Constructeur de séries de Fourier

Chaque vecteur tournant apporte une composante sinusoïdale à l'indice harmonique k. En additionnant les vecteurs bout à bout, on obtient la somme partielle f_N(x). Quand N augmente, le contenu haute fréquence affine les angles, tandis qu'un dépassement de Gibbs borné subsiste près des discontinuités de saut.

L'idée de Fourier : tout signal périodique, aussi dentelé soit-il, est une somme d'ondes sinusoïdales pures dont les fréquences sont des multiples entiers d'une fondamentale. Les curseurs choisissent simplement combien de ces tons élémentaires empiler. Une onde carrée ne contient que des harmoniques impaires, chacune plus faible que la précédente : la 3ᵉ porte 1/3 de l'amplitude de la fondamentale, la 5ᵉ seulement 1/5. Plus de termes affinent la somme vers la forme cible.

Près d'un saut, la somme partielle dépasse la cible d'environ 8.95% de la hauteur du saut — et ce pic ne rétrécit jamais, quel que soit le nombre d'harmoniques ajoutées ; il devient seulement plus étroit. Le physicien Albert Michelson le rencontra en 1898, lorsque son analyseur harmonique mécanique traçait obstinément des pics aux bords d'une onde carrée, et il soupçonna une panne. J. Willard Gibbs prouva que la machine avait raison : le dépassement est une vraie propriété mathématique. Le même 'ringing' hante les images JPEG près des bords nets.