Échelle du calcul par ADN

Une tournée du voyageur de commerce de 20 villes est codée à la manière d'Adleman : un brin d'ADN par parcours candidat, 20 nucléotides par ville. Calculez la masse d'ADN de la bibliothèque. Ajoutez ensuite des villes jusqu'à ce que cela devienne impossible, et indiquez quelle est réellement la limite.

1. Comptons d'abord les candidats. La ville de départ étant fixée, une tournée est un ordonnancement des villes restantes, il y en a donc 20!. Cela fait 2 432 902 008 176 640 000 — disons 2,43 × 10¹⁸.

   $$20!=2,432,902,008,176,640,000\approx 2.43\times 10^{18}$$

2. Pesons maintenant un candidat. Chacune des 20 villes apporte 20 nucléotides, un brin mesure donc 400 nt de long, et l'ADN simple brin pèse environ 330 g par mole de nucléotide.

   $$L=20\times 20\mathrm{nt}=400\mathrm{nt}$$

3. Une mole compte le nombre d'Avogadro de brins, on divise donc par ce nombre pour obtenir la masse d'une seule molécule : 400 × 330 ÷ 6,022 × 10²³, ce qui donne 2,19 × 10⁻¹⁹ g.

   $$m_1=\frac{400\times 330}{6.022\times 10^{23}}=2.19\times 10^{-19}\mathrm{g}$$

4. Multiplions les deux. 2,43 × 10¹⁸ brins à 2,19 × 10⁻¹⁹ g chacun représentent 0,533 g — un demi-gramme dans un tube à essai, et c'est ce chiffre qui donne l'impression que le calcul par ADN fonctionne.

   $$M=2.43\times 10^{18}\times 2.19\times 10^{-19}=0.533\mathrm{g}$$

5. Ajoutons une ville. Le nombre de candidats est multiplié par 21 et le brin passe à 420 nt, la masse est donc multipliée par 21 × (420/400) = 22,05, ce qui donne 11,8 g. La ville supplémentaire a coûté vingt-deux fois toute la bibliothèque précédente.

   $$\frac{M_{21}}{M_{20}}=21\times \frac{420}{400}=22.05\Rightarrow 11.8\mathrm{g}$$

6. En continuant, le multiplicateur lui-même augmente, car il vaut (n+1) × (1 + 1/n). À 38 villes, la bibliothèque pèse 2,18 × 10²⁶ g, soit 3,65 % de la Terre. À 39, elle pèse 8,72 × 10²⁷ g, et la Terre pèse 5,97 × 10²⁷.

   $$M_{39}=8.72\times 10^{27}\mathrm{g}>M_{\oplus }=5.97\times 10^{27}\mathrm{g}$$