Maluse seadus ja ristatud polarisaatorid

Määra iga filtri telg ja vaata, mis kiirest järele jääb. Filtri lisamine tavaliselt neelab valgust. Mõnikord toob see valgust tagasi.

Näidisarvutus — Maluse seadus ja ristatud polarisaatorid

Pärast filtrit 1 (0,0°)	50,000%
Pärast filtrit 2 (45,0°)	25,000%
Läbi filtripinu	12,500%
Ilma filtrita 2	0%
Parim nurk filtrile 2	45,0°
Näit selle nurga all	12,500%
Parim tulemus 3 filtriga vahemikus 90,0°	12,500%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Maluse seadus ja ristatud polarisaatorid

Maluse seadus ütleb, mis jääb polarisatsioonifiltrit läbides järele juba polariseeritud valgusest: I = I₀cos²θ, kus θ on nurk valguse tasandi ja filtri läbilaskesuuna vahel. Polariseerimata valgus on aga teine juhtum, kus θ puudub täielikult. See saabub, omades kõiki suundi võrdselt. Seega võtab esimene vastutulev filter sellest täpselt poole ja annab edasi piki oma telge polariseeritud kiire. Iga esimesele järgnev filter käib Maluse seaduse alla, sest eelmine tegeles polariseerimisega.

Mida iga sümbol tähendab

I₀: filtrini jõudev intensiivsus, mitte teekonda alustanud intensiivsus
θ: nurk valguse tasandi ja filtri telje vahel. Loeb vaid see vahe. Seetõttu ei muuda terve filtripinu korraga pööramine lehel ühtegi näitu
φ: juba polariseeritud kiire tasand, kui see eksisteerib. Loomulikul valgusel φ puudub, mistõttu selle esimese filtri hinnaks on täpselt pool, mitte koosinus
cos²θ: ellujääv osa: pool 45° juures, veerand 60° juures, mitte midagi 90° juures

Eeldab: Ideaalsed filtrid, mis lasevad piki telge valgust ideaalselt läbi ning blokeerivad seda ristisuunas täielikult. Päriselt ei tee ükski kile kumbagi ning Polaroid nimetas oma materjali selle lünga järgi. HN-38 kile laseb läbi 38% loomulikust valgusest, kuigi siinne matemaatika eeldaks 50%. Puuduolevad kaksteist protsendipunkti pigem neelduvad kui polariseeruvad.
Ei kehti, kui: Kõrge päris kiledest pinu puhul, kus peitub ka selle lehekülje kõige üllatavam väide. Iga reaalne filter korrutab enda neelduvuse läbi oma cos² väärtusega. Nii pöördub tõus 50% suunas juba paari kile järel ümber ja hakkab siis langema. Üheksakümmend üks ideaalset filtrit annavad tulemuseks 48,648%. Üheksakümne ühest päris filtrist koosnev pinu on läbipaistmatu.

Kaks filtrit blokeerivad kõik. Kolm lasevad läbi kaheksandiku. 🖖

Määra esimese telje nurgaks 0° ja teisele 90°. cos²(90°) on täpselt null, mõõtja näitab 0% ja lambi näppimine ei muuda midagi.

Nüüd libista nende vahele kolmas filter 45° nurga all. Näit on 12,500%.

Uus filter neelab valgust nagu eelmisedki kaks. Samas suunab ta valgust ümber, nii et üks 90° vahemik asendub kahe 45° vahega ja cos²(45°) on pool. Pool esimesest filtrist järele jäänud poole poolest on kaheksandik.

Rida Ilma filtrita 2 asub otse rea Läbi filtripinu all. Nii jäävad mõlemad numbrid ekraanile, samal ajal kui sa keskmist telge ringi lohistad.

Kümme filtrit on heledamad kui kolm ja 50% on ületamatu müür 🖖

Jäta esimene telg 0° ja viimane 90° juurde ning täida nendevaheline ala ühtlaste vahedega paigutatud filtritega. Kaks annavad tulemuseks 0%. Kolm 12,500%. Neli 21,094%. Viis 26,540%. Kümme 37,957%. Üheksakümmend üks ühekraadiste vahedega filtrit annavad 48,648%.

Iga filter selles reas neelab valgust ja iga lisatud filter kergitab näitu, kuna üks suur pööre läheb kallimaks kui sama pööre väikeste sammudena.

Sellel tõusul on lagi, mida ei puudutata kunagi. Loomulik valgus kaotab täpselt poole esimeses vastutulevas filtris, sõltumata selle filtri nurgast. Ükski allavoolu asuv element ei suuda seda poolt enam tagasi tuua.

Pöörde keskmine kolmandik maksab topelt võrreldes kummagi äärega 🖖

Määra allikaks Polariseeritud ja jäta üks filter valguskiirele ette. 0° juures on näit 100,000%. Keera see 30° peale ja järele jääb 75,000%. Keera 60° peale ja alles on 25,000%. 90° juures ei jää järele midagi.

Kolm võrdset 30° pööret ja keskmine neist läheb maksma topelt võrreldes naabritega. cos²θ on lauge seal, kus koosinus läheneb 1-le, ning kõige järsem 45° juures.

Igaüks, kes on keeranud kaameral polarisatsioonifiltrit, tunneb selle ära. Pöörde esimene osa vaevalt muudab taevast, aga selle keskosa muudab kõike.

