Efektiivne piirjoon väljaspool valimit

Piirjoon joonistatakse tootluste valimi pealt ja portfell selle parimas punktis valiti sellepärast, et ta nägi just selles valimis kõige parem välja. Hoia seda läbi järgnevate aastate ja vaata, mis alles jääb.

Näidisarvutus — Efektiivne piirjoon väljaspool valimit

Optimeerija ennustas	0,829
Optimeerija saavutas	0,494
Võrdsed kaalud saavutasid	0,757
Võrdsed kaalud võitsid	48 63-st

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Optimeerija ei suuda riskipreemiat õnnelikust valimist eristada 🖖

Sobita need viis varaklassi perioodile 1928–1957 ja parima Sharpe'iga portfell paneb 93,4% 10-aastastesse riigivõlakirjadesse. See ei ole hinnang võlakirjade kohta, see on aritmeetika. Lühiajalised riigivõlakirjad maksid sel ajal 1,19% aastas ja pikad võlakirjad lõid neid üheksandiku juures aktsiate volatiilsusest, nii et võlakirjad kandsid valimis kõrgeimat tasu riskiühiku kohta — ja täpselt selle leidmine ongi optimeerija kogu töö. Hoituna läbi aastate 1958–1987 — kolm kümnendit tõusvat inflatsiooni ja tõusvaid intresse — sai see 0,029 lubatud 0,700 asemel, samal ajal kui võrdsed kaalud said 0,484. Selle toortootlus koguni tõusis, 3,50%-lt 6,36%-le, ja just seepärast on toortootlus vale koht, kuhu vaadata: lühiajalised riigivõlakirjad tõusid veelgi kiiremini, 6,10%-ni, nii et portfell, mis oli lubanud 2,31% aastas üle rahaturu, tõi 0,25%, samal ajal kui selle volatiilsus peaaegu kolmekordistus. Optimeerija ei eksinud mineviku suhtes. Talle esitati küsimus tuleviku kohta ja ta vastas küsimusele valimi kohta, ja meetodis ei erista neid kahte miski.

Need kolm portfelli lõpetavad täpselt vastupidises järjestuses 🖖

Aknal, millega leht avaneb, lubab tabel Sharpe'i suhtarvuks 0,829 optimeeritud puutujaportfellile, 0,777 minimaalsele dispersioonile ja 0,565 võrdsetele kaalule. Hoides neid läbi järgmise 16 aasta, toovad need 0,494, 0,524 ja 0,757: samad kolm portfelli, vastupidises järjestuses. See järjestus pole õnn, vaid näitab, kui palju valimit igaühele sobitati — puutujaportfell kasutab hinnatud keskmisi ja hinnatud kovariatsioone, minimaalne dispersioon kasutab ainult kovariatsioone, võrdsed kaalud ei kasuta kumbagi. Kõigi 59 kahekümneaastase sobitus- ja hoidmisakna keskmisena on järjestus sama: 0,297, 0,460, 0,558.

Rahulikuks ehitatud portfell osutus metsikuks 🖖

Minimaalne dispersioon lubas sellel aknal 5,32% volatiilsust — madalamat kui puutujaportfelli 5,67% — ja tõi 8,60%, kõrgema kui puutujaportfelli 7,93%. Madalaim lubadus, kõrgeim tulemus. See pole üksik aken: vaata läbi iga sobituskestus 10 kuni 30 aastat iga hoidmiskestuse 5 kuni 30 vastu ja puutujaportfelli realiseerunud volatiilsus tuleb kõrgem selle sobitatud volatiilsustest 22 203 korral 33 579-st. Optimeerija otsib hinnatud kovariatsioonimaatriksi nurka, kus risk paistab kõige väiksem, ja nurgad, kus hinnang on kõige väiksem, on täpselt need, kus see on kõige tõenäolisemalt liiga väike.

