, kui lugeja seda ära ei taanda; vastasel juhul on see kõrvaldatav auk, mida ükski suurendus ei näita.

Iga kõver siin on hüperbool 🖖

Tööriist arvutab f(x)=k(x−z)/(x−p): kaugus nullkohast jagatud kaugusega poolusest, skaleerituna teguriga k. Ükskõik millised väärtused valid, graafiku kuju jääb samaks — hüperbool, seesama kõver, mille annab y=1/x. z ja p muutmine üksnes nihutab seda; k muutmine venitab seda ja pöörab, kummale poole kaks haru avanevad. Kokkuvõte: kes valdab y=1/x, valdab neid kõiki.

Poolus on lõpmatu vaid valiku tõttu 🖖

Kujul (ax+b)/(cx+d) kirjutatuna on iga ühe nullkoha ja ühe poolusega funktsioon Möbiuse teisendus — teisendused, mis valitsevad kompleksanalüüsi ja hüperboolset geomeetriat. Lisa üksainus lõpmatuspunkt (Riemanni sfäär) ja poolus pole enam katastroof: x=p kujutub lihtsalt sellele uuele punktile ja x=∞ horisontaalsele asümptoodile y=k. Sfääril on funktsioon sile, pööratav bijektsioon — „plahvatus" on vaid tasapinnalise kaardi artefakt.

RATSIONAALFUNKTSIOONID — KUS GRAAFIK PLAHVATAB JA KUS TA RAHUNEB?

Millise ratsionaalfunktsiooni juhtumiga on tegemist?

Avaldises f(x) = k(x − z)/(x − p) on ainult kolm arvu ja igaühele neist kuulub üks graafiku tunnus. Nullkoht z on seal, kus kõver lõikab telge. Poolus p on seal, kus nimetaja kaob ja kõver jookseb lõpmatusse. Võimendus k on see, mille juurde ta mõlemast kaugel jääb. Lugege need kolm valemist välja ja graafik on visandatud enne, kui ainustki punkti on joonistatud.

Hästi lahus — üks püstine asümptoot, üks rõhtne ja üks lõikepunkt x = p, y = k

Poolus ja nullkoht teineteise lähedal — nende vahel äge piik |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Negatiivne võimendus — sama skelett, harud vahetuses k < 0 ⇒ f → −f

Poolus ja nullkoht peaaegu kohakuti — peaaegu auk (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Hästi lahus — üks püstine asümptoot, üks rõhtne ja üks lõikepunkt

Mida te teate: Poolus ja nullkoht mugaval kaugusel. Püstine asümptoot on kohal x = p, rõhtne kohal y = k, ja kõver lõikab telge kohal x = z.

Tunnus: x = p, y = k

Näidisarvutus: f(x) = (x − 1)/(x + 2): asümptoot kohal x = −2, lõikepunkt kohal x = 1 ja f → 1 mõlemas suunas kaugel. Kohal x = 0 on väärtus −0,5.

Ava see juhtum: põhijuht

Hästi lahus — üks püstine asümptoot, üks rõhtne ja üks lõikepunkt. Poolus ja võimendus joonistavad kaks asümptooti; nullkoht määrab, kus kõver telge lõikab. Poolus ja nullkoht mugaval kaugusel. Püstine asümptoot on kohal x = p, rõhtne kohal y = k, ja kõver lõikab telge kohal x = z. — Poolus ja võimendus joonistavad kaks asümptooti; nullkoht määrab, kus kõver telge lõikab.

Poolus ja nullkoht teineteise lähedal — nende vahel äge piik

Mida te teate: Sama kuju, aga poolus asub nullkoha lähedal. Kõveral tuleb lühikesel maal teljelt lõpmatusse jõuda, seega tõuseb ta järsult.

Tunnus: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Näidisarvutus: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2): poolus kohal 0,2 on nullkohast 0,5 vaid 0,3 kaugusel ja f(0) on juba 3,5, kaugväärtus aga 1,4

Ava see juhtum: järsk poolus

Poolus ja nullkoht teineteise lähedal — nende vahel äge piik. Lühike vahe pooluse ja nullkoha vahel sunnib kõverat läbima kitsa ja järsu väljalöögi. Sama kuju, aga poolus asub nullkoha lähedal. Kõveral tuleb lühikesel maal teljelt lõpmatusse jõuda, seega tõuseb ta järsult. — Lühike vahe pooluse ja nullkoha vahel sunnib kõverat läbima kitsa ja järsu väljalöögi.

Negatiivne võimendus — sama skelett, harud vahetuses

Mida te teate: Negatiivne k peegeldab kogu kõvera rõhttelje suhtes. Asümptootide asukoht ei liigu; harud vahetavad nurka, mida nad hõivavad.

