Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences

Constructeur de séries de Fourier

composez des ondes complexes à partir de sinus simples

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Leçon

La théorie — Constructeur de séries de Fourier

Une série de Fourier affirme que toute onde périodique, si dentelée soit-elle, est une somme de sinus purs dont les fréquences sont des multiples entiers d’une fondamentale. La somme se construit terme à terme et se dessine par-dessus la cible. Le mot intéressant est égale : la somme atteint la cible partout où celle-ci est continue, et la ligne Peak est l’endroit où l’on découvre ce qui se passe là où elle ne l’est pas.

Ce que signifie chaque symbole

N
le nombre de termes additionnés. Le curseur s’arrête à 20, et la ligne de la série nomme chaque coefficient employé.
k
l’indice d’harmonique — quel multiple de la fondamentale porte un terme. Le carré et le triangle n’utilisent que les k impairs ; la dent de scie les utilise tous.
aₖ
le coefficient de l’harmonique k, affiché dans la ligne de la série. Sa taille dit combien cette fréquence compte, et la vitesse à laquelle les coefficients décroissent décide de la vitesse de convergence.
Peak
max|fN(x)|, le point le plus haut de la somme partielle. La cible a une amplitude de 1 : cette ligne demande donc en réalité si la somme a dépassé.

D’où vient la formule

  1. Lis les coefficients sur la page. Pour le carré, la ligne de la série affiche 1.273 sin(x) + 0.4244 sin(3x) + 0.2546 sin(5x) + …, soit 4/(kπ) pour k = 1, 3, 5. Rien n’est ajusté — les coefficients viennent d’une intégrale, et chaque forme d’onde a les siens.
  2. Remarque les harmoniques absentes. Le carré et le triangle n’utilisent que les k impairs, car tous deux vérifient f(x + π) = −f(x) : décalés d’une demi-période, ils changent de signe, ce qu’une harmonique paire ne peut pas faire. La dent de scie n’a pas cette symétrie et exige donc toutes les harmoniques — ce que la ligne « Harmonics used » énonce directement.
  3. Le premier coefficient donne déjà la vitesse de convergence. Le carré donne 4/π = 1.273 et décroît en 1/k ; le triangle 8/π² = 0.8106 et décroît en 1/k² ; la dent de scie 2/π = 0.6366 et décroît en 1/k. Une décroissance plus rapide, c’est moins de termes pour la même fidélité — d’où l’impression que le triangle est terminé bien avant les deux autres.
  4. Regarde maintenant la ligne Peak plutôt que l’image. Pour une cible sans saut, le pic doit monter jusqu’à 1 et s’y tenir. Pour une cible avec un saut, il fait tout autre chose, et c’est le sujet du reste de cette leçon.

Comment lire ce que vous voyez

Mets la forme sur triangle et fais monter N depuis 1 : le pic affiche 0.8106, 0.9006, 0.9331, 0.9596 … 0.9899 à N = 20. Il monte vers 1 par en dessous et ne le dépasse jamais. Passe au carré : 1.273, 1.2, 1.188, 1.182 … puis il s’arrête tout simplement, à 1.179, et aucune harmonique supplémentaire ne le bouge. Enfin la dent de scie : 0.6366, 0.827, 0.9185, puis 1.008 à N = 5 — elle franchit 1 — et à N = 20 elle est à 1.131 et monte encore. Trois formes, trois histoires entièrement différentes, dans une seule ligne. La dent de scie est celle qui trompe : à la regarder seule, on conclurait que le dépassement croît sans limite. Non. Il se dirige vers le même 1.179 que le carré, simplement par en dessous.

Suppose
Que vingt termes suffisent à voir la tendance, et que le pic est trouvé par échantillonnage — la ligne RMS est évaluée en 801 points de la période, et le pic est le plus grand de ces échantillons, non un maximum résolu. L’un et l’autre conviennent pour observer la convergence, aucun ne conviendrait pour une démonstration.
Ne tient plus quand
Le dépassement ne disparaît jamais. Ce 1.179 stable n’est pas la série à bout de souffle : la limite vaut (2/π)·Si(π) = 1.17898…, et ajouter des harmoniques indéfiniment rend le pic plus étroit sans le rendre plus bas. La série converge donc vers le carré en chaque point pris isolément et jamais uniformément — c’est exactement la distinction que ce phénomène sert à enseigner. Cela explique aussi une contradiction apparente sur cette page : l’éclairage ci-dessus parle d’environ 8.95% et cette ligne de 17.9%. Les deux sont justes — 0.179 rapporté à l’amplitude 1 fait 0.0895 rapporté au saut de 2. Michelson rencontra ce pic en 1898 sur son propre analyseur harmonique et soupçonna un défaut de la machine ; Gibbs écrivit l’année suivante à Nature pour expliquer que c’était la mathématique qui le produisait, non le laiton.

