Difraktsioonivõre

Määra võre joonte arv millimeetri kohta, valguse lainepikkus, kiirega kaetud joonte arv ja ekraani kaugus. Leht leiab kõik järgud ning näitab, kuhu need langevad ja kui teravad need on. Teise lainepikkuse lisamisel selgub ka esimene järk, milles kaks joont eristuvad.

Näidisarvutus — Difraktsioonivõre

Joonte vahekaugus	3,333 µm
Vahekaugus lainepikkustes	6,266
Järke kummalgi pool keskpunkti	6
Esimese järgu nurk	9,18°
Esimene järk ekraanil	161,7 mm
Sama väikese nurga valemiga	159,6 mm
Väikese nurga valemi puudujääk	1,28%
Esimene järk, maksimumist esimese miinimumini	0,01544°

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Difraktsioonivõre

Difraktsioonivõre on paljude paralleelsete joontega pind, mille naaberjoonte vahe on d ning mis laseb valguse läbi või peegeldab seda. Nurga θ all naaberjoontelt lähtuvate valguslainete käiguvahe on d sin θ. Kõigi joonte lained jõuavad samas faasis kohale ja valgus on hele ainult siis, kui täisarvulise m korral kehtib d sin θ = mλ. Arvu m nimetatakse järguks. Mujal kustutavad N joone panused üksteist peaaegu täielikult; iga heleda maksimumi kõrval asuv esimene miinimum on sellest vaid ligikaudu λ/(N d cos θ) kaugusel. Kaks lainepikkust ilmuvad eraldi joontena, kui lahutusvõime R = mN on vähemalt λ/Δλ.

Mida iga sümbol tähendab

d: naaberjoonte vahekaugus: 1 mm jagatud joonte arvuga millimeetri kohta
λ: valguse lainepikkus võre järel õhus
m: järk, mis on täisarv; m = 0 vastab otse levivale kiirele ning olemas on ainult järgud, mille korral mλ < d
N: joonte arv, mida kiir tegelikult katab, mitte võrele kantud joonte koguarv
R: lahutusvõime mN; väikseim lainepikkuste vahe, mida järk eristab, on λ/R

Eeldab: Eeldatakse, et kaugelt allikalt pärinev ühe lainepikkusega valgus langeb võrele risti ning ekraan on piisavalt kaugel, et iga joon saadaks sinna laineid sama nurga all. Jooned on nii kitsad, et igaüks hajutab valgust kogu poolruumi ja kõik järgud on võrdselt heledad. Kõik N valgustatud joont saavad võrdselt valgust. Ketas toimib peegeldusvõrena, millele risti langeva valguse korral kehtib sama valem nagu läbilaskevõrele.
Ei kehti, kui: Tegelike joonte laius on a ning ühe joone valgus moodustab ise ühe pilu difraktsioonipildi. See muudab kõrgemad järgud tuhmimaks ja kaotab iga järgu, mis satub mõnda selle nullkohta: kui a = d/2, puuduvad kõik paarisjärgud. Nurga θᵢ all langeva valguse korral kehtib hoopis d(sin θᵢ + sin θ) = mλ. Riivava langemise korral saavad seetõttu difrageeruda lainepikkused kuni 2d; seepärast paistab valguse suhtes kallutatud Blu-ray-plaadil siiski värve. Lõpliku laiusega kiir valgustab keskjooni tugevamalt kui servajooni, mis nõrgendab külgmaksimume järke nihutamata.

Kaks pilu või kuussada, esimene järk on nurgal 9,18° 🖖

Vali Kaks pilu, roheline ja seejärel 300 joont/mm, N = 600. Joonte vahekaugus ei muutu, seega jäävad samaks ka nurgad: esimene järk on mõlemal juhul nurgal 9,18° ja kuues nurgal 73,26°. Muutub laius. Kahe pilu korral ulatub hele vöönd maksimumist esimese miinimumini 4,607°; 600 joone korral on see vahe 0,01544° ehk 298,4 korda väiksem. Nurgad määrab üksnes d sin θ = mλ, tingimus, mille järgi jõuab naaberjoontelt lähtuv valgus kohale täisarvu lainepikkuste võrra erineva teepikkusega. N selles valemis ei esine. N määrab, kui kiiresti lained järgu nurgast eemaldudes üksteisega sammu kaotavad. 600 allika korral piisab nende täielikuks kustumiseks ligikaudu nurgamuutusest λ/(Nd cos θ). Koolivõre on seega otsekui kahe pilu süsteem, mille heledad vööndid on teritatud joonteks. „Rohkem jooni millimeetri kohta” ja „rohkem valgustatud jooni” tähendavad eri asju: esimene nihutab järke, teine teeb need üksnes kitsamaks ja heledamaks.

Punane valgus annab CD-l kaks järku, DVD-l ühe ja Blu-ray-plaadil mitte ühtegi 🖖

Järk saab tekkida ainult siis, kui mλ on väiksem kui d, seega annab tihedam võre vähem järke. Punane 650 nm valgus tekitab CD 1,6 µm vahedega radadel kaks järku: 23,97° ja 54,34°. Teise järgu nurk ei ole esimese kahekordne 47,94°. Võrdsete sammudena kasvavad siin siinused 0,4063 ja 0,8125, mitte nurgad. DVD-l, mille radade vahe on 0,740 µm, mahub üks järk nurgal 61,45°. Blu-ray-plaadi radade vahe on 0,32 µm, väiksem kõigist nähtava valguse lainepikkustest ja isegi plaati lugeva violetse 405 nm laseri lainepikkusest. Risti langeval valgusel pole seetõttu ühtki järku, kuhu difrageeruda, ning allolevas tabelis on märgitud, et järgud puuduvad. Sama arvutus näitab ka enamiku õpilaste esimese valemi piire. Kahe pilu korral sobib y = mλL/d hästi, sest nurgad on väga väikesed. CD esimese järgu jaoks annab see keskpunktist 1 m kaugusel asuval ekraanil tulemuseks 406,3 mm, kuid leht mõõdab 444,6 mm. Võre suurte nurkade korral tuleb kasutada valemit y = L tan θ.

