Libisev keskmine kui filter

Igapäevane aegrida, keskmine üle M järjestikuse päeva ja see, mida antud keskmine teeb iga ritta mahtuva tsükliga. Proovige esmalt päris andmeid, seejärel muutke M-i ühe päeva võrra ning jälgige, kuidas nädalamuster tagasi ilmub.

Näidisarvutus — Libisev keskmine kui filter

Nädalatsükli võimendus, 1/7 päevas	0,0000
Nädalapäevade kõikumine reas	70,5 punkti
Keskmisesse jäänud kõikumine	0,8 punkti
Poolitatud võimsusega tsükkel	15,66 päeva
Keskmise esitamise viivitus	0,0 päeva
Viimased päevad keskmiseta	3
Suurim keskmine oma asukohas	25 851 päevas, 21. dets 2020
Teatatud juhte päevas (JHU CSSE)	7-päevane keskmine

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

M-punkti libisev keskmine asendab aegrea iga väärtuse M järjestikuse väärtuse keskmisega. Tegemist on konvolutsiooniga ristkülikaknast, millel on M kaalu 1/M. Seetõttu on konvolutsiooniteoreemi järgi selle mõju tsüklile sagedusega f tsüklit valimi kohta korrutamine ristküliku Fourier' pöördega – võimendusega H(f) = sin(πfM)/(M sin πf). H on null punktides f = 1/M, 2/M, …, negatiivne esimese ja teise nullkoha vahel ning reaalne siis, kui iga keskmine asub oma akna keskel. Akna lõppu paigutatuna tekib samadel väärtustel (M − 1)/2 valimi pikkune viivitus.

Mida iga sümbol tähendab

M: päevade arv igas keskmises
f: tsükli sagedus, tsüklit päevas, vahemikus 0 kuni ½
H(f): võimendus: see, millega keskmine korrutab sagedusega f tsüklit; negatiivne tähendab ümberpööratust

Eeldab: Üks väärtus päevas ilma lünkadeta tagab, et aken hõlmab alati M kalendripäeva. Tühistamine eeldab, et teatatud väärtused ise korduvad iga 7 päeva järel. Alati sama pikk aruandluse viivitus hoiab neid iganädalasena ega muuda midagi. Puuduv päev, riigipüha või nädalast nädalasse muutuv viivitus aga rikub selle kordumise.

7-päevane keskmine eemaldab nädalatsükli, hoolimata selle kujust 🖖

Vajutage Saksamaa, 7 päeva. Need aruanded langevad iga nädala alguses ja kuhjuvad hiljem: esmaspäevade keskmine on 60,1% neid ümbritsevast nädalast, neljapäevadel 130,7%. 7-päevases keskmises on nädalapäevade kõikumine 0,8 punkti. Iga seitsmest järjestikusest päevast koosnev aken sisaldab täpselt ühte esmaspäeva, ühte teisipäeva ja nii edasi kuni pühapäevani. Seetõttu lisab iga iganädalaselt korduv muster igale aknale sama väärtuse, hoolimata selle kujust. Alumisel graafikul on võimendus sin(7πf)/(7 sin πf) täpselt null kohas 1/7, 2/7 ja 3/7 tsüklit päevas, mis esindavad nädalatsüklit ja ainsat kahte harmoonilist, mida igapäevaste väärtuste rida suudab kanda. See 0,8 ei ole null, sest reaalne muster ei kordu täpselt. Vajutage Ainult nädalamuster ja väärtus on 0,0. Riigipühad rikuvad kordumise täielikult. Jõulupüha näit on 0 ja järgmisel päeval 39 988, mis on terve rea suurim päevane väärtus. Nii langeb 22. detsembril tsentreeritud keskmine 21 025 peale, kuna selle aken lõpeb nulliga. Päev hiljem, kui aknasse mahub ka 39 988, on keskmine tagasi 22 266 juures. Muutke nüüd M-i ühe päeva võrra. Kaheksa päeva sisaldavad ühte nädalapäeva kaks korda ja säilitavad kaheksandiku kõikumisest, mis tehislikus nädalas on 8,8 punkti 70,7-st. Kuus päeva jätavad ühe nädalapäeva välja ja säilitavad kuuendiku ehk 11,8. Neliteist ja kakskümmend üks eemaldavad selle taas. Viibega keskmine teatab samad arvud hilisemal päeval, seega eemaldab see nädalatsükli täpselt sama tõhusalt.