Ülesanne täielikult lahendatud

Filter, mis teele ette jäädes laseb valgust läbi 6 sammu
Loomulik valgus intensiivsusega I₀ kohtub 0° teljega filtriga ning seejärel teisega, mille telg on 90°. Nende vahele libistatakse kolmas filter, mille telg on 30°. Milline osa I₀-st väljub filtripinust, kus peaks see kolmas filter paiknema parima tulemuse saavutamiseks ning mida see parim asend meile annab?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Esimene filter on ainus, mis ei allu Maluse seadusele. Loomulikul valgusel puudub üksik tasand nurga mõõtmiseks, seega pole cos²θ valemisse mingit θ panna. Valgus saabub ühtlase seguna kõikidest suundadest ning filter laseb läbi keskmise, milleks on täpselt pool. Sellise filtripinu korral on rea „Pärast filtrit 1 (0,0°)“ näiduks 50,000% ning esimese filtri mistahes suunda keeramisel jääb see 50,000% peale.
  
  $unpolarised light: \frac{I _{1}}{I _{0}} = \frac{1}{2} at every angle$
2. Kõik edasine kuulub Maluse seaduse alla, sest esimene filter polariseeris kiire piki omaenda telge. Teine filter on siin 30° juures. Seega on nurk 30° ja teguriks cos²(30°) = 0,75. Pool valgusest ning sellest omakorda kolm veerandit: 37,500%, mida rida „Pärast filtrit 2 (30,0°)“ ka kinnitab.
  
  $\frac{I _{2}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375$
3. Viimane filter asub 90° juures, mis on 60° edasi 30-st kraadist. cos²(60°) = 0,25 ja veerand 37,500%-st on 9,375%. See on vastus esimesele küsimusele ning rida „Läbi filtripinu“ esitab terve selle tulemuseni viinud ahela: ½ · cos²(30°) · cos²(60°).
  
  $\frac{I _{3}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 0.375 \cdot 0.25 = 0.09375$
4. Nüüd võta keskmine filter vahelt ära. See on samm, mida tasub teha aeglaselt. Valguskiir kohtub siis 0° ja 90° filtritega ning nende vahel pole midagi. Üks 90° vahe ja cos²(90°) on null. Rida „Ilma filtrita 2“ näitab 0%. Juba surnud valguskiirele ette visatud neelav plastikleht kergitas näidu nullist 9,375%-ni.
  
  $filter 2 removed: \frac{1}{2} cos^{2} (9 0^{\circ}) = 0$
5. Kus on sellest kõige enam kasu? Kaks vahet peavad andma kokku 90° ja maksimeerida tuleb avaldist cos²(δ)·cos²(90° − δ). Võrdsed vahed võidavad: ½ · ½ · ½ = 12,500% 45° juures võrrelduna 9,375%-ga 30° juures. Rida „Parim nurk filtrile 2“ näitab 45,0° ja rida „Näit selle nurga all“ annab 12,500%.
  
  $δ max \frac{1}{2} cos^{2} (δ) cos^{2} (9 0^{\circ} - δ) \Rightarrow δ = 4 5^{\circ}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0.125$
6. Võrdsed vahed võidavad alati, olenemata filtrite arvust. Põhjuseks on ln cos nõgusus, mistõttu fikseeritud kogupööre on kõige odavam jagada võrdseteks osadeks. Vajuta nupule „Lisa filter“ neljanda lisamiseks ja seejärel „Jaota ühtlaselt“ nende paika panemiseks: 21,094%. Kümme filtrit samal veerandpöördel jõuavad 37,957%-ni.
  
  $\frac{I _{n}}{I _{0}}_{even} = \frac{1}{2} cos^{2 (n - 1)} (\frac{9 0 ^{\circ}}{n - 1}) : n = 4 \to 0.21094, n = 10 \to 0.37957$
Vastus

9,375% 30° juures ja 12,500% 45° juures, mis on kolme filtri puhul veerandpöördel parim võimalik tulemus. Kõige olulisem arv siit kaasa võtmiseks pole aga kumbki neist. See on hoopis tühjus, mis naaseb sel hetkel, kui keskmine filter vahelt välja tõmmata. See filter neelab valgust nagu eelmisedki, aga pinu on koos temaga heledam kui ilma temata. Tema ülesanne on valgust pöörata, et viimasele filtrile esitatav küsimus oleks lihtsam.

$\frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 9.375% against \frac{1}{2} cos^{4} (4 5^{\circ}) = 12.5%$

Allikad (3)

The paper the law is named after, written by an army engineer who noticed it in the windows of the Luxembourg Palace: É. L. Malus, "Sur une propriété de la lumière réfléchie." Mémoires de physique et de chimie de la Société d'Arcueil 2, 1809, pp. 145–158.
Where the 38% comes from — the man who invented sheet polarisers, on how well they really work: E. H. Land, "Some Aspects of the Development of Sheet Polarizers." Journal of the Optical Society of America 41(12), 1951, pp. 957–963. DOI 10.1364/JOSA.41.000957
The textbook treatment of ideal polarisers and the stacked-filter result: E. Hecht, Optics, 5th edition, Pearson, 2017, chapter 8 (Polarization).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.