Määramatuse printsiip ja lainepaketid

Vali paketi kuju ja laius. Leht näitab kõrvuti paketti ning selle moodustavate lainearvude jaotust ja arvutab korrutise Δx·Δk. Vali ka osake ja aeg, et näha, kui laiali on pakett pärast vabastamist valgunud.

Näidisarvutus — Määramatuse printsiip ja lainepaketid

Lainearvu hajuvus	0,5000 nm⁻¹
Kahe hajuvuse korrutis	0,5000
Impulsi hajuvus	5,273×10⁻²⁶ kg·m/s
Kiiruse hajuvus	5,788×10⁴ m/s
Laiuse kahekordistumise aeg	29,92 fs
Laius 100,0 fs pärast vabastamist	5,874 nm

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Määramatuse printsiip ja lainepaketid

Lainepakett on tasalainete e^ikx summa. Nende amplituudid φ(k) on jaotunud üle teatava lainearvude vahemiku ning summa annab ruumis piiratud laine. Laiused Δx ja Δk on jaotuste |ψ(x)|² ja |φ(k)|² standardhälbed. Iga sellise summa korral kehtib Δx·Δk ≥ ½, kusjuures võrduse annab ainult Gaussi pakett. Ainelainel on impulss p = ħk, seega väljendab sama võrratus Heisenbergi määramatuse printsiipi: Δx·Δp ≥ ħ/2.

Mida iga sümbol tähendab

Δx: asukoha standardhälve jaotusest |ψ(x)|²
Δk: lainearvu standardhälve spektrist |φ(k)|²
Δp: impulsi standardhälve ħΔk
ħ: taandatud Plancki konstant h/2π = 1,055×10⁻³⁴ J s
t₂: aeg, mille jooksul vaba paketi Δx kahekordistub

Eeldab: Vaatleme ühemõõtmelist vaba osakest, millele pärast vabastamist jõudu ei mõju. Vabastamishetkel on pakett reaalne ja sümmeetriline, nii et selle keskmine kiirus on null ning ükski osa ei saa teistest varem liikuma hakata. Energia on mitterelativistlik: E = p²/2m. Laiustena kasutatakse standardhälbeid, seepärast on alumine piir ½. Poolkõrguslaiustega mõõtes oleks Gaussi paketi korrutis hoopis 4 ln 2 ≈ 2,77.
Ei kehti, kui: Kui paketi faas muutub ruumis, on tegu säutsuga paketiga. Selle |ψ(x)|² jääb samaks, kuid spekter on laiem ja pakett asub alampiirist kõrgemal. Kui kiiremad osad paiknevad algul taga, tõmbub pakett enne laialivalgumist kokku. Jõu mõjul muutub levimine sootuks: harmoonilises potentsiaaliaugus säilitab õige laiusega Gaussi pakett ehk ostsillaatori põhiseisund oma laiuse jäädavalt. Tolmutera ei jäeta aga kunagi nii kauaks omaette, et see jõuaks märgatavalt laiali valguda. Õhumolekulide ja soojuskiirguse footonite põrked talletavad selle asukoha palju kiiremini, kui laius saaks kahekordistuda. Seda nähtust nimetatakse dekoherentsiks.

Ainult Gaussi pakett saavutab väärtuse ½; ristkülik ei jõua ligilähedalegi 🖖

Kõik siinsed lainepaketid on tasalainete summad ning Δx·Δk ≥ ½ käib just selliste summade kohta: see kehtib heli ja valguse puhul juba enne, kui jõuame elektronideni. Vaata tabelis olevat viit kuju, millel kõigil on sama Δx. Gaussi lainepakett annab 0,5000. Kolmnurk annab 0,5477, koosinuskaar 0,5679 ja eksponentfunktsioon, mille amplituud k-ruumis on Lorentzi funktsioon, 0,7071. Ristkülik, mis näib neist viiest kõige tihedamalt piiritletud, annab lõpmatuse. Selle servades on hüpped ning hüppe kirjeldamiseks on vaja igasuguse lainearvuga laineid. Seetõttu ei lõpe ruutlaine <a href="/math/fourier-series">Fourier’ reas</a> harmoonikud kunagi. Spekter kahaneb kõigest nagu 1/k² ja Δk määrav integraal ei koondu. Vajuta Ristkülik: selle spektri külgsagarad võnguvad graafiku mõlema servani ja kaugemalegi, samal ajal kui Gaussi spekter on juba ammu nulli jõudnud. Võrdus kehtib ainult Gaussi lainepaketi korral. See pole nende viie kuju juhuslik iseärasus, vaid teoreem. Ainelaines on p = ħk; korrutades ħ-ga, saame Heisenbergi määramatuse seose Δx·Δp ≥ ħ/2.

Laiusele 1 nm piiratud elektroni laius kahekordistub 29,92 femtosekundiga 🖖

Kui pakett vabastada, hakkavad selle lained lahknema, sest igaüks kannab oma impulssi ħk. Kiiruse hajuvus on Δv = ħΔk/m ja laius kasvab kujul √(Δx² + (Δv t)²). Laius on kahekordistunud, kui Δv t = √3 Δx. Gaussi paketi korral kulub selleks 2√3 mΔx²/ħ: aeg on võrdeline massi ja alguslaiuse ruuduga. Vajuta Elektron, 1 nm: 29,92 fs. Valikuga Elektron, 0,1 nm on pakett kümme korda kitsam ja kahekordistub sada korda kiiremini, 0,2992 fs jooksul. Seejärel vali Tolmutera. Laiusele üks mikromeeter piiratud mikrogrammise tolmutera laius kahekordistub 1,041×10⁶ aasta jooksul ning aasta pärast vabastamist on see nelja tüvenumbrini ikka 1,000 µm. Ka tolmutera valgub laiali. See on elektronist 10²¹ korda raskem ja alguses tuhat korda laiem; mõlemad tegurid pikendavad kahekordistumisaega.

