Explorateur de fonctions rationnelles

Les fonctions rationnelles exposent la tension entre les racines du numérateur (zéros) et du dénominateur (pôles). En s'approchant d'un pôle, la fonction explose vers l'infini. Le rapport des polynômes détermine les asymptotes horizontales.

L'outil calcule f(x)=k(x−z)/(x−p) : la distance à un zéro divisée par la distance à un pôle, mise à l'échelle par k. Quelles que soient les valeurs choisies, le graphe garde toujours la même forme — une hyperbole, la courbe même de y=1/x. Déplacer z et p ne fait que la translater ; changer k l'étire et inverse le sens d'ouverture des deux branches. À retenir : maîtriser y=1/x, c'est toutes les maîtriser.

Écrite (ax+b)/(cx+d), toute fonction à un zéro et un pôle est une transformation de Möbius — les applications qui régissent l'analyse complexe et la géométrie hyperbolique. Ajoutez un unique point à l'infini (la sphère de Riemann) et le pôle cesse d'être une catastrophe : x=p s'envoie simplement sur ce nouveau point, et x=∞ sur l'asymptote horizontale y=k. Sur la sphère, la fonction est une bijection lisse et réversible — l'« explosion » n'est qu'un artefact de la carte plane.