Spektrogramm

Neli puhastest toonidest koosnevat lühikooskõla, nende spektrogramm ja üks läbilõige. Muuda akna pikkust ning jälgi, kuidas lähestikku asuvad noodid selginevad ja ajaline täpsus hägustub, või vastupidi. Kriipsjoontega tähistatud tulbad kujutavad partituuri ehk nootide tegelikku asukohta.

Näidisarvutus — Spektrogramm

Pooltoon madalaimast noodist	26,16 Hz
Selle pooltooni üks tuikse	38,2 ms
Aken, mis eraldab need alati	50,6 ms
120 bpm kuueteistkümnendikes	0,31
Peahõlm keskelt esimese nullini	26,2 Hz
Tipud 6 dB piires lõigus 1,06 s	kaks
Kaht tippu näitavad lõigud	61,9%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Spektrogramm

Spektrogramm näitab, kuidas signaali spekter ajas muutub. Signaal lõigatakse osaliselt kattuvateks lõikudeks, millest igaüks korrutatakse T pikkuse aknaga ning millele tehakse Fourier' teisendus (lühiajaline Fourier' teisendus); seejärel asetatakse amplituudid üksteise kõrvale. Aken pikkusega T hägustab aega umbes T võrra ja helikõrgust umbes 1/T võrra, seega ei suuda ükski pikkus näidata korraga lähestikku asuvaid helikõrgusi ja kiireid muutusi. Kaks pooltoonise vahega helikõrgust erinevad suuruse Δf = f(2^1/12 − 1) võrra ja tuiksuvad kord iga 1/Δf järel.

Eeldab: Eeldatakse võrdse valjusega puhtaid siinustoone. Kui pärisnoodil on harmoonilised ülemtoonid, asuvad kahe pooltoonise vahega noodi n-ndad harmoonilised üksteisest n korda kaugemal kui noodid ise. Seega eraldab spektrogramm neid harmoonilisi lühemate akendega, kui vajaksid põhihelid; see, kui suur osa bassiheli energiast peitub harmoonilistes, oleneb instrumendist.

Kaks pooltoonise vahega nooti vajavad ühest tuiksest pikemat akent 🖖

Klõpsa valikut Üks tuikse, ristkülik. Noodid A4 ja A♯4 asuvad teineteisest 26,16 Hz kaugusel, seega tuiksuvad nad koos 26,16 korda sekundis ehk kord iga 38,2 ms järel. Täpselt nii pikk aken on tavaline rusikareegel: sageduslik eraldusvõime on pöördvõrdeline akna pikkusega. Leht loendab lõigud kokku ning vaid 61,9% neist näitab kaht tippu. Ebaõnnestunud lõigud satuvad hetkedele, mil kaks tooni on faasis ning liituvad helikõrguste vahepeal üheksainsaks künkaks; ühe tuikse pärast on need taas faasis. Iga lõik eristab toone alles siis, kui ristkülikukujuline aken katab 1,33 tuikset (50,6 ms) või Hanni aken 1,88 tuikset (72,0 ms), sest viimase kitsenevad otsad muudavad aktiivse kuulamisaja akna kogupikkusest lühemaks. Klõpsa Piisavalt pikk: 80 ms juures näitavad kõik lõigud mõlemat nooti. Julius Smithi raamatus Spectral Audio Signal Processing toodud reegel (kaks tuikset ristküliku ja neli Hanni puhul) on käesolevast katsest rangem, sest see nõuab kahe peahõlma täielikku eraldatust.

Bassiliin vajab meloodiast aeglasemat kella 🖖

Pooltoon on püsiv suhtarv, 2^1/12, mistõttu selle laius hertsides kahaneb koos helikõrgusega: noodil A5 on see 52,33 Hz, aga neli oktavit madalamal noodil A1 kõigest 3,27 Hz. Akent tuleb vastavalt suurendada, ja tulemuste all olev tabel näitab seda astmestikku: Hanni aken vajab pooltooni eraldamiseks noodil A5 vähemalt 36,0 ms, kuid noodil A1 juba 576,2 ms, mis ületab tempos 120 lööki minutis nelja ja poolt kuueteistkümnendiknooti. Klõpsa Meloodiatriller: kuueteistkümnendikena vahelduvad A5 ja A♯5 eristuvad 36 ms aknaga ning 95,0% lõikudest näitab õiget nooti. Klõpsa valikut Bassitriller, mis laseb sama trillerit neli oktavit madalamalt läbi ühe noodi pikkuse ehk 125 ms akna: tulemuseks on vaid 1,2%. Nüüd lohista akna liugurit. Lühikesena on see 55 Hz ja 58,27 Hz eristamiseks liiga ebatäpne; olles eristamiseks piisavalt pikk, katab see aga neli või viis nooti ja kuuleb mõlemat korraga. Ükski 10 ms kuni sekundipikkune aken ei suuda isegi neljandikus lõikudes tuvastada, milline bassinoot parasjagu kõlab. Muusika jaoks loodud analüsaatorid lahendavad probleemi, andes igale helikõrgusele eraldi akna: Judith Browni 1991. aasta konstantse hüveteguriga (constant-Q) teisendus muudab akna pikkuse sagedusega pöördvõrdeliseks, olles basside jaoks pikk ja kõrgete helide jaoks lühike.