comment des vecteurs tournants construisent une onde 🖖

Chaque vecteur tournant apporte une composante sinusoïdale à l'indice harmonique k. En additionnant les vecteurs bout à bout, on obtient la somme partielle fN(x). Quand N augmente, le contenu haute fréquence affine les angles, tandis qu'un dépassement de Gibbs borné subsiste près des discontinuités de saut.

Toute onde périodique est un accord de sinusoïdes 🖖

L'idée de Fourier : tout signal périodique, aussi dentelé soit-il, est une somme d'ondes sinusoïdales pures dont les fréquences sont des multiples entiers d'une fondamentale. Les curseurs choisissent simplement combien de ces tons élémentaires empiler. Une onde carrée ne contient que des harmoniques impaires, chacune plus faible que la précédente : la 3ᵉ porte 1/3 de l'amplitude de la fondamentale, la 5ᵉ seulement 1/5. Plus de termes affinent la somme vers la forme cible.

Le dépassement de 9% qui ne disparaît jamais 🖖

Près d'un saut, la somme partielle dépasse la cible d'environ 8.95% de la hauteur du saut — et ce pic ne rétrécit jamais, quel que soit le nombre d'harmoniques ajoutées ; il devient seulement plus étroit. Le physicien Albert Michelson le rencontra en 1898, lorsque son analyseur harmonique mécanique traçait obstinément des pics aux bords d'une onde carrée, et il soupçonna une panne. J. Willard Gibbs prouva que la machine avait raison : le dépassement est une vraie propriété mathématique. Le même 'ringing' hante les images JPEG près des bords nets.

THÉORIE DE FOURIER — POURQUOI CERTAINES ONDES EXIGENT PLUS D’HARMONIQUES

Lire une forme d’onde : à quelle vitesse ses harmoniques décroissent-elles ?

Toute onde périodique est une somme de sinus. Le nombre nécessaire pour que la somme ait l’air juste n’est pas affaire de goût : il est fixé par la régularité de la forme d’onde visée. Un saut coûte bien plus d’harmoniques qu’un angle, la symétrie peut diviser le travail par deux gratuitement, et une erreur particulière ne disparaît jamais, quel que soit le nombre de termes ajoutés.

Carrée — un saut, donc décroissance en 1/n cn ∝ 1/n, n = 2k+1
Dent de scie — un saut sans symétrie, donc toutes les harmoniques cn ∝ 1/n, ∀n
Triangulaire — un angle et non un saut, donc décroissance en 1/n² cn ∝ 1/n2, n = 2k+1
Une harmonique — le prix d’un arrêt précoce ε ≈ ∑n>N cn

01

Carrée — un saut, donc décroissance en 1/n

La forme d’onde présente: Un saut vertical entre deux niveaux, plus une symétrie de demi-onde.

Décroissance des coefficients: cn ∝ 1/n, n = 2k+1

Ce que l’on voit: 10 harmoniques donnent des fronts nets qui dépassent encore d’environ 9 % de la hauteur du saut.

Ouvrir ce cas: carrée, 10 harmoniques
Carrée — un saut, donc décroissance en 1/n. Dix harmoniques : les fronts sont nets, le dépassement est toujours là. Un saut vertical entre deux niveaux, plus une symétrie de demi-onde.
Dix harmoniques : les fronts sont nets, le dépassement est toujours là.

02

Dent de scie — un saut sans symétrie, donc toutes les harmoniques

La forme d’onde présente: Un saut par période, et aucune symétrie de demi-onde pour annuler quoi que ce soit.