Mõned lained väljuvad keskmisest tagurpidi 🖖

Vajutage 5-päevane laine: see on 5-päevase perioodiga koosinus läbi sama 7-päevase keskmise. Silumine peaks kiiret võnkumist kahandama ning katkendlik vari ongi just see ootus: laine on väiksem, kuid püstine. Keskmise tulemus on aga −0,2311 lainest. See on varasemast väiksem ja ümber pööratud ning selle tipud asuvad neil päevadel, mil sisendil on lohud. Põhjus mahub ühte aknasse. Kõik viis järjestikust päeva sisaldavad ühte tervet tsüklit, mille summa on null. Seega jäävad 7-päevasesse aknasse järele vaid selle kaks otsapäeva, mis asuvad 3 päeva kummaltki poolt keskpunkti. Kolm päeva on kuus kümnendikku tsüklist ja kaks päeva, mis asuvad igast punktist nii kaugel kummalgi pool, annavad kokku 2 cos(6π/5) = −1,618 korda seal oleva laine väärtusest. Jagades 7-ga, saame −0,2311. Alumisel graafikul on võimendus negatiivne iga perioodi puhul vahemikus 3,5 kuni 7 päeva. Kõige negatiivsem väärtus −0,2330 asub 4,86 päeva juures ja see on uuesti positiivne 2,33 ja 3,5 vahel. Vajutage Päev on, päev ei ole: kõige kiirem võnkumine, mida päevane rida suudab kanda, pääseb läbi tulemusega −0,1429 ehk seitsmendikuga oma suurusest. Steven W. Smithi digitaalse signaalitöötluse õpik nimetab libisevat keskmist ühes ja samas lauses „erakordselt heaks silumisfiltriks“ ning „erakordselt halvaks madalpääsfiltriks“. Just need sagarad ongi selle põhjuseks.

Viibega keskmine on tsentreeritud keskmine kolm päeva hiljem 🖖

Vajutage Viibega, nagu juhtlaual. Juhtlaud ei saa arvutada keskmist päevade kohta, mida pole veel toimunud. Seepärast paigutab see iga 7-päevase keskmise oma akna viimasele päevale. See tähendab samu seitset arvu ja sama keskväärtust, mis on esitatud 3 päeva pärast akna keskpunkti. Katkendlik joon kujutab tsentreeritud keskmist ja pidev joon on seesama paremale nihutatud kõver. Nende aruannete suurim 7-päevane keskmine, 25 851 päevas, kuulub nädalasse 18.–24. detsembrini. Tsentreeritult asub see 21. detsembril. Viibega asub see 24. kuupäeval. Kumbki asetus pole täiuslik. Tsentreeritud keskmine on ajakohane ja peatub 3 päeva enne andmete lõppu, kuna selle viimased aknad pole veel täis. Viibega keskmine ulatub tänaseni ja kirjeldab nädalat, mille keskpunkt oli 3 päeva tagasi. Sirgjoonelise trendi korral jääb see täpselt 3 muutuste päeva võrra maha. Võimendus jääb puutumata, nii et nädalatsükkel kaob endiselt. Muutub vaid ajastus, liikudes igal sagedusel sama 3 päeva võrra edasi. M-päevase akna puhul on viivitus (M − 1)/2 päeva, seega on 14-päevane viibega keskmine 6,5 päeva maas.

