Arago täpp

Vali läbipaistmatu ketas, ümmargune ava või tsoonplaat, lainepikkus ja kaugus ekraanini. Lehekülg arvutab Fresneli difraktsiooni abil ekraanile langeva valguse rõngaste kaupa. Tõkkele joonistatakse Fresneli tsoonid, samas kui kiirteoptika lahendus jääb nähtavale katkendliku viirastusena.

Näidisarvutus — Arago täpp

Esimese Fresneli tsooni raadius sellel kaugusel	0,5626 mm
Tõkkega kaetud Fresneli tsoonid, N	3,160
Kese, Fresneli kinnine vorm, × vaba valgusvihk	1,000
Kese, arvuline integraal, × vaba valgusvihk	1,000
Kese, täpne skalaarteooria, × vaba valgusvihk	0,999996
Kese, allika raadius 0 mrad, × vaba valgusvihk	1,000

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Arago täpp

Vaadatuna tasandi taga kaugusel z asuvast punktist, jaguneb tasand Fresneli tsoonideks. Need on rõngad, mille servad asuvad raadiusel r_n = √(nλz), ja kust tulev valgus jõuab kohale pool lainepikkust eelmisest hiljem. Raadiusega a ketas või ava katab neist N = a²/λz tsooni. Fresneli teooria kohaselt on läbipaistmatu ketta varju kese täpselt sama hele kui vaba valgusvihk iga N väärtuse korral. Seda nimetatakse Arago täpiks, tuntud ka kui Poissoni täpp. Ava valguse kese on vaba valgusvihuga võrreldes 4 sin²(πN/2) korda heledam, olles must alati, kui N on paarisarv. Tsoonplaat blokeerib iga teise tsooni ja koondab valguse kaugusele f = r₁²/λ.

Mida iga sümbol tähendab

a: ketta või ava raadius
z: kaugus sellest ekraanini
λ: lainepikkus
N: a²/λz, ketta või avaga kaetud Fresneli tsoonide arv
r_n: n-inda tsooni välisserv, √(nλz); tsoonplaadil r₁√n

Ei kehti, kui: Fresneli teooria eeldab, et valgus jõuab ekraanile väikeste nurkade all. Täpse skalaarteooria järgi on varju kese z²/(z² + a²) vaba valgusvihu heledusest. Arago ekraani puhul poole meetri kaugusel on see 0,999996, aga kaugusel z = 2a on tulemus 0,8 ja kaugusel z = a on see täpselt pool. Fresnel esitas sama tingimuse, märkides, et teoreem kehtib „tant qu'il n'en résulte pas une trop grande obliquité”.

Varju kese on hele 🖖

Vajuta nupule Arago 2 mm ekraan. Kiirteoptika joonistab musta ringi, tolle katkendliku viirastuse. Arvutatud vari on tume. Alates täpist kuni üheksa kümnendikuni teest servani jääb heledus alla viiendiku vabast valgusvihust. Päris keskel on tulemus aga 1,000, olles sama hele, justkui ketast polekski ees. Poisson leidis selle Fresneli Prantsuse teaduste akadeemia 1818. aasta auhinnatöös toodud integraalidest. Ta esitas selle vastuväitena. Arago ettekanne 15. märtsist 1819 kinnitab, et „l'observation a parfaitement confirmé le calcul”. Fresnel annab au Aragole, kes nägi täppi 2 mm läbimõõduga ekraani taga. Lisatud jooniselt selgub ka põhjus. Ekraani keskmest vaadates jaguneb ketta tasand Fresneli tsoonideks. Need on rõngad, mille servad asuvad raadiusel √(nλz). Iga rõnga valgus jõuab kohale pool lainepikkust eelmisest hiljem. Ketas blokeerib esimesed 3,160 tsooni. Kõik sellest väljapoole jääv liitub valguseks, mis on täpselt sama hele kui vaba valgusvihk. Ketta suurus ja kaugus ei muuda seda, eeldusel, et valgus paindub väikeste nurkade all. Allpool olev tabel katab raadiusi 0,5 kuni 5 mm kaugustel 5 cm ja 1 m. Arvuline integraal annab iga kord tulemuseks 1,0000. Fresnel lisas, et tulemus ei sõltu lainepikkusest. Seega peab täpp olema valges valguses valge. Vajuta nupule Sama valges valguses. Selle värvus erineb vaba valgusvihu omast väärtuse Δu′v′ = 0,0000 võrra. Avaga on asjalood teisiti, nagu nägi ka Poisson. Vajuta nupule Poissoni teine juht: ava. See ava on punases valguses keskelt must ja valges sinine.

