Kvanttunneldumine

Vali osake, selle energia E ning teele jääva barjääri kõrgus U ja laius a. Leht lahendab Schrödingeri võrrandi täpselt barjääri ees, sees ja taga, kujutab laine graafikul ning näitab läbinud osakeste osakaalu kõrvuti paksu barjääri lähendiga 16E(U − E)/U² · e^−2κa.

Näidisarvutus — Kvanttunneldumine

Lainearv väljaspool barjääri	3,623 nm⁻¹
Lainepikkus väljaspool barjääri	1,734 nm
Sumbetegur barjääri sees	3,623 nm⁻¹
Barjääri laius ühikutes 1/κ	1,811
Täpne läbilaskvus	10,14%
Paksu barjääri lähend	10,68%
Mitu korda väheneb T, kui laiust lisada 0,1 nm	2,009×
Sama paksu barjääri lähendi järgi	2,064×

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kvanttunneldumine

Tunnelefekt tähendab, et osake läbib ala, kus tema energia E on potentsiaalsest energiast U väiksem. Klassikalise mehaanika järgi pole see võimalik. Sellise barjääri sees lainefunktsioon ei võngu, vaid on liikmete e^−κx ja e^+κx lineaarkombinatsioon. Paksus barjääris domineerib kahanev liige, kus κ = √(2m(U − E))/ħ, ning teisele poole jõudnud amplituud jätkub leviva lainena. Läbilaskvustegur T näitab, kui suur osa langevast tõenäosusvoolust pääseb läbi. Ristkülikukujulise barjääri korral avaldub see täpselt kinnisel kujul; kui κa on suurem kui 2, erineb tulemus lähendist 16E(U − E)/U² · e^−2κa vähem kui 4%.

Mida iga sümbol tähendab

E: osakese kineetiline energia väljaspool barjääri
U: barjääri kõrgus ehk osakese potentsiaalne energia selle sees
a: barjääri laius
κ: sumbumiskonstant barjääri sees; paksus barjääris kahaneb |ψ|² e korda teepikkusel 1/(2κ)
T: läbilaskvustegur ehk läbinud osakeste osakaal; osakesed osakaaluga R = 1 − T peegelduvad

Eeldab: Üks ruumimõõde, püstloodis külgede ja lameda laega barjäär ning sama potentsiaal selle mõlemal küljel. Osakesel on kindel energia ja teda kirjeldab lainepaketi asemel tasalaine, mistõttu T on ühe osakese läbimineku tõenäosus. Relativistlikke mõjusid ei arvestata: energiad on siin elektronvoltides, elektroni seisumassienergia aga 511 keV.
Ei kehti, kui: Tegeliku barjääri küljed on kaldu. Mikroskoobi vaakumpilu barjääri madaldab ja ümardab elektroni kummaski metallis tekitatud peegellaeng, rakendatud pinge aga kallutab selle ülaserva. Piisavalt tugevas väljas muutub barjäär kolmnurkseks ning elektronid tunneleeruvad külmast metallist välja. Seda nimetatakse külmemissiooniks ja seda kirjeldab Fowler–Nordheimi seadus, mitte siinne valem. Sujuva barjääri korral asendatakse WKB-lähenduses κa integraaliga, mis leitakse κ(x) järgi üle kogu barjääri. Katses saadetakse teele lainepakett, mille energiad jaotuvad üle mingi vahemiku. Läbilaskvus keskmistub üle selle jaotuse, nii et barjääri tipust kõrgemal asuvad teravad resonantsid hägustuvad.

Kui pilu on laiem kui 0,4 nm, vähendab iga lisanduv 0,1 nm voolu 8,8 korda 🖖

Vajuta STM-vahemik. Elektroni energia on barjääri tipust 4,5 eV madalam, mis vastab ligikaudu metalli väljumistööle, ning vahemik on 0,5 nm. Kui suurendada seda 0,1 nm võrra, väheneb T 8,789 korda; paksu barjääri lähend e^{2κ × 0,1 nm} annab 8,790. Tulemuste all olev astmik näitab alates laiusest 0,4 nm igal sammul sama suhet, täpsusega 0,3%. Ainult esimesed sammud on väiksemad: laiuse kasvamisel 0,1 nm-lt 0,2 nm-ni on suhe 7,293, sest ühikutes 1/κ pole nii õhuke barjäär veel paks. Gerd Binnig, Heinrich Rohrer ja nende kolleegid IBMi Zürichi uurimislaboris kasutasid seda järsku sõltuvust skaneeriva tunnelmikroskoobi ehitamisel ning avaldasid tulemused 1982. aastal. Kui hoida otsaku liikumise ajal vool muutumatuna, peab otsaku kõrgus järgima pinna reljeefi. Et 0,2 nm kaugemal asuva aatomi, astmikus kaks sammu allpool, vool on ligikaudu 77 korda väiksem, läbib peaaegu kogu vool otsaku tipus olevat üksikut aatomit. Tegur 8,8 ei sõltu ka energiast E. Muuda E-d ja U-d koos nii, et U − E jääks väärtusele 4,5 eV, ning tegur püsib 8,79, sest κ = √(2m(U − E))/ħ sõltub ainult nende vahest.

