Õppetund
Teooria — Diskreetne Fourier' teisendus
N proovi x0 … xN−1 diskreetne Fourier' teisendus on N arvu Xk = Σn xn e−2πikn/N, üks iga lahtri k kohta. Iga lahter mõõdab, kui palju on signaalis lainet, mis teeb N proovi jooksul k tsüklit. Teisendus käsitleb proove korduva signaali ühe perioodina, mistõttu on see täpne täisarv tsükleid tegevate toonide puhul, kuid hajutab kõik teised toonid lahtrite vahel laiali. Seda nähtust nimetatakse spektri lekkeks. Liitekoha pehmendamiseks korrutatakse proovid esmalt läbi aknafunktsiooniga wn.
Mida iga sümbol tähendab
A_k- lahtrist k tuletatud amplituud, mida näitavad tulbad: 2|Xk|/(N·G) vahemikus 0 < k < N/2 ning |Xk|/(N·G) väärtustel k = 0 ja k = N/2, millel pole jagamiseks peegellahtrit. Amplituudiga 1 toon annab lahtris näiduks 1
G- akna koherentne võimendus, mis on wn keskväärtus: 1 ilma aknata, ½ Hanni akna puhul
- Eeldab
- Iga toon algab oma tipust ehk on koosinus. Kaugema saba näitajad muutuvad koos algfaasiga. Koosinuse korral on 10,5-tsüklilise tooni lahter 31 kõrgeimast tulbast 26,3 dB madalam ja siinuse korral 31,2 dB madalam, kuid kahe lähima lahtri 81% peaaegu ei muutu. Hanni aken on perioodilisel kujul ½ − ½cos(2πn/N), mille teisendus koosneb täpselt kolmest lahtrist.
Ülesanne täielikult lahendatud
-
Korrigeeri näitu ja muuda seejärel korrigeerimine tarbetuks 4 sammu
Analüsaator võtab 8000 proovi sekundis ja teisendab 64 proovi korraga, ilma aknafunktsioonita. Sa sisestad 1312,5 Hz testtooni ja kõrgeim tulp näitab 0,32. Milline on tooni tegelik amplituud ja mitu proovi ploki kohta paigutaks tooni täpselt lahtrisse? Vajuta Nooled painduvad, ja leht mängib tooni just sellel sagedusel.
-
Lahtrite vahe on 8000/64 Hz, seega teeb toon ühe ploki jooksul 10,5 tsüklit, asudes poolel teel lahtrite 10 ja 11 vahel.
-
Poolel teel olles näitab lehe kõrgeim tulp 64,61% toonist. Jaga see välja:
-
Toon langeb lahtrisse siis, kui plokk sisaldab täisarvu tsükleid. 128 prooviga on lahtrite vahe 62,5 Hz:
-
Kui analüsaator oleks 64 proovi peal kasutanud Hanni akent, näitaks kõrgeim tulp 84,89% toonist ning sama toon annaks tulemuseks:
Vastus
Umbes 0,495 ja 128 proovi ploki kohta. Sobib ka iga 128 kordne, sest 1312,5 Hz vajab täisarvu tsüklite (21) saavutamiseks 128 proovi. See leht on lukustatud 64 proovi peale, mistõttu 128 prooviga variant jääb siin näidatavast väljapoole. 128 korral näitaks tulp täit väärtust 0,495 ning akent poleks enam amplituudi lugemiseks vaja, vaid üksnes selleks, et hoida tugeva tooni saba eemal nõrgast toonist.
-
Õpitee
Fourier' teisendus praktikas
Allikad (2)
- The standard reference on windows. Leakage defined as the page shows it: of all frequencies “only those which coincide with the basis will project onto a single basis vector; all other frequencies will exhibit non zero projections on the entire basis set”, because “the periodic extension of a signal not commensurate with its natural period exhibits discontinuities at the boundaries of the observation” (p. 52). Table I (p. 55) gives coherent gain 1.00 and 0.50 and scalloping loss 3.92 dB and 1.42 dB for the rectangle and Hann windows: F. J. Harris, “On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform”, Proceedings of the IEEE, vol. 66, no. 1, pp. 51–83 (1978).
- The DFT's definition, and what happens to a frequency that is not a bin: the sum “is N if ωₖ = ωₓ and zero at ωₗ, for l ≠ k. However, the sum is nonzero at all other frequencies”: J. O. Smith III, Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications, 2nd ed., W3K Publishing (2007), “DFT Definition” and “Frequencies in the ‘Cracks’”.