Pigista pakett kümme korda kitsamaks ja hiljem on see peaaegu kümme korda laiem 🖖

Kitsama alguse hind on suurem kiiruste hajuvus, mis piisava aja järel määravaks saab. Vajuta Elektron, 1 nm ja vaata tulemuste laiuserida: 100 fs pärast vabastamist on paketi laius 5,874 nm. Nüüd vajuta Elektron, 0,1 nm. Alguses oli pakett kümme korda kitsam, nüüd on selle laius 57,88 nm. Iga aja t jaoks leidub parim alguslaius √(ħt/2m). Aja 100 fs korral on see 2,406 nm ning paketi lõplik laius on sellest √2 korda suurem ehk 3,402 nm. Kitsamast või laiemast paketist alustades on tulemus 100 fs pärast laiem. Alguslaiuste astmik näitab pöördepunkti. Laialivalgumise graafikul lõikub kümme korda kitsamalt alustava paketi lilla joon sinisega juba esimeste femtosekundite jooksul ja jääb sellest kõrgemale. Kui elektroni asukoht praegu täpsemalt määrata, on see hiljem ebamäärasem.

Ülesanne täielikult lahendatud

Miks on aatom just nii suur? 5 sammu
Elektroni hoiab prootoni lähedal nendevaheline tõmbejõud. Kui vähima võimaliku impulsi määrab määramatuse printsiip, kui suur on aatom ja kui tugevasti on elektron seotud? Esimese sammu jaoks vajuta Elektron, 0,1 nm.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kui elektron on piiratud laiusele Δx = 0,1 nm, on väikseim lubatud impulsi hajuvus ħ/2Δx. Gaussi paketi kohta näitab leht:
  
  $Δ p = \frac{ℏ}{2 Δ x} = \frac{1 . 0546 \times 1 0 ^{- 34} J s}{2 \times 1 0 ^{- 10} m} = 5.273 \times 1 0^{- 25} kg m/s$
2. Juba see hajuvus annab kineetilise energia:
  
  $E_{k} = \frac{Δ p ^{2}}{2 m _{e}} = \frac{( 5 . 273 \times 1 0 ^{- 25} ) ^{2}}{2 \times 9 . 109 \times 1 0 ^{- 31} kg} = 1.526 \times 1 0^{- 19} J = 0.9525 eV$
3. Tähistame piiramisraadiuse tähega r, võtame impulsi ligikaudu võrdseks ħ/r-ga ja lisame prootoni tõmbeenergia. Koguenergia on
  
  $E (r) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m _{e} r ^{2}} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$
4. Miinimumis on selle tuletis null:
  
  $\frac{d E}{d r} = - \frac{ℏ ^{2}}{m _{e} r ^{3}} + \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} = 0 \Rightarrow r = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}} = 5.292 \times 1 0^{- 11} m$
5. ning vähim energia on
  
  $E (r) = - \frac{m _{e} e ^{4}}{2 ( 4 π ε _{0} ) ^{2} ℏ ^{2}} = - 2.180 \times 1 0^{- 18} J = - 13.61 eV$
Vastus

Hinnangu järgi asub elektron prootonist 0,05292 nm kaugusel ja selle seoseenergia on 13,61 eV. Saame Bohri raadiuse ning vesiniku ionisatsioonienergia vähem kui 0,1% veaga. Nii hea kokkulangevus on osalt juhuslik, sest lähend p ≈ ħ/r on meie valik; kasutades ħ/2r, tuleks raadius neli korda väiksem. See, et aatomil üldse kindel mõõde on, pole juhus. Elektroni tugevam piiramine kasvatab kineetilist energiat võrdeliselt 1/r²-ga, tõmbeenergia võit kasvab aga vaid nagu 1/r. Teatavast raadiusest allpool maksab edasine piiramine rohkem, kui tõmbejõud võidab. Klassikalisel elektronil sellist alampiiri poleks ja see langeks prootonisse.

$r = 0.05292 nm = a_{0}, E = - 13.61 eV (hydrogen: - 13.598 eV)$

Õpitee

Kvantmehaanika: aine kui lained

Allikad (3)

A packet built from plane waves, how its width grows once released, σ²(t) = Δx² + α²t²/(4Δx²) with α = ħ/m, and Δx·Δk ≳ ½ from the same analysis: R. Fitzpatrick, "Evolution of Wave Packets" and "Heisenberg's Uncertainty Principle", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The mathematics of the inequality: Heisenberg's Δx·Δk ≥ ½ for any square-integrable function, with equality only for Gaussians, and its many variants: G. B. Folland and A. Sitaram, "The uncertainty principle: A mathematical survey", Journal of Fourier Analysis and Applications 3, 207–238 (1997).
The constants, ħ = h/2π, the electron and proton masses and ε₀, and the Bohr radius the worked problem lands on: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.