Difraktsioonipiir

Määra ava läbimõõt, lainepikkus ja kahe valguspunkti kaugus. Leht kuvab kujutise, mille täiuslik ümmargune ava neist tekitab. Võrdluseks on lisatud kaks punkti, mille kiirteoptika joonistaks, ning vastus, kas kujutisel on üks või kaks tippu.

Näidisarvutus — Difraktsioonipiir

Ühe punkti kujutise esimene tume rõngas, θ1	0,0577″
See nurk vahemaana punktide juures	107,4 m
Kahe punkti vaheline nurk, α	0,00504″
Nende vahekaugus võrreldes θ1-ga	0,087
Kus asub kujutise kõige heledam punkt	üks tipp keskpunktis
Lainepikkuste arv ava läbimõõdul	4 363 636

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Difraktsioonipiir

Difraktsioonipiir on väikseim nurkdetail, mida D-läbimõõduga ava suudab λ lainepikkusega valguses näidata. Läbi selge ümmarguse ava vaadeldud punktallikas tekitab Airy difraktsioonipildi, I = I₀[2J₁(v)/v]², kus v = πD sin θ/λ ning mille esimene tume rõngas asub kohal sin θ₁ = 1,21967 λ/D. Rayleigh' kriteeriumi järgi on kaks võrdset punkti vaevu eristatavad, kui kumbki asub teise esimesel tumedal rõngal; heledus nende vahel langeb siis 73,50%-ni tipust. Sparrow' kriteerium (1916) lähtub vahekaugusest, mille juures nõgu nende vahel just kaob, mis on selle mustri puhul 0,947 λ/D.

Mida iga sümbol tähendab

D: ava läbimõõt: pupill, lääts või peegel
λ: valguse lainepikkus
θ_1: nurk ühe punkti kujutise keskmest selle esimese tumeda rõngani, 1,21967 λ/D
α: kahe punkti vaheline nurk avast vaadatuna, s/d
d: kaugus avast kahe punktini

Ei kehti, kui: Hubble'i sekundaarpeegel varjab selle ava keskosa ning JWST peegel koosneb kaheksateistkümnest kuusnurksest segmendist, seega ei tekita kumbki täpset Airy difraktsioonipilti. Varjatud keskosa teeb tuuma pisut kitsamaks ja suunab valgust rõngastesse, segmentide servad lisavad aga difraktsioonikiiri. Maapinnal asuv teleskoop vaatab läbi liikuva õhu, mis tavaliselt muudab pildi palju hägusemaks kui peegli difraktsioonipiir seda lubaks, välja arvatud juhul, kui adaptiivoptika seda korrigeerib.

Hubble ei suuda Kuu maandureid eristada 🖖

Vajuta nupule Hubble ja kuumaandur. „Tähe kujutis ei ole punkt, vaid hele ring, mida ümbritseb heledate rõngaste seeria,“ kirjutas George Airy Cambridge'i filosoofiaühingus 1834. aasta novembris ette kantud töös, leides esimese musta rõnga sealt, kus tema muutuja jõudis väärtuseni 3,832. Tänapäevastes mõistetes asub see rõngas nurga θ₁ = 1,21967 λ/D all, kus 1,21967 on Besseli funktsiooni J₁ esimene nullkoht 3,83171 jagatud π-ga; selle sisse jääb 83,78% valgusest. Kui käsitleda Hubble'i 2,4 m peeglit selge avana, on rohelises 550 nm valguses θ₁ väärtus 0,0577″, mis tähendab Kuu 384 400 km kaugusel 107,4 m vahemaad. Iga punkt Kuul muutub sellise suurusega uduseks laiguks ning teineteisele palju lähemal asuvad punktid sulavad kokku. Kuumaanduri tugijalad ulatuvad ühest tallast teiseni 9,4 m, mis on 0,087 sellest vahemaast: kosmoselaeva mõlemad pooled jäävad ühe hägu sisse ja moodustavad ühe tipu. Kas nende lisavalgust saaks üldse märgata selle hägu heleduse muutusena, on kontrasti ja müra küsimus, mida see leht ei modelleeri; mida difraktsioon aga kindlalt välistab, on maanduri kuju nägemine. NASA enda pildiallkiri Hubble'i 2005. aasta fotodele Apollo 17 maandumispaigast väidab, et märgata on „jalgpalliväljakust väiksemaid“ detaile ja ei midagi enamat.

Hägu suurendamine annab vaid suurema hägu 🖖

Vajuta nupule Hubble ja kuumaandur, seejärel valikule Sama, suurendatud 8×, või lohista Suurenda-liugurit. Kõik kasvab koos: hägu, selle rõngad ja vahe kahe katkendliku võrdluspunkti vahel, seega kujutise kuju ei muutu ning sellel on ikka üks tipp. Ümmargune ava ei lase läbi ühtki mustrit, mis on nurgalt peenem kui λ/D. Triibud Kuul, mille periood on alla λd/D (Hubble'i puhul 88,09 m), jõuavad pildile täiesti ilma kontrastita: see on täpselt null, mitte lihtsalt nõrk. Maanduri kaks külge ei tekita kaht tippu: piki neid läbivat sirget erineb kujutis topeltheledusega üksikust punktist kõige enam 0,71% võrra oma tipust. Kui ületada suurendus, mille juures silm hägu eristab, ei näita edasine enam midagi uut. Seetõttu nimetavad optikud seda tühjaks suurenduseks.