Ülesanne täielikult lahendatud

Parima Sharpe'i suhtarvuga USA aktsiate ja 10-aastaste riigivõlakirjade kombinatsioon 7 sammu
Kaks varatüüpi, üks vahemik: USA aktsiad ja 10-aastased riigivõlakirjad sobitatuna aastatele 1928–1976. Tuleta parima Sharpe'i suhtega portfell käsitsi, kontrolli seda paneelilt — ning arvuta seejärel välja, mitut selle kuvatud numbrikohta andmed tegelikult toetavad.
1. Klõpsa Ainult aktsiad ja võlakirjad, et sobitada efektiivne piir sellele vahemikule. Sisendiks on kuus arvu ja ei midagi muud: kummagi varaklassi keskmine aastane tootlus, kummagi varaklassi volatiilsus, nende korrelatsioon ning riskivaba tulu määratlev lühiajaliste võlakirjade intressimäär.
  
  $μ_{s} = 10.76%, μ_{b} = 3.23%, r_{f} = 2.47%, σ_{s} = 22.351%, σ_{b} = 4.2537%, ρ = - 0.0379$
2. Sharpe'i suhteid mõõdetakse üle riskivaba määra, seega lahuta lühiajaliste võlakirjade määr mõlemast keskmisest. Aktsiad teenisid umbes üksteist korda rohkem ületootlust kui võlakirjad. Kovariatsioon on kergelt negatiivne — väike arv, mis teeb olulise töö ära kaks sammu allpool.
  
  $e_{s} = μ_{s} - r_{f} = 8.285%, e_{b} = μ_{b} - r_{f} = 0.758%, σ_{s b} = ρ σ_{s} σ_{b} = - 0.00036058$
3. Portfell, mille aktsiate osakaal on w, teenib kahe ületootluse kaalutud keskmist. Selle volatiilsus ei ole kaalutud keskmine: ristliige on kogu hajutamise tuum ning negatiivse kovariatsiooni korral see lahutub.
  
  $e (w) = w e_{s} + (1 - w) e_{b}, σ (w) = w^{2} σ_{s}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{b}^{2} + 2 w (1 - w) σ_{s b}$
4. Enne valemi usaldamist testi seda seal, kus vastus on juba lehel olemas. Seadista w = ½ ja tööriista enda rida Võrdsed osakaalud (1/N) näitab 4,52% üle riskivaba määra 11,30% volatiilsuse juures. Mõlemad klapivad, seega on need kuus sisendit õiged kuus.
  
  $w = \frac{1}{2} : e = 4.52%, σ = 0.0127613 = 11.30%$
5. Nüüd maksimiseeri. Kuna Sharpe'i suhe on suhe, ei pruugi selle maksimum asuda kummaski otsas — ning negatiivse kovariatsiooni korral see nii ei asugi. Tuletise võrdsustamine nulliga kaotab ruutjuure ja jätab järele samast kuuest sisendist koosneva valemi.
  
  $S (w) = \frac{e ( w )}{σ ( w )}, S^{'} (w) = 0 ⟺ w^{*} = \frac{e _{s} σ _{b}^{2} - e _{b} σ _{s b}}{e _{s} σ _{b}^{2} + e _{b} σ _{s}^{2} - ( e _{s} + e _{b} ) σ _{s b}}$
6. Tee asendus. Ava Iga meetodi valitud osakaalud ja puutujaportfelli rida näitab 27,2% aktsiaid, 72,8% võlakirju; selle kohal olev tabel näitab prognoositavaks volatiilsuseks 6,72% ja prognoositavaks Sharpe'i suhteks 0,418. Portfell, millest veerand on aktsiates, on 4,6 protsendipunkti võrra rahulikum kui 50/50 segu.
  