Prooton pääseb läbi ligikaudu 10⁶⁶ korda harvemini kui elektron 🖖

Vajuta esmalt Elektron, 0,5 eV ja seejärel Prooton, 0,5 eV: sama energia, sama 1 eV barjäär ja sama laius 0,5 nm. Elektron pääseb läbi 10,14% juhtudest. Prooton on 1 836 korda raskem ja pääseb läbi tõenäosusega 1,535×10⁻⁶⁷. Mass esineb κ avaldises ruutjuure all, mistõttu prootoni κa on elektroni omast vaid √1 836 ≈ 42,85 korda suurem: 77,62 elektroni 1,811 vastu. Ent κa asub eksponendis ning e^−2κa muudab teguri 43 erinevuseks, mis ulatub 66 suurusjärguni. Müüon massiga 206,8 elektronmassi jääb nende vahele: 9,530×10⁻²³. Astmiku all olevas tabelis on kõik kolm osakest. Tunneldumine ei ole seega lihtsalt kõigi väikeste objektide omadus. See soosib kergeid osakesi ja õhukesi tõkkeid: kui seada laiuseks 0,05 nm, kasvab prootoni T väärtuseni 7,252×10⁻⁷.

Ka tipu kohal peegeldub 46% 🖖

Vajuta 1,2 eV üle 1 eV. Elektronil on barjääri kõrgusest 20% rohkem energiat, seega ületaks ta klassikalise füüsika järgi barjääri alati. Lehekülg annab T = 53,64%. Peegeldumise põhjustavad barjääri servad. Punktis x = 0 muutub lainepikkus hüppeliselt: väljaspool on see 1,120 nm, sees aga pikem. Iga järsk muutus laine levikeskkonnas saadab osa lainest tagasi, nii nagu klaas peegeldab väikese osa sellesse sisenevast valgusest. Esi- ja tagaservalt peegeldunud lained interfereeruvad. Kui barjääri mahub täisarv poollainepikkusi, qa = nπ, kustutavad peegeldused teineteise täielikult ning T = 1. See juhtub energiatel E − U = n²h²/(8ma²), mis on barjääriga sama laia <a href="/phy/particle-in-a-box">kastis oleva osakese</a> energiatasemed. Vajuta Kasti energiatase: barjääri laius on 1 nm, E − U = 0,376 eV ehk elektroni põhiseisundi energia 1 nm laiuses kastis ning T = 100,00%. Energiagraafikul tähistavad neid tasemeid punktiirjooned ja kõver puudutab iga taseme juures väärtust 1.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui madalat astangut suudab tunnelmikroskoop näha? 4 sammu
Skaneeriva tunnelmikroskoobi elektroonika hoiab tunnelivoolu muutumatuna 2% piires. Elektroni energia jääb 0,5 nm laiuse pilu barjääri tipust 4,5 eV madalamale. Esimese sammu jaoks vajuta STM-pilu.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Leht näitab barjääri sisest sumbumiskonstanti; ühikutes 1/κ on barjäär paks:
  
  $κ = \frac{2 m _{e} \times 4 . 5 eV}{ℏ} = 10.87 n m^{- 1}, κa = 5.434$
2. Sellise paksuse korral võrdub T avaldisega e^−2κa, mida korrutab a-st sõltumatu tegur. Et vool on võrdeline T-ga, sõltub ln T muutujast a kahaneva lineaarfunktsioonina:
  
  $T \approx \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} e^{- 2 κa} \Rightarrow ln T = ln \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} - 2 κa$
3. Pilu kitsendamine Δa võrra suurendab voolu 2%. See tähendab, et ln T suureneb ln 1,02 võrra:
  
  $Δ a = \frac{ln 1 . 02}{2 κ} = \frac{0 . 019803}{21 . 736 n m ^{- 1}} = 9.111 \times 1 0^{- 4} nm = 0.9111 pm$
4. Kui täpsest valemist leida pilu muutus, mis annab sama teguri 1,02, saame nelja tüvenumbri täpsusega sama vastuse:
  
  $T (a + Δ a) = \frac{T ( a )}{1 . 02} (exact formula) \Rightarrow Δ a = 0.9111 pm$
Vastus

Pilu muutus 0,9111 pm muudab voolu 2%. See on üks viiekümne kaheksandik Bohri raadiusest, mis on 52,92 pm, kuigi elektroonika ei tee muud kui hoiab voolu muutumatuna. Teravik ise ei pea olema nii terav; piisab, kui selle otsas on üks aatom naabritest proovile lähemal, sest voolu määrab peaaegu täielikult just selle aatomi kaugus pinnast. Seetõttu suudab tunnelmikroskoop jälgida pinna kõrgusemuutusi, mis moodustavad vaid väikese osa aatomi kõrgusest.

$Δ a = 0.9111 pm \approx \frac{a _{0}}{58}, a_{0} = 52.92 pm$

Õpitee

Kvantmehaanika: aine kui lained

Allikad (3)

The rectangular barrier solved exactly, with the reflection and transmission probabilities for E below the top in closed form, the same formula this page evaluates: R. Fitzpatrick, "Square Potential Barrier", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The first scanning tunnelling microscope, which turned the exponential dependence of the tunnelling current on the gap into a picture of a surface: G. Binnig, H. Rohrer, Ch. Gerber and E. Weibel, "Surface Studies by Scanning Tunneling Microscopy", Physical Review Letters 49, 57–61 (1982).
The constants: the Planck constant and the elementary charge, exact in the SI, and the electron, muon and proton masses: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.