Tunnus: k < 0 ⇒ f → −f

Näidisarvutus: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2): asümptoot kohal x = 1,2, lõikepunkt kohal x = −1,5, rõhtne asümptoot y = −1 ja f(0) = 1,25

Ava see juhtum: negatiivne võimendus

Negatiivne võimendus — sama skelett, harud vahetuses. Asümptoodid on seal, kus olid, aga iga haru on liikunud vastasküljele. Negatiivne k peegeldab kogu kõvera rõhttelje suhtes. Asümptootide asukoht ei liigu; harud vahetavad nurka, mida nad hõivavad. — Asümptoodid on seal, kus olid, aga iga haru on liikunud vastasküljele.

Poolus ja nullkoht peaaegu kohakuti — peaaegu auk

Mida te teate: Kui z ja p on väga lähestikku, taanduvad tegurid peaaegu ära. Väljaspool seda ümbrust on funktsioon konstandi k lähedal ja poolus jääb alles nõelpeene piiguna.

Tunnus: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Näidisarvutus: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12): vahe vaid 0,12, seega f(0) = 0,893, lähedal kaugväärtusele 1 — ja ometi on asümptoot kohal x = 1,12 alles

Ava see juhtum: peaaegu taandunud

Poolus ja nullkoht peaaegu kohakuti — peaaegu auk. Peaaegu kõikjal konstant, välja arvatud kitsas aken, kus poolus siiski peale jääb. Kui z ja p on väga lähestikku, taanduvad tegurid peaaegu ära. Väljaspool seda ümbrust on funktsioon konstandi k lähedal ja poolus jääb alles nõelpeene piiguna. — Peaaegu kõikjal konstant, välja arvatud kitsas aken, kus poolus siiski peale jääb.

Levinud väärarusaam

Poolusele lähedal asuv nullkoht ei kõrvalda automaatselt ebastabiilsust. Peaaegu täielik taandumine võib jääda arvutuslikult tundlikuks.

Ülesanne täielikult lahendatud

Sirgel y = 1 horisontaalse asümptoodini jõudev kõver 5 sammu
Funktsioonil f(x) = (x − 1)/(x + 2) on horisontaalasümptoot y = 1. Tee kindlaks, kas kõver selleni kunagi tegelikult jõuab.
1. Nullkoht ja poolus selguvad otse tegurdatud kujust: lugeja muutub nulliks kohal 1, nimetaja kohal −2.
  
  $f (x) = 0 ⟺ x = 1; x + 2 = 0 ⟺ x = - 2 (vertical asymptote)$
2. Suurte |x| väärtuste korral domineerivad nii lugejas kui ka nimetajas nende x-liikmed, seega läheneb jagatav pealiikmete kordajate suhtele. See ongi horisontaalasümptoot ja siin on see 1.
  
  $x \to \pm \infty lim \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{1}{1} = 1 (horizontal asymptote)$
3. Esita nüüd küsimus otse, selle asemel et vaadata graafikut silma järgi: võrdsusta funktsioon selle asümptoodiga ja lahenda võrrand.
4. Muutuja x taandub välja ja järele jääb −1 = 2, mis on väär iga x korral. Seega ei puuduta kõver sirget y = 1 kunagi — ei kaugel eemal ega kuskil mujal.
  
  $\frac{x - 1}{x + 2} = 1 ⟺ x - 1 = x + 2 ⟺ - 1 = 2 — no solution$
5. Vertikaalasümptoot käitub vastupidiselt. Arvust −2 vahetult vasakul on funktsiooni väärtus −299; vahetult paremal +301. See ei lähene mõlemalt poolt samale väärtusele, vaid hajub vastassuundades.
  
  $f (- 1.99) = - 299, f (- 2.01) = + 301$
Vastus

Tööriist kuvab x-lõikepunktiks 1, vertikaalasümptoodiks −2 ja horisontaalasümptoodiks 1. Tulemus, mida tasub meeles pidada, on see, et horisontaalasümptoot ei ole tõke — seda siin ei saavutata kunagi, kuid see on fakt selle funktsiooni, mitte üldise reegli kohta. Muuda lugejat kujule x − 1 + midagi, mis hääbub, ning kõver võib oma horisontaalasümptooti vabalt ja kas või korduvalt lõigata. Vertikaalasümptoodid on ranged: funktsioon on seal määramata, mistõttu ei saa see neid kunagi lõigata. Nende kahe segamine on selle teema kõige sagedasem viga ja üks rida algebrat lahendab selle iga kord.

$the curve approaches y = 1 and never reaches it; the pole flips sign$

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

Allikad (2)

Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-07-27

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

põhijuht - Põhikuju ühe nullkoha ja ühe pooluse ning selgete asümptootidega.
järsk poolus - Alguspunkti lähedal asuv poolus tekitab tugeva lokaalse hälbimise.
negatiivne võimendus - Negatiivne kordaja pöörab harude suuna üle asümptootide vastupidiseks.
peaaegu taandunud - Peaaegu kattuv nullkoht ja poolus jäljendab lokaalselt eemaldatava katkevuse käitumist.