Keskmise keskmine 4 sammu
7-päevane keskmine pöörab 5-päevase võnkumise tagurpidi. Kolleeg soovitab arvutada 7-päevasest keskmisest uue 7-päevase keskmise. Mis saab nüüd 5-päevasest lainest ja nädalatsüklist ning mis on teise läbimise hind? Esmalt vajutage 5-päevane laine, et näha ühe läbimise võimendust.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Üks läbimine, otse lehelt:
  
  $H (\frac{1}{5}) = \frac{sin ( 7 π /5 )}{7 sin ( π /5 )} = - 0.2311$
2. Teine läbimine korrutab lainet uuesti sama võimendusega ning miinus korda miinus on pluss:
  
  $H_{7 \times 7} (\frac{1}{5}) = H (\frac{1}{5})^{2} = (- 0.2311)^{2} = 0.0534$
3. Need kaks läbimist koos moodustavad ühe 13 päeva keskmise, millel on kolmnurksed kaalud, sest ristkülik on konvolveeritud iseendaga:
  
  $z_{t} = \frac{1}{49} (x_{t - 6} + 2 x_{t - 5} + \dots + 7 x_{t} + \dots + 2 x_{t + 5} + x_{t + 6})$
4. Selle poolvõimsuse punkt nihkub eemale, alates H² = ½ ühe läbimise korral kuni H⁴ = ½ kaheni:
  
  $H (f)^{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{f} = 21.74 d (H (f)^{2} = \frac{1}{2} : 15.66 d)$
Vastus

5-päevane laine väljub püstisena, moodustades 0,0534 oma suurusest, ja nädalatsükkel on endiselt eemaldatud, sest 0 × 0 = 0. Hinnaks on aga siluja, mis pehmendab ka aeglasemaid tsükleid. Periood, mille võimsus poolitatakse, liigub 15,66 päevalt 21,74 peale. Lisaks vajab tsentreeritud versioon 3 päeva asemel kummalelegi poole 6 päeva, mistõttu see peatub 6 päeva enne andmete lõppu. Hyndman ja Athanasopoulos nimetavad sellist lähenemist libiseva keskmise libisevaks keskmiseks, mis nende näites on 3×3-MA; siin on tegu 7×7-MA-ga.

$H_{7 \times 7} (\frac{1}{5}) = 0.0534 > 0, H_{7 \times 7} (\frac{1}{7}) = 0 \times 0 = 0$

Õpitee

Allikad (3)

The source of the page's real series: the daily difference of Germany's cumulative confirmed cases in the JHU CSSE COVID-19 Data Repository, licensed CC BY 4.0, with the dashboard paper its terms of use ask users to cite: COVID-19 Data Repository by the Center for Systems Science and Engineering (CSSE) at Johns Hopkins University, time_series_covid19_confirmed_global.csv (archived 10 March 2023). E. Dong, H. Du and L. Gardner, An interactive web-based dashboard to track COVID-19 in real time. The Lancet Infectious Diseases 20(5), 533–534 (2020). doi:10.1016/S1473-3099(20)30120-1
The moving average as a convolution with a rectangular pulse, the centred and one-sided forms, and its frequency response H[f] = sin(πfM)/(M sin πf) (equation 15-2), with the verdict the second insight quotes: "an exceptionally good smoothing filter", "an exceptionally bad low-pass filter": S. W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. California Technical Publishing (online edition, © 1997–2011). Chapter 15, Moving Average Filters.
The m-MA of a time series, why symmetric moving averages have odd order, the 2×m-MA for an even seasonal period, the statement that "a 7-MA can be used to estimate the trend-cycle of daily data with a weekly seasonality" while other orders leave the estimate contaminated by the seasonality, and moving averages of moving averages (the 3×3-MA), which the worked problem extends to 7×7: R. J. Hyndman and G. Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice, 3rd edition. OTexts, Melbourne, 2021. Section 3.3, Moving averages.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Libisev keskmine kui filter

Teooria — Libisev keskmine kui filter

Mida iga sümbol tähendab

7-päevane keskmine eemaldab nädalatsükli, hoolimata selle kujust 🖖

Mõned lained väljuvad keskmisest tagurpidi 🖖

Viibega keskmine on tsentreeritud keskmine kolm päeva hiljem 🖖

Ülesanne täielikult lahendatud

Fourier' teisendus praktikas