Täpp vajab punktallikat ja korrapärast ringi 🖖

Vajuta nupule Päikesevalguses. Allika iga punkt heidab omaenda mustri. See on nihutatud küljele z korrutatud vastava nurgaga ja lehekülg liidab need kõik kokku. Päikese suurusega allika puhul, mille nurkraadius on 4,65 mrad, langeb keskme heledus 1,000 väärtuselt tasemele 0,018. Täpp on allika väike kujutis, mille raadius punktallika puhul on umbes 0,383 λz/a. Allikas, mille nurkraadius läheneb väärtusele 0,383 λ/a, hajutab selle laiali. 2 mm ketta taga säilitab täpp poole oma heledusest vaid siis, kui allika raadius on alla 0,169 mrad. See vastab meetri kaugusel asuvale 0,34 mm avale, olles Päikesest 27 korda väiksem. Maraldi lasi 1723. aastal päikesevalguse läbi väikese ava pimedasse ruumi. Ta riputas sellest 25 jala ehk umbes 8 m kaugusele ühe liini (umbes 2,3 mm) suuruse kuulikese. Ta nägi selle varjus „au milieu une aire circulaire fort claire” ehk väga heledat ringikujulist ala. See oli väiksemate kuulide taga suurem, täpselt nagu valem 0,383 λz/a ette näeb. Ta selgitas seda valguse voolamisega ümber kuuli. Serv on sama määrav kui allikas. Servalt lähtuv valgus jõuab keskmesse faasiga πr²/λz. Ebakorrapärane serv ajab selle sassi. Mõju ulatus sõltub vigade jaotusest. Kui vead jaotuvad kellukakujuliselt ruutkeskmise hälbega σ, kahaneb täpi heledus teguriga exp(−(2πaσ/λz)²). Arago ekraani puhul langeb see poole meetri kaugusel poole võrra, kui σ = 42 µm. 60 µm läbimõõduga ketta taga, mille karedus oli ligikaudu 300 nm, tekitas deuteeriumi molekulide kimp täpi, mille heledus oli umbes sajandik vabast valgusvihust.

Blokeeri iga teine tsoon ja vari muutub läätseks 🖖

Vajuta nupule Tsoonplaat, punane fookus. Üksik Fresneli tsoon annab keskmesse vaba valgusvihuga võrreldes kahekordse amplituudi. Naabertsoonide valgus jõuab kohale vastasfaasis. Seetõttu annab kogu avatud tasand vaid poole esimese tsooni amplituudist. Blokeeri paarisarvulised tsoonid ja kõik paaritud jõuavad kohale samas faasis. Kümme avatud tsooni tekitavad vabast valgusvihust (2 × 10)² = 400 korda suurema heleduse. Integraal annab 0,3949 m kaugusel tulemuseks 399,999. Servad r_n = r₁√n on plaadi sisse lõigatud. Need vastavad Fresneli tsoonidele üks ühele ainult kaugusel f = r₁²/λ, mis on pöördvõrdeline lainepikkusega. Punase 650 nm valguse jaoks on see 0,3846 m ja sinise 450 nm valguse jaoks 0,5556 m. Viimane on 1,44 korda kaugemal. Klaaslääts teeb vastupidist ja koondab sinise valguse fookusesse lähemale kui punase. Alumisel paneelil on sama kõrged tipud ka kaugustel f/3, f/5 ja f/7. Iga avatud rõngas sisaldab seal kolme, viit või seitset Fresneli tsooni ning paaritute arv ületab endiselt paarisarvuliste oma. Määra λ väärtuseks 450 ilma ekraani liigutamata ja keskme heledus langeb tasemele 0,127. Tsoonplaadi leiutajaks peetakse tavaliselt J. L. Soret'd (1875). R. W. Woodi raamat Physical Optics trükib aga ära Rayleigh' märkmiku sissekande 11. aprillist 1871, mis kirjeldab üht sellist plaati.