Libiseval noodil on parim akna pikkus ja pikem aken muudab selle häguseks 🖖

Klõpsa Libisemine: üks toon libiseb 440 Hz pealt 880 Hz peale kahe sekundiga ehk 220 Hz iga sekund. Läbi 140 ms Hanni akna on selle joon keskel 18,2 Hz laiune. Akna poolitamisel 70 ms peale joon laieneb 29,0 Hz laiuseni, nagu lühema akna puhul juhtuma peabki. Selle kahekordistamisel 280 ms peale laieneb joon samuti, jõudes 30,8 Hz laiuseni. Pikemal aknal on küll kitsam peahõlm, kuid helikõrgus liigub akna mõõtmise ajal: 280 ms jooksul katab libisemine 61,6 Hz ning aken mätsib kogu selle vahemiku üheks jooneks. Need kaks hägustumisefekti kisuvad vastassuundades ning selle konkreetse libisemise puhul on joon kõige kitsam 140 ms lähedal. Pideval akordil sellist parimat pikkust pole: alates 72,0 ms jaotub iga Hanni lõik kaheks ning pikem aken muudab hõlmad vaid kitsamaks. Mõlema nähtuse taga peitub alampiir, kui väike saab akna ajalise ja sagedusliku hajuvuse korrutis üldse olla; see ongi lainepakettide lehekülje teemaks.

Ülesanne täielikult lahendatud

Klaveri madalaim noot 4 sammu
Klaveri madalaim A on A0, 27,5 Hz. Kui pikka Hanni akent spektrogramm vajab, et näidata A0 ja A♯0 iga lõigu puhul kahe tipuna, ning kuidas on see võrreldav kuueteistkümnendiknoodiga tempos 120 lööki minutis? Millist akent kasutab seal Judith Browni konstantse hüveteguriga (constant-Q) analüsaator? Klõpsa esmalt valikut Bassitriller: leht annab arvud oktav kõrgema A1 kohta.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Pooltoon noodist A0 kõrgemal:
  
  $Δ f = 27.5 Hz \times (2^{1/12} - 1) = 27.5 \times 0.05946 = 1.635 Hz$
2. Hanni aken vajab 1,8845 tuikset. Noodist A1 oktav madalamal väheneb vahe poole võrra, seega on akna pikkus lehel toodud 576,2 ms võrreldes kahekordne:
  
  $T = \frac{1 . 8845}{1 . 635 Hz} = 1.152 s = 2 \times 576.2 ms$
3. Kuueteistkümnendiknootides tempos 120 lööki minutis, igaüks 125 ms:
  
  $\frac{1 , 152 ms}{125 ms} = 9.2$
4. Browni konstantse hüveteguriga (constant-Q) aknad sisaldavad analüüsitava helikõrguse Q = 34 tsüklit (Hammingi kujulised, et saavutada veerandtooniline eraldusvõime), seega on nende pikkus Q/f:
  
  $T_{Q} = \frac{Q}{f} = \frac{34}{27 . 5 Hz} = 1.236 s; \frac{34}{440 Hz} = 77.3 ms$
Vastus

Umbes 1,15 s, ehk rohkem kui üheksa kuueteistkümnendiknooti. Sellise pikkuse juures katab üks aken klaveri alumise oktavi kiires passaažis enam kui üheksat nooti. Browni aken noodil A0, pikkusega 1,24 s, on veelgi pikem; noodil A4 maandub tema 77,3 ms väga lähedale lehel toodud 72,0 ms Hanni väärtusele, tulenedes siiski erinevast kriteeriumist.

$T \approx 1.15 s > 9 \times 125 ms$

Õpitee

Fourier' teisendus praktikas

Allikad (2)

How long a window must be to resolve two sinusoids Δf apart: M ≥ K fₛ/|f₂ − f₁|, “the window length M must span at least K periods of the difference frequency”, with K = 2 for the rectangular window and 4 for Hann, a sharper empirical K* of 1.44 and 2.36, and the summary that “the window must ‘see’ at least 1.5 cycles of the minimum difference frequency”: J. O. Smith III, Spectral Audio Signal Processing, W3K Publishing (2011), “Resolving Sinusoids”, “Simple Sufficient Condition for Peak Resolution” and “Summary”.
The constant-Q transform, built because the DFT's fixed resolution does not suit musical pitch: “for the ratio of frequency to bandwidth to be a constant (constant Q), then the window size must vary inversely with frequency”, with Q = f/δf = f/0.029f = 34 for quarter-tone resolution and window length N[k] = (S/fₖ)Q samples (p. 427): J. C. Brown, “Calculation of a constant Q spectral transform”, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 89, no. 1, pp. 425–434 (1991).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.