Ühepilu difraktsioon

Laiusega a pilu, või sama paks juuksekarv, ja L meetri kaugusel asuv sein. Siin arvutatakse valgustus seinal laineteooria põhjal ilma kaugvälja lihtsustuseta ning joonistatakse selle alla asukoht, kuhu valgus langeks kiirteoptika järgi: täpselt pilu laiune riba. Muuda liuguriga pilu laiust ja vaata, kuidas need kaks üksteisest lahknevad.

Näidisarvutus — Ühepilu difraktsioon

Esimese tumeda punkti suund	0,532°
Mitu korda on keskne riba pilust laiem	530,6

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ühepilu difraktsioon

Ühepilu difraktsioon: laiusega a pilust läbiv valgus hajub ja selle heledus kaugväljas nurga θ all on I(0)(sin β/β)², kus β = πa sin θ/λ. Esimesed tumedad punktid asuvad kohas sin θ = ±λ/a, mis tähendab, et kaugusel L asuval seinal on nende vaheline keskne riba 2λL/a laiune. Selle, kas pilu on kaugväljas, määrab tema Fresneli arv N = a²/λL. Kui see on tugevalt alla ühe, tekib just kirjeldatud muster; kui see on selgelt üle ühe, langeb valgus enam-vähem sinna, kuhu kiirteoptika seda ennustab.

Mida iga sümbol tähendab

a: pilu laius või juuksekarva paksus
λ: valguse lainepikkus
L: kaugus pilust seinani
N: Fresneli arv a²/λL, mis näitab, millist mustrit seinal näha on

Eeldab: Pikk ja sirge pilu, mida valgustab otse ühtlane kiir, nii et muster varieerub ainult piki seina; nurgad on väikesed. Juuksekarva puhul on arvestatud 1 mm läbimõõduga laserikiirt, mis eeldatakse karva laiuses ühtlaseks. See annab 70 µm karva servades täpsuseks 0,5%.

Muuda peenike pilu kitsamaks ja valgus levib laiemalt 🖖

Vajuta 70 µm pilu. Kiirteoptika järgi laseb pilu läbi täpselt enda laiuse valgusriba, siin 0,070 mm. Kuid 2 m kaugusel seinal asuvad tumedad punktid mõlemal pool keskpunkti teineteisest 37,14 mm kaugusel, olles 530,6 korda laiemad. Vajuta nüüd Poole kitsam: tulemuseks on 74,29 mm. Riba on 2λL/a, seega a poolitamine kahekordistab laiust. Esimene tume punkt asub seal, kus pilu ülemisest ja alumisest poolest tulev valgus saabub poole lainepikkuse võrra nihkes, paar paari kaupa: a sin θ = λ. Kitsam pilu nõuab selle poole lainepikkuse saavutamiseks järsemat nurka. Valgus muutub ka tuhmimaks ning seda kiiremini, kui see hajub. Läbi pääseb poole vähem valgust ja see jaotub kaks korda laiemale alale, mistõttu keskpunkti heledus langeb 0,377% pealt 0,094% peale, mis on neljandik. See kehtib peene pilu korral ja siit näeb ka täpset piiri. Kuni Fresneli arv a²/λL püsib alla kahe, mis tähendab punase valguse jaoks 2 m kaugusel alla 1,61 mm laiust pilu, tekitab iga kitsam pilu laiema riba. 70 µm juures on see arv 0,0038. Vajuta 5 mm pilu. Selle Fresneli arv on 19,2308 ja valgus langeb sinna, kuhu kiired viitavad, lainetades veidi servade lähedal. Seal muudab pilu kitsendamine ka valguse kitsamaks, täpselt nagu kiirteoptika eeldab. Nende kahe äärmuse vahel läbib riba aga oma kõige kitsama punkti. Ümmargune ava, näiteks teleskoobi oma, teeb seda sama kahes mõõtmes. Sellest räägib selle peatüki järgmine leht: difraktsioonipiir.

Külgmised ribad ei asu täpselt tumedate punktide vahepeal 🖖

Vajuta 70 µm pilu ja seejärel Võimendus ×10. See korrutab kuva nii, et ka tuhmid külgmised ribad tulevad nähtavale. Tumedad punktid paiknevad ühtlaste vahedega, olles siin teineteisest 18,57 mm kaugusel, kohtades β = π, 2π, 3π, kus β = πax/λL. Tundub loogiline asetada heledad külgmised ribad täpselt nende vahele. Nii see aga ei ole. Esimene riba asub keskmest 1,4303 vahe kaugusel, mitte 1,5; teine asub 2,4590 ja kolmas 3,4709 peal. Nad nihkuvad küll keskkohale lähemale, kuid ei jõua kunagi päris pärale. Heledus on (sin β/β)². Kuigi sin² osa saavutab tipu just poolel maal, siis 1/β² alles langeb seal, tõmmates iga tippu tagasi keskpunkti suunas, sinna, kus tan β = β. Esimene külgmine riba on 4,719% keskpunkti heledusest ehk umbes kahekümne ühendik; teine on 1,648% ja kolmas 0,834%. Kui paigutada esimene riba täpselt poolele maale, on tulemuseks 1/(π²·1,5²) = 4,503%. See on väärtus, mille leiab OpenStaxi University Physics punktis β = 3π/2, kus maksimumi eeldatakse. Tegelik tipp on aga kõrgemal ja keskpunktile lähemal. Kõik külgmised ribad kokku sisaldavad vähem kui kümnendiku kogu valgusest: 90,28% langeb keskse riba sisse. Tulemuste all olev tabel loetleb need lehel kuvatud pilu jaoks.