Naatriumi dublett lahutub teises, kuid mitte esimeses järgus 🖖

Naatriumi kahe kollase joone lainepikkused on 588,9950 ja 589,5924 nm ning nende vahe on 0,5974 nm. Lord Rayleigh’ kriteeriumi järgi on kaks joont eristatavad, kui ühe maksimum langeb teise esimesse nullkohta või sellest kaugemale. Võre puhul annab see lahutusvõime R = mN. Dubleti jaoks on vaja väärtust 986,4. Vali Naatriumi dublett: 600 joont/mm, millest 500 on valgustatud. Esimeses järgus on R väärtus 500. Maksimumide vahe on 0,02196°, kuid kummagi laius esimese nullkohani 0,04328°, seega näed üht hägust joont. Sama võre teises järgus on R väärtus 1000; maksimumide vahe on 0,05809° ja kummagi laius 0,05722°. Kaks joont on nüüd napilt eristatavad. Joonte vahekaugust R-i avaldises üldse ei ole. Tihedam võre, millel on endiselt valgustatud 500 joont, viib paari igas järgus teineteisest kaugemale, kuid laiendab kumbagi maksimumi samas suhtes. Lahutusvõime ei parane. Dubleti eristamiseks esimeses järgus peab kiire all olema 987 joont, olenemata sellest, millisel võrel need asuvad.

Ülesanne täielikult lahendatud

Millised valge valguse järgud kattuvad? 5 sammu
Valge valgus lainepikkustega 400 kuni 700 nm langeb risti võrele, millel on 300 joont millimeetri kohta. Millise nurga all iga järgu spekter algab ja lõpeb, millised spektrid kattuvad ning kas tihedam võre hoiaks need lahus? Esimese sammu kontrollimiseks vali 300 joont/mm, N = 600.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Joonte vahekaugus on 1 mm jagatud 300-ga. Lehel kuvatakse:
  
  $d = \frac{1 mm}{300} = 3.333 μ m = 3333.3 nm$
2. Esimese järgu spekter ulatub nurgast, mille all violetse valguse korral kehtib d sin θ = λ, kuni nurgani, mille all sama kehtib punase valguse jaoks:
  
  $m = 1 : arcsin \frac{400}{3333 . 3} = 6.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{700}{3333 . 3} = 12.1 2^{\circ}$
3. Teine järk ulatub nurgast 13,89° kuni nurgani 24,83°, seega jääb selle ja esimese järgu vahele selge tühimik:
  
  $m = 2 : arcsin \frac{800}{3333 . 3} = 13.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{1400}{3333 . 3} = 24.8 3^{\circ}, 12.1 2^{\circ} < 13.8 9^{\circ}$
4. Kolmas järk algab nurgal 21,10°, enne kui teine on lõppenud. Seal, kuhu langeb kolmanda järgu violetne valgus, näitab teine järk oranži valgust lainepikkusega 600 nm, sest 3 × 400 = 2 × 600:
  
  $m = 3 : arcsin \frac{1200}{3333 . 3} = 21.1 0^{\circ} < 24.8 3^{\circ}, 3 \times 400 nm = 2 \times 600 nm$
5. Järgud m ja m + 1 kattuvad, kui m korda spektri punase otsa lainepikkus on suurem kui m + 1 korda violetse otsa lainepikkus. Vahekaugus d taandub välja:
  
  $m \times 700 > (m + 1) \times 400 ⟺ 300 m > 400 ⟺ m > \frac{4}{3}$
Vastus

Esimene järk ulatub nurgast 6,89° kuni nurgani 12,12° ega kattu teistega. Alates teisest järgust ulatub iga spekter järgmisesse: teise järgu punane ots on nurgal 24,83°, kolmas järk aga algab juba nurgal 21,10°. Ükski võre ei hoia neid lahus, sest tingimuses m·700 > (m + 1)·400 pole d-d. Tihedam võre hajutab järgud üksteisest kaugemale ja jätab neid vähem alles. Teine järk pääseb kattumisest alles siis, kui võre on nii tihe, et kolmandat järku enam ei teki. Esimene järk on puhas ainult seetõttu, et nähtava valguse ulatus on alla ühe oktaavi: 700/400 = 1,75. Kõrgemas järgus töötavas spektromeetris asetatakse võre ette järguvalikufilter, mis tõkestab naaberjärkude valguse.

$\frac{700}{400} = 1.75 < 2 \Rightarrow m = 1 ✓; m \geq 2 : m \times 700 > (m + 1) \times 400 \forall d$

Allikad (3)

The resolving power of a grating, R = mN with N the number of lines illuminated, from the Rayleigh criterion applied to the diffraction maxima, and the sodium doublet as the standard benchmark: R. Nave, "Resolvance of Grating." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
The two yellow lines of neutral sodium, the D lines, at 5889.950 and 5895.924 Å in air, which the sodium preset uses: J. E. Sansonetti and W. C. Martin, "Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data", NIST Standard Reference Database 108, table of Strong Lines of Sodium (Na). National Institute of Standards and Technology.
The DVD standard, which fixes the track pitch at 0.74 µm, the spacing that makes a DVD a grating with room for only one order of red light: Ecma International, Standard ECMA-267, "120 mm DVD - Read-Only Disk", 3rd edition, April 2001.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.