de Broglie lainepikkus ja ainelained

Vali osake ja selle kineetiline energia või elektroni ja prootoni korral kiirenduspinge. Pallile anna kiirus. Leht arvutab impulsi järgi täpse lainepikkuse, võrdleb seda õpikuvalemi tulemusega ning leiab nurga, mille all niklikristalli pind kiire kõrvale suunaks.

Näidisarvutus — de Broglie lainepikkus ja ainelained

Seisuenergia	511,0 keV
Impulss kujul pc	7,429 keV
Lainepikkus	0,1669 nm
Lainepikkus mitterelativistliku valemi järgi	0,1669 nm
Valemi suhteline ülehinnang	0,00264%
Kiirus valguse kiiruse osana	0,01454
Esimest järku kiir nikli pinnalt	50,66°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — de Broglie lainepikkus ja ainelained

Liikuval osakesel on lainepikkus, mida nimetatakse de Broglie' lainepikkuseks: λ = h/p, kus p on osakese impulss ja h Plancki konstant. Seetõttu difrageerub osakeste kimp valguse kombel võrel, mille samm on λ-ga võrreldav. Massiga m ja kineetilise energiaga K osakese impulsi annab pc = √(K² + 2K·mc²). Kui K on seisuenergiast mc² palju väiksem, taandub see tuttavaks avaldiseks p = √(2mK). Paigalseisust V-voldise pingega kiirendatud elektroni või prootoni korral on K = eV.

Mida iga sümbol tähendab

λ: osakese de Broglie' lainepikkus
h: Plancki konstant, täpselt 6,62607015×10⁻³⁴ J·s
p: osakese impulss; pc väljendab sama suurust energiana
K: kineetiline energia; V-voldise pingega kiirendatud ühe elementaarlaenguga osakese korral K = eV
mc²: seisuenergia, elektronil 511,0 keV ja prootonil 938,3 MeV
d: nikli (111)-tahu aatomiridade vahekaugus, 0,2158 nm
φ: sissetuleva kiire ja esimese difrageerunud kiire vaheline nurk, mille annab sin φ = λ/d

Eeldab: Kõigil kimbu osakestel on sama energia. Paigalseisust kiirendatud laengu korral on see väljaspool kristalli mõõdetuna K = eV. Kiir langeb nikli pinnale risti ning pinda käsitletakse peegeldusvõrena, mille aatomiridade vahekaugus on 0,2158 nm. Seega osaleb ainult kõige ülemine aatomikiht. Nikli aatomiridade vahekaugus arvutatakse võrekonstandist 0,352387 nm. Palli massiks võetakse 145 g, mis vastab ligikaudu pesapalli massile.
Ei kehti, kui: Metalli sees tõmbab kristall elektroni enda poole ja elektron liigub kiiremini kui väljaspool, mistõttu on selle lainepikkus seal lühem. 1928. aastal teatasid Davisson ja Germer, et nende kiired ei järgi pinnaaluste aatomikihtide puhul Braggi seadust. Carl Eckarti ettepanekul seletasid nad seda murdumisega. Siin kasutatavat pinna aatomiridade valemit murdumine ei mõjuta, sest tõmme mõjub pinnaga risti ega muuda pinnaga paralleelset impulssi. Valem kehtib kõigi osakeste kohta, olenemata nende laengust. 1930. aastal suunasid Immanuel Estermann ja Otto Stern heeliumi aatomite ning vesiniku molekulide kimbud liitiumfluoriidikristallile ja täheldasid nende difraktsiooni.

54-voldise elektroni lainepikkus on kahe aatomi vahe suurune 🖖

Vali Davissoni ja Germeri 54 V. Elektroni lainepikkus on 0,1669 nm. Niklikristalli (111)-tahul paiknevad aatomiread üksteisest 0,2158 nm kaugusel. Pind toimib peegeldusvõrena, mille samm on lainepikkusest vaid pisut suurem, ning esimene difrageerunud kiir väljub suunas, mille annab sin φ = λ/d: sissetuleva kiire suhtes 50,66° nurga all. 1927. aastal suunasid Clinton Davisson ja Lester Germer New Yorgis Bell Telephone Laboratoriesis 54 V pingega kiirendatud elektronid otse sellisele tahule ning mõõtsid selgelt eristuva kiire 50° juures. Katse algne eesmärk oli uurida elektronide hajumist metallides. De Broglie' idee kontroll sai sellest alles 1926. aasta suvel. Vali Neli korda suurem pinge: λ kahaneb peaaegu poole võrra väärtuseni 0,08344 nm ja kiire nurk väheneb 22,75°-ni. Kui pinge jääb alla 32,30 V, on laine aatomiridade vahest pikem ning difrageerunud kiirt ei teki. Samasuguse piiri seab röntgenikiirgusele <a href="/phy/braggs-law">Braggi seadus</a>.

Juba toatemperatuuril on neutroni lainepikkus kristalli mõõtkavas 🖖

Vajuta Toatemperatuuri neutron. Selle energia on 0,0253 eV ehk kT temperatuuril 20 °C. Niisuguse energia omandab neutron, mis on reaktori aeglusti aatomitega piisavalt palju põrganud, et nendega samale temperatuurile jõuda. Sellest piisab: lainepikkus on 0,1798 nm, pikem kui 54 V elektroni oma. Sama lainepikkuse saamiseks vajab elektron energiat 46,52 eV, seega 1839 korda rohkem; just selline on osakeste masside suhe. Lainepikkuse määrab impulss, mitte energia. Võrdse energia korral sõltub impulss suurusest √m, mistõttu on raskema osakese laine lühem. Teises tabelis on neutroniga sama energiat 0,0253 eV kandva elektroni lainepikkus 7,710 nm ehk 42,9 korda pikem. Esimeste teadusreaktorite aeglased neutronid suunati kristallidesse just sel põhjusel. Clifford Shull sai neutronidifraktsiooni meetodi väljatöötamise eest osa 1994. aasta Nobeli füüsikaauhinnast.