Décroissance des coefficients: cn ∝ 1/n, ∀n

Ce que l’on voit: 10 harmoniques : oscillation à chaque saut, et chaque harmonique 1, 2, 3… compte.

Ouvrir ce cas: dents de scie, 10 harmoniques
Dent de scie — un saut sans symétrie, donc toutes les harmoniques. Toutes les harmoniques contribuent, et l’oscillation se loge à chaque saut. Un saut par période, et aucune symétrie de demi-onde pour annuler quoi que ce soit.
Toutes les harmoniques contribuent, et l’oscillation se loge à chaque saut.

03

Triangulaire — un angle et non un saut, donc décroissance en 1/n²

La forme d’onde présente: L’onde elle-même est continue ; seule sa pente saute.

Décroissance des coefficients: cn ∝ 1/n2, n = 2k+1

Ce que l’on voit: 8 harmoniques collent déjà presque exactement à la cible, sans le moindre dépassement.

Ouvrir ce cas: triangulaire, 8 harmoniques
Triangulaire — un angle et non un saut, donc décroissance en 1/n². Huit harmoniques suivent la triangulaire presque exactement, sans oscillation. L’onde elle-même est continue ; seule sa pente saute.
Huit harmoniques suivent la triangulaire presque exactement, sans oscillation.

04

Une harmonique — le prix d’un arrêt précoce

La forme d’onde présente: Vous avez coupé la somme à un N faible. La question est ce qui est resté de côté.

Décroissance des coefficients: ε ≈ ∑n>N cn

Ce que l’on voit: Une carrée à n = 1 est un simple sinus : la bonne période, rien de la forme.

Ouvrir ce cas: carrée, 1 harmonique
Une harmonique — le prix d’un arrêt précoce. n = 1 face à n = 10 : la période est juste bien avant la forme. Vous avez coupé la somme à un N faible. La question est ce qui est resté de côté.
n = 1 face à n = 10 : la période est juste bien avant la forme.
Références (4)

Problème entièrement résolu

  1. Cinq ondes sinusoïdales approchant une onde carrée et atteignant 1,182 5 étapes

    Cinq ondes sinusoïdales approchant un signal carré le dépassent, atteignant 1,182 contre 1 pour le signal carré. Déterminez si l'ajout de termes supplémentaires corrige le problème.

    1. Un signal carré est impair et possède une symétrie de demi-onde, ce qui élimine tous les harmoniques pairs avant même le moindre calcul. Cinq termes signifient donc k = 1, 3, 5, 7, 9 — la liste d'harmoniques du panneau est une conséquence de la symétrie, et non un réglage.

    2. La somme partielle présente un dépassement près du saut. À N = 5, le pic est à 1,182 et la valeur RMS est de 0,979, déjà proche de la valeur RMS exacte du signal qui vaut 1 — l'énergie est donc presque correcte alors que la forme près du bord ne l'est pas.

    3. Testons maintenant le remède évident. N = 1 atteint un pic à 1,273, N = 5 à 1,182, N = 50 à 1,179, N = 200 à 1,17898.

    4. Elle converge — mais pas vers 1. La limite est (2/π)·Si(π) = 1,17898, et le dépassement ne disparaît jamais, quel que soit le nombre de termes.

    5. Ce qui se produit, c'est que le dépassement devient plus étroit. Il glisse vers la discontinuité et occupe une largeur de plus en plus faible, c'est pourquoi l'erreur RMS tend vers zéro alors même que l'erreur maximale ne disparaît pas.

    Réponse

    L'outil affiche N = 5, les harmoniques 1, 3, 5, 7, 9, un pic de 1,182 et une valeur RMS de 0,979. Le résultat à retenir est que le pic converge vers 1,17898, pas vers 1. C'est le phénomène de Gibbs, et son énoncé exige de la précaution : le dépassement représente 8,95 % du saut — et ce signal saute de 2, de −1 à +1, si bien que ce même fait s'exprime par 17,9 % de l'amplitude. Les deux chiffres sont exacts et aucun des deux n'est l'autre. Ce n'est pas non plus un artefact numérique : c'est ainsi que se manifeste la convergence simple lorsque la limite est discontinue, et c'est la raison pour laquelle les bords nets provoquent des ondulations en JPEG et dans les filtres audio.

Parcours

Cercles et ondes : un seul et même mouvement

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