Juuksekarv tekitab piluga samasuguse mustri 🖖

Vajuta 70 µm juuksekarv. Kiirteoptika järgi tekitab läbipaistmatu riba endast vaid 0,070 mm laiuse varju ega midagi muud. Kuid mõlemal pool laseri enda heledat laiku on tumedad punktid teineteisest 37,14 mm kaugusel – täpselt nagu 70 µm pilu puhul. Sama laiusega pilu ja riba koos ei blokeeri midagi. Seega lainete liitumisel annavad need kokku palja kiire. Eemal kiire enda umbes 2 mm suurusest laigust seinal on paljas kiir tume. Seetõttu on juuksekarva ja pilu lained võrdsed, kuid vastassuunalised, ja nende heledus on sama. Babinet sõnastas selle 1837. aastal, kui selgitas kroone – värvilisi rõngaid ümber Päikese ja Kuu. Ta ütles, et vaatesuuna lähedale, kuid mitte otse sellele paigutatud väikese läbipaistmatu keha mõju „sera exactement le même que celui d'une ouverture toute pareille“, ehk on täpselt samasugune nagu samakujulisel aval. Nii saabki laserikursoriga juuksekarva mõõta. Leht annab konkreetse karva korral punktide vahe; lahendatud ülesanne teeb sama asja aga tagurpidi.

Ülesanne täielikult lahendatud

Mõõda juuksekarva paksust laserikursoriga 3 sammu
Teibid juuksekarva risti üle punase 650 nm laserikursori ning suunad kiire 2 m kaugusel asuvale seinale. Tumedad punktid mõlemal pool heledat laiku on joonlauaga mõõdetes 31,2 mm kaugusel, täpsusega 1 mm. Kui paks on karv ja kui kindel sa selles mõõdus oled? Vajuta esmalt 70 µm juuksekarv. Leht annab samal kaugusel asuva 70 µm karva punktide vahe.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Juuksekarva tumedad punktid vastavad pilu omadele, asudes teineteisest 2λL/a kaugusel. Järelikult on paksus a = 2λL/vahe:
  
  $a = \frac{2 λ L}{gap} = \frac{2 \times 650 \times 1 0 ^{- 9} m \times 2 m}{0 . 0312 m} = 83.33 μ m$
2. Sama leiab ka proportsiooniga otse lehe enda arvust, kuna vahe muutub suhtes 1/a:
  
  $a = 70 μ m \times \frac{37 . 14 mm}{31 . 2 mm} = 83.33 μ m$
3. Vahe 31,2 ± 1 mm piiritleb paksust nii:
  
  $\frac{2 λ L}{32 . 2 mm} = 80.75 μ m, \frac{2 λ L}{30 . 2 mm} = 86.09 μ m$
Vastus

Umbes 83 µm, pluss-miinus 3 µm. 1 mm viga 31 mm vahe juures on ligikaudu 3% ja see kandub otse paksusesse üle. Kui valid režiimi Juuksekarv ja sisestad laiuseks 83,3, annab leht tulemuseks 31,21 mm. Seina kaugemale viimine teeb vahe laiemaks ja vähendab mõõtmisviga: 4 m kaugusel annab sama karv vaheks 62,4 mm.

$a = 83 \pm 3 μ m; L = 4 m : gap = \frac{2 \times 650 \times 1 0 ^{- 9} \times 4}{83 . 33 \times 1 0 ^{- 6}} = 62.4 mm$

Õpitee

Laineoptika

Allikad (3)

Babinet's statement of the principle, in his memoir on coronae, the coloured rings round the Sun and the Moon: a small opaque body placed near the line from a luminous point to the eye, but off it, has an effect "exactement le même que celui d'une ouverture toute pareille", exactly that of an identical opening, so that it gives as much light as it seems to take away; with the explanation from interference and the colours of spider threads and thin metal wires among its applications: M. Babinet (as the Comptes rendus print him), Mémoires d'optique météorologique, II: Sur les couronnes. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 4, 638–647 (1837); the principle on pp. 643–644.
The single-slit intensity (sin β/β)² with β = πa sin θ/λ, the minima at a sin θ = mλ, and the textbook's estimate of the first side maximum at β = 3π/2, I₁ ≈ 0.045 I₀, which the page's second insight block measures against the true peak: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 3. OpenStax, 2016. Section 4.2, Intensity in Single-Slit Diffraction.
The Fresnel integrals C(z) = ∫₀ᶻ cos(½πt²) dt and S(z) = ∫₀ᶻ sin(½πt²) dt, and their limits of ½, in the convention the page's computation uses: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §7.2(iii) Fresnel Integrals. National Institute of Standards and Technology, release of 2026-09-15.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.