Mikroskoobi 100 kV juures eksib õpikuvalem 4,78% 🖖

Vajuta Mikroskoop, 100 kV. Enamikul kursustel õpetatav valem λ = h/√(2meV) annab 3,878 pm. Elektron liigub aga kiirusega 0,548c ja selle impulss pole enam √(2mK). Täpne seos (pc)² = K² + 2K·mc² annab lainepikkuseks 3,701 pm; õpiku väärtus on 4,78% liiga suur. Allolev tabel näitab vea kasvu: 54 V juures 0,00264%, 10 kV juures 0,488% ja 400 kV juures 18,0%. Relatiivsusteooria rikub ka esimese kahe valiku puhul kehtiva 1/√V seaduse. Kui pinge kasvab 100 kV-lt 400 kV-ni ehk neli korda, väheneb λ väärtuselt 3,701 pm väärtuseni 1,644 pm: tegur on 2,25, mitte 2. Kui K moodustab juba märgatava osa seisuenergiast 511 keV, kasvab impulss kiiremini kui √K. Graafikul eemaldub täpne joon mₑc² lähedal katkendjoonest, muutub järsemaks ja läheneb sõltuvusele λ ∝ 1/K.

Ülesanne täielikult lahendatud

Sama lainepikkusega elektron ja röntgenikiirgus 5 sammu
Vase Kα-röntgenikiirguse lainepikkus on 0,154184 nm; just selle abil mõõdetakse kristalle Braggi seaduse järgi. Milline pinge annab elektronile sama lainepikkuse? Kui palju energiat kannab üks selline röntgenifooton ja kuidas muutub võrdlus pikemate lainete korral? Alustuseks vajuta Davissoni–Germeri 54 V.

Ava see ülesanne tööriistas
1. 54 V juures näitab leht elektroni lainepikkuseks:
  
  $λ_{54 V} = 0.1669 nm$
2. Kui energia jääb mc²-st palju allapoole, sõltub λ pingest kujul 1/√V. Lühema laine jaoks vajalik pinge muutub seega lainepikkuste suhte ruuduga:
  
  $V = 54 V \times (\frac{0 . 16689 nm}{0 . 154184 nm})^{2} = 63.27 V$
3. Footoni energia on hc/λ, kus hc = 1239,84 eV·nm:
  
  $E_{γ} = \frac{h c}{λ} = \frac{1239 . 84 eV nm}{0 . 154184 nm} = 8, 041 eV$
4. Footon kannab 127 korda rohkem energiat kui elektron:
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{8 , 041 eV}{63 . 27 eV} = 127.1$
5. Aeglase elektroni korral K = h²/(2mλ²), footoni energia aga hc/λ. Nende suhe on seega 2mcλ/h: kahekordne lainepikkuse ja elektroni Comptoni lainepikkuse h/mₑc = 2,4263 pm suhe.
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{h c / λ}{h ^{2} / ( 2 m _{e} λ ^{2} )} = \frac{2 λ}{h / ( m _{e} c )} = \frac{2 \times 154 . 184 pm}{2 . 4263 pm} = 127.1$
Vastus

Pinge 63,27 V annab elektronile vase Kα-kiirgusega sama lainepikkuse 0,154184 nm. Üks selle lainepikkusega footon kannab 8041 eV energiat, elektronist 127,1 korda rohkem. Suhe 2λ/λ_C kasvab võrdeliselt lainepikkusega. Kristallide mõõtkavas saavutab massiga osake vajaliku lainepikkuse vaid murdosaga valguse energiast ning mida raskem osake, seda väiksem see murdosa on. Seda näitab kolmanda valiku neutron. Suhe läheneb väärtusele 1 alles lainepikkustel, mis jäävad λ_C-st palju allapoole. Siis liigub elektron nii kiiresti, et tema energia on nagu footonilgi sisuliselt pc.

$K = 63.27 eV, E_{γ} = 8, 041 eV, \frac{E _{γ}}{K} \approx \frac{2 λ}{λ _{C}}$

Õpitee

Kvantmehaanika: aine kui lained

Allikad (4)

Davisson's own account of the experiment: a 54-volt beam aimed at the (111) face of a nickel crystal, how the work began as a study of electron scattering and became a test of de Broglie only in 1926, and the check of λ = h/p against λ = 12.25/√V Å for nineteen beams: C. J. Davisson, "The discovery of electron waves." Nobel Lecture, 13 December 1937.
Diffraction is not special to electrons: Stern's account of sending helium atoms and hydrogen molecules at a lithium fluoride crystal, and checking de Broglie's formula to about 2%: O. Stern, "The method of molecular rays." Nobel Lecture, 12 December 1946.
The 54 V, 50° peak itself, and its reading as Bragg reflection from planes inside the crystal: R. Nave, "Davisson-Germer Experiment." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
Neutrons from a reactor, slowed to thermal speeds and reflected by a crystal because of their wave nature, as the basis of neutron diffraction: The Royal Swedish Academy of Sciences, "The Nobel Prize in Physics 1994." Press release, 12 October 1994.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.