  $w^{*} = \frac{0.00015264}{0.00056096} = 0.2721 \Rightarrow 27.2% / 72.8%, σ (w^{*}) = 6.72%, S = \frac{2.81%}{6.72%} = 0.418$
7. Nüüd hinda sisendite määramatust, mida tööriist ise kunagi ei tee. μ_s ei ole vankumatu tõsiasi maailma kohta; see on 49 aasta tootluse keskmine, mille hajuvus on 22,351%, mistõttu kannab see omaenda standardviga. Aseta μ_s ühe standardvea võrra mõlemale poole ja lahenda sama valem uuesti.
  
  $SE (μ_{s}) = \frac{σ _{s}}{n} = \frac{22.351%}{49} = 3.19% \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$
Vastus

27,2% aktsiaid, 72,8% võlakirju — trükitud kümnendiku täpsusega suuruse puhul, mille andmed määravad ära vaid umbes ±7 protsendipunkti täpsusega. Üksnes aktsiate keskmise tootluse üks standardviga nihutab optimaalset osakaalu 19,3%-lt 33,4%-le, ja seda olukorras, kus kahte volatiilsust, korrelatsiooni ja lühiajaliste võlakirjade määra käsitletakse endiselt täpselt teadaolevatena. Sihtfunktsioonist ei ole selle kitsendamisel abi: arvuta S(w) väärtused 24,1% ja 30,9% juures ning mõlemad ümarduvad väärtusele 0,417, seega ei suuda paneeli enda kolm komakohta eristada seitsme protsendipunkti võrra erinevaid osakaale. See ongi efektiivse piiri vaikne nali — selle kõige enesekindlamana näiv tulemus on tegelikult kõige vähem määratud. Just seepärast andsid võrdsed osakaalud, mis ei hinda üldse midagi, siin tulemuseks 0,551 optimeerija 0,440 vastu.

$w^{*} = 27.2% μ_{s} \pm SE (μ_{s}) \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$

Õpitee

Risk, mõõdetuna

Allikad (6)

The frontier itself, in the paper that defined it: H. Markowitz, "Portfolio Selection." The Journal of Finance 7(1), 77–91, 1952.
The result this page reproduces — across fourteen datasets, no optimised rule reliably beat equal weights out of sample: V. DeMiguel, L. Garlappi and R. Uppal, "Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?" Review of Financial Studies 22(5), 1915–1953, 2009.
Why the optimiser behaves this way — it maximises over estimation error as readily as over return: R. O. Michaud, "The Markowitz Optimization Enigma: Is 'Optimized' Optimal?" Financial Analysts Journal 45(1), 31–42, 1989.
And how far the weights move for a small change in the estimated means, which is the mechanism behind everything above: M. J. Best and R. R. Grauer, "On the Sensitivity of Mean-Variance-Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results." Review of Financial Studies 4(2), 315–342, 1991.
One of the standard repairs — shrink the covariance estimate rather than trust the sample one. This tool does not apply it, so the frontier shown is the raw sample frontier: O. Ledoit and M. Wolf, "Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix." The Journal of Portfolio Management 30(4), 110–119, 2004.
The older warning that a mean-variance optimum is only as meaningful as the set of assets you fed it: R. Roll, "A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory." Journal of Financial Economics 4(2), 129–176, 1977.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-19

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

Lubadus versus tulemus - Sobitatud aastatele 1990-2009 ja hoitud läbi 2010-2025: parima Sharpe'iga portfelli tulemus langeb 0,829-lt 0,494-le, samal ajal kui võrdsed kaalud tõusevad 0,565-lt 0,757-le.
Kõik võlakirjadesse - Sobitatuna aastatele 1928-1957 paneb optimeerija 93,4% riigivõlakirjadesse — ja saab järgnenud kolme tõusvate intressidega kümnendi jooksul tulemuseks 0,029.
Kui see toimis - Sobitatuna aastatele 1970-1994 ja hoituna läbi 1995-2009 lööb optimeeritud portfell võrdseid kaalusid tõesti: 0,772 versus 0,658.
Ainult aktsiad ja võlakirjad - Kaks vara ja 49-aastane sobitus, kus piirjoon on lihtne kõver ja puutujaportfell hoiab 27,2% aktsiaid.