Ülesanne täielikult lahendatud

2 cm ketas viie meetri kaugusel seinast 3 sammu
2 cm läbimõõduga ketas asub seinast 5 m kaugusel, valgustatuna 633 nm laserist. Mitu tsooni see katab, kui lai on täpp ja kui sile peab olema selle serv (eeldusel, et vead jaotuvad kellukakujuliselt), enne kui täpp kaotab poole oma heledusest? Raadiuse väli lõpeb 5 mm juures, jäädes sellele kettale alla. Vajuta esmalt nupule Arago 2 mm ekraan. See kuvab täpi esimese miinimumi, 0,1205 mm, kümme korda väiksema ketta jaoks kümnendikul kaugusel.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Sellega kaetud tsoonid, N = a²/λz:
  
  $N = \frac{a ^{2}}{λ z} = \frac{( 0 . 01 m ) ^{2}}{633 \times 1 0 ^{- 9} m \times 5 m} = 31.6$
2. Sügaval varjus on täpi raadius esimese miinimumini 0,38274 λz/a ja λz/a on sama suur kui poole meetri kaugusel asuval 2 mm ekraanil:
  
  $ρ_{0} = 0.38274 \frac{λ z}{a} = 0.38274 \times \frac{633 \times 1 0 ^{- 9} \times 5}{0 . 01} m = 0.38274 \times 316.5 μ m = 0.1211 mm$
3. Täpi heledust poolitava servavea leiame võrrandist exp(−(2πaσ/λz)²) = ½:
  
  $⟨ e^{i (2 π a / λ z) δ} ⟩^{2} = δ \sim N (0, σ^{2}) e^{- (2 π aσ / λ z)^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow σ = \frac{ln 2}{2 π} \frac{λ z}{a} = 0.1325 \times 316.5 μ m = 41.9 μ m$
Vastus

31,6 tsooni, 0,1211 mm raadiusega täpp ja serva täpsus 42 µm ruutkeskmise hälbega. Sügava varju valem annab 2 mm ekraanile samuti 0,1211 mm, kuna see sõltub parameetritest a ja z ainult läbi suhte λz/a. Lehekülje täielik integraal seab aga selle ekraani esimese miinimumi 0,1205 mm juurde, sest 3,16 tsooni ei tähenda veel sügavat varju. 2 cm ketta taga, kus tsoone on kümme korda rohkem, langevad täielik integraal ja valem nelja komakoha täpsusega kokku. Ka serva lubatud hälve on määratud suhtega λz/a. Seega ei ole nõuded karmimad, kuigi täppi ümbritsev vari on nüüd palju tumedam.

$N = 31.6, ρ_{0} = 0.1211 mm, σ_{1/2} = 41.9 μ m$

Õpitee

Laineoptika

Allikad (3)

Arago's report on the 1818 diffraction prize, read on 15 March 1819: “M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur le résultat singulier que le centre de l'ombre d'un écran circulaire opaque devait … être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas … l'observation a parfaitement confirmé le calcul” (No. XIII, p. 236); and Fresnel's own note: the theorem holds whatever the screen's diameter and distance “tant qu'il n'en résulte pas une trop grande obliquité”, for every colour, so the point must be white in white light, and “M. Arago a vérifié [ce résultat] sur l'ombre d'un écran de 2 millimètres de diamètre” (No. XIV, Note I, p. 369): A. Fresnel, Œuvres complètes, tome I, ed. H. de Senarmont, É. Verdet and L. Fresnel. Imprimerie impériale, Paris, 1866. No. XIII (Arago's report, pp. 229–246) and No. XIV, Note I (pp. 365–369).
Why a real spot falls short: in the wave picture the spot “has intensity equal to the undisturbed wave front”, but “it is necessary to include disc-edge roughness to account for the intensity variation in experimental Poisson spot measurements”; their 2009 deuterium experiment used a disc of radius 30 µm with an edge roughness of about 300 nm and gave a spot “about a factor of 100 less than the undisturbed wave front”: T. Reisinger, G. Bracco and B. Holst, “Particle–wave discrimination in Poisson spot experiments”, New Journal of Physics 13, 065016 (2011).
The zone plate's history: “usually attributed to Soret, though Lord Rayleigh constructed one four years previously, as shown by an entry in his notebook”, with the entry of 11 April 1871 quoted (“The experiment of blocking out the odd Huygens zones so as to increase the light at centre succeeded very well”): R. W. Wood, Physical Optics, 3rd edition. Macmillan, New York, 1934. pp. 37–38.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.