JWST suurem peegel on infrapunaalas hägusem kui Hubble'i oma 🖖

Piirang sõltub suhtest D/λ ehk ava suurusest lainepikkustes, mitte ainult D väärtusest. JWST kaheksateist segmenti toimivad ühtse peeglina, mille läbimõõt on umbes 6,5 m (2,71 korda Hubble'i omast suurem), kuid selle instrumendid töötavad alates 0,6 µm nähtava valguse punasest otsast kuni 28,5 µm infrapunaalani ning STScI dokumentatsiooni kohaselt annab see difraktsioonipiiriga pilte lainepikkustel alates 2 µm. 2 µm juures mahub 6,5 m sisse 3 250 000 lainepikkust; Hubble'i 2,4 m sisse mahub aga 4 363 636 rohelise valguse lainepikkust. Seega on JWST esimene tume rõngas 2 µm juures 0,0774″, mis on 1,34 korda laiem kui Hubble'i 0,0577″ rohelises valguses. Need kaks muutuvad võrdseks 1 490 nm juures. Vajuta nupule Kaks punkti 110 m vahega, mida Hubble suudab eristada, ja seejärel Sama 110 m, JWST 2 µm, kus need sulanduvad kokku. Allpool olev tabel toob sama võrdluse sinu silmani välja: 3 mm pupill mahutab 5 455 rohelise valguse lainepikkust ning selle piir on 46,1″.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui suur peegel suudaks maandurit eristada? 3 sammu
Kuumaanduri tugijalgade ulatus on 9,4 m. Kui suur peegel paneks selle kaks külge teineteisest esimese tumeda rõnga kaugusele, vaadatuna Maalt rohelises 550 nm valguses? Läbimõõdu väli lõppeb 10 m juures, jäädes vastusele alla. Vajuta esmalt nupule Hubble ja kuumaandur: leht annab sulle θ₁ ja 107,4 m.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kaks külge asuvad üksteisest nurga α = s/d kaugusel. Võrdsusta see θ₁ = 1,21967 λ/D väärtusega ja avalda D:
  
  $α = \frac{s}{d} = 1.21967 \frac{λ}{D} \Rightarrow D = \frac{1 . 21967 λ d}{s} = \frac{1 . 21967 \times 550 \times 1 0 ^{- 9} \times 3 . 844 \times 1 0 ^{8}}{9 . 4} = \frac{257 . 86}{9 . 4} = 27.43 m$
2. Sama arvutus lehe enda jooniselt: Hubble'i piir Kuul on 107,4 m, mis on 11,4 korda 9,4 m, ning piir muutub pöördvõrdeliselt 1/D-ga:
  
  $D = 2.4 m \times \frac{107 . 4 m}{9 . 4 m} = 2.4 m \times 11.4 \approx 27.4 m$
3. Infrapunaalas 2 µm juures peab suhe D/λ jääma samaks, seega kasvab peegel võrdeliselt λ-ga:
  
  $D_{2 μ m} = 27.43 m \times \frac{2000 nm}{550 nm} = 99.75 m$
Vastus

Ligikaudu 27,4 m, mis on 11,4 korda suurem Hubble'i peeglist. 2 µm juures nõuaks see 99,8 m. Isegi siis tekitaks maandur Rayleigh' vahekaugusel kaks kattuvat Airy difraktsioonipilti, mitte kosmoselaeva pildi: selle kuju näitamine nõuab üle objekti mitut eraldusvõime ühikut.

$D \approx 27.4 m = 11.4 \times D_{Hubble}; D_{2 μ m} \approx 99.8 m$

Õpitee

Laineoptika

Allikad (3)

Airy's own derivation of the pattern a round object-glass makes of a star: “The image of a star will not be a point but a bright circle surrounded by a series of bright rings”, their sizes “inversely as the aperture”; the central spot at half its light at n = 1.616 and “a black ring, when n = 3,832” (p. 287): G. B. Airy, “On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 5, pp. 283–291 (1835; read 24 November 1834).
The Apollo 11 lunar module's size: the descent stage “an octagonal prism 4.2 meters across”, and “the distance between the ends of the footpads on opposite landing legs was 9.4 m”: NASA Space Science Data Coordinated Archive, “Apollo 11 Lunar Module / EASEP”, NSSDCA ID 1969-059C.
JWST's mirror and where it becomes diffraction-limited: the primary is “18 hexagonal segments … which, when properly phased together, act as a single mirror ~6.5 m in diameter”, and “At wavelengths λ > 2 μm, JWST obtains diffraction-limited imaging with a Strehl ratio = 0.8”: Space Telescope Science Institute, JWST User Documentation: “JWST Telescope” and “MIRI Point Spread Functions”.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.