Simulateur d'orbites de Kepler

L'équation de Kepler M = E − e sin E n'a pas de solution analytique sous forme fermée pour l'anomalie excentrique E en fonction de l'anomalie moyenne M. Pendant des siècles, ce fut un défi de calcul majeur. Dans les simulations modernes, nous la résolvons par itération en utilisant des méthodes numériques telles que Newton-Raphson. Elle converge généralement en 3 à 5 itérations, faisant du calcul numérique un outil essentiel pour la mécanique céleste depuis le XVIIe siècle.

L'excentricité est le seul nombre que règle ce curseur : elle mesure à quel point une orbite est étirée. À e = 0, on obtient un cercle parfait ; en la poussant vers 1, l'ellipse s'allonge jusqu'à la trajectoire d'une comète, l'étoile étant décentrée sur l'un des foyers, jamais au milieu. Surprise : l'orbite terrestre a e = 0.017, soit presque un cercle. Les saisons viennent de l'inclinaison de l'axe terrestre, non d'une distance changeante au Soleil.

La planète retrace éternellement la même ellipse : elle ne dérive jamais vers une rosette qui tourne lentement. Ce n'est pas automatique. Le théorème de Bertrand prouve que seules deux lois de force referment les orbites liées après un seul tour : la gravité en inverse du carré (1/r²) et la force harmonique de ressort (∝ r). Toute autre loi de puissance laisse des orbites qui ne se répètent jamais tout à fait. L'ellipse nette et fermée est une empreinte de la forme exacte 1/r² de la gravité.