Hajuvus ja hälve

Eelseadistus one outlier hoiab seitset väärtust vahemikus 4 kuni 7 ja üht väärtust 20 juures. Arvuta selle viimase z-skoor valimi standardhälbe põhjal ja otsusta siis, kas reegel, mis märgistab kõik kolmest standardhälbest kaugemal oleva, oleks saanud selle üldse kinni püüda.

1. Liida kaheksa väärtust kokku ja jaga laiali: 60 jagatud 8-ga on 7,50. Seitse kaheksast jäävad sellest allapoole, nii et üksik suur väärtus nihutab keskpunkti juba enne, kui ta hajuvusse puutub.

   $$\bar{x}=\frac{4+5+5+6+6+7+7+20}{8}=\frac{60}{8}=7.50$$

2. Lahuta igast 7,50. Seitse tihedalt koos olevat väärtust jäävad 0,5 kuni 3,5 kaugusele, kaheksas on 12,5 kaugusel. Paneel trükib selle veeru välja ja selle summa on null, nagu iga hälbeveeru summa.

   $$x_i-\bar{x}:-3.5,-2.5,-2.5,-1.5,-1.5,-0.5,-0.5,12.5$$

3. Ruutu võtmine kallutab kogusumma viltu. Seitse annavad koos 29,75 ja väärtus 20 annab üksinda 156,25, mis on üle viie korra rohkem kui kogu ülejäänud valim kokku. Just seda tööd ruutu võtmine tegema ongi pandud.

   $$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\underset{i\le 7}{\underbrace{29.75}}+\underset{i=8}{\underbrace{156.25}}=186.00$$

4. See eelseadistus laadib režiimi Sample, seega on jagaja 7, mitte 8. Paneel trükib välja nii murru kui ka vastuse: 186,00 jagatud 7-ga annab dispersiooni 26,57 ja standardhälbe 5,15. Vii see jagamine ühe koha võrra kaugemale ja s on 5,1547, mida järgmine samm vajabki.

   $$s^2=\frac{186.00}{8-1}=26.57,s=\sqrt{26.57}=5.1547$$

5. z-skoor loeb standardhälbeid keskmisest, nii et siin on see 12,5 jagatud 5,1547-ga ehk 2,4249. Kogu hulga kõige silmatorkavam väärtus ei ulatu kolmeni ega ole sellele lähedalgi.

   $$z_8=\frac{20-7.50}{5.1547}=2.4249$$

6. Küsi nüüd, kas see on fakt selle nimekirja või kaheksa arvu kohta üldiselt. Otsustab üksainus asi: hälvete summa on null, nii et olgu ülejäänud seitse millised tahes, nende summa on täpselt kaheksanda vastandarv.

   $$d_k=x_k-\bar{x},\sum _i{d}_i=0⟹\sum _{i\ne k}{d}_i=-d_k$$

7. Kindla summaga arvude ruutude summa on kõige väiksem siis, kui nad kõik on võrdsed. Seega ei saa need seitse ülejäänud hälvet kõik väikesed olla: kõige ökonoomsem, mida nad teha saavad, on koormus võrdselt jagada, ja see paneb ruutude summale alampiiri.

   $$\begin{array}{rl}\sum _{i\ne k}{d}_i^2& \ge \frac{{\left({\sum }_{i\ne k}{d}_i\right)}^2}{n-1}=\frac{d_k^2}{n-1}\\ \sum _i{d}_i^2& \ge d_k^2+\frac{d_k^2}{n-1}=\frac{n}{n-1}{d}_k^2\end{array}$$

8. Alampiir ruutude summal on alampiir s-il ja alampiir s-il on ülempiir z-il. Ükski väärtus n-elemendilises nimekirjas ei saa asuda keskmisest kaugemal kui (n − 1)/√n valimi standardhälvet. n = 8 juures on see lagi 2,4749. Tõsta 20 väärtusele 100 ja paneel annab hälbe 82,50 standardhälbe 33,35 vastu, seega z on 2,474. Tõsta see miljonini ja z jõuab nelja komakohani 2,4749, ning sinna ta jääbki.

   $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{{\sum }_i{d}_i^2}{n-1}\ge \frac{n{d}_k^2}{(n-1{)}^2}\\ |z_k|& =\frac{|d_k|}{s}\le \frac{n-1}{\sqrt{n}}=\frac{7}{\sqrt{8}}=2.4749\end{array}$$

9. Lagi sõltub ainult n-ist ja mitte millestki muust ning ületab 3 alles üheteistkümne väärtuse juures: kümne väärtusega on maksimum 2,846, üheteistkümnega 3,015. Siinne nimekiri mahutab kaksteist, nii et äärmuslik juht on käeulatuses. Trüki kümme nulli ja üks 1000, endiselt režiimis Sample. Paneel annab keskmise 90,91 ja standardhälbe 301,51 ning suurim hälve 909,09 jagatuna 301,51-ga on 3,015, mis ongi seesama lagi.

   $$\frac{n-1}{\sqrt{n}}\ge 3⟺n\ge 11;n=10:2.846,n=11:3.015$$