Simulateur de réfraction — loi de Snell-Descartes

La lumière frappe l'eau sous un angle de 30°. Déterminez sa trajectoire et la quantité réfléchie — puis trouvez l'angle sous lequel un poisson ne peut plus du tout voir dehors. n₁ = 1,00 (air), n₂ = 1,33 (eau).

1. La réfraction exprime une contrainte sur la composante de l'onde le long de la surface : elle doit être identique des deux côtés, sans quoi les fronts d'onde se déchireraient. Cette condition de raccordement est la loi de Snell-Descartes, et elle découle tout aussi bien du principe de Fermat.

   $$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$$

2. Déterminez l'angle transmis. Le simulateur ci-dessus l'affiche, et le rayon dévie vers la normale car il pénètre dans un milieu plus lent.

   $$\sin {\theta }_2=\frac{1.00\sin 30^{\circ }}{1.33}=0.3759⟹{\theta }_2=22.08^{\circ }$$

3. La proportion réfléchie est une question distincte à laquelle la loi de Snell-Descartes ne peut répondre — elle nécessite les équations de Fresnel, qui traitent les deux polarisations différemment.

   $$R_s={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_1-n_2\cos {\theta }_2}{n_1\cos {\theta }_1+n_2\cos {\theta }_2}\right|}^2,R_p={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_2-n_2\cos {\theta }_1}{n_1\cos {\theta }_2+n_2\cos {\theta }_1}\right|}^2$$

4. La lumière non polarisée est un mélange à parts égales, il faut donc en faire la moyenne. L'outil affiche ce chiffre, et à 2 %, c'est la raison pour laquelle une fenêtre est une fenêtre plutôt qu'un miroir.

   $$R=\frac{1}{2}(R_s+R_p)=2.11\%$$

5. Inversez maintenant le trajet. Dans l'autre sens — de l'eau vers l'air —, il existe un angle au-delà duquel l'équation exige sin θ₂ > 1, ce qui n'a pas de solution.

   $$\text{water}\to \text{air}:{\theta }_c=\arcsin \frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{water}}}=\arcsin \frac{1.00}{1.33}=48.75^{\circ }$$

Le panneau dévie le rayon à 22,08° et annonce une réflectance de 2,11 %. Ce chiffre est la moyenne de deux nombres qu'il n'affiche pas séparément — et à un angle bien précis, l'un des deux est exactement nul. Trouvez-le.

1. Partez de la réfraction affichée, directement issue de la loi de Snell-Descartes à 30° dans l'eau.

   $$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2:{\theta }_2=\arcsin \left(\frac{1.00}{1.33}\sin 30^{\circ }\right)=22.08^{\circ }$$

2. Regardez maintenant ce qu'est vraiment la réflectance. La lumière a deux polarisations relativement à la surface, elles se réfléchissent inégalement, et 2,11 % en est la moyenne. Moyenner n'a de sens que si les deux sont comparables.

   $$R=\frac{R_s+R_p}{2}=2.11\%,R_s\ne R_p$$

3. Écrivez le coefficient de Fresnel de la polarisation parallèle et demandez quand son numérateur s'annule. C'est une question algébrique honnête, à réponse exacte.

   $$R_p={\left|\frac{n_2\cos {\theta }_1-n_1\cos {\theta }_2}{n_2\cos {\theta }_1+n_1\cos {\theta }_2}\right|}^2=0⟺n_2\cos {\theta }_1=n_1\cos {\theta }_2$$

4. Cette condition se réarrange en quelque chose de remarquable : elle est vérifiée exactement lorsque les rayons réfléchi et réfracté repartent perpendiculairement l'un à l'autre. En substituant, tout se ramène à une seule tangente.

   $${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }⟹\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_1⟹\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$$

5. Mettez l'eau. À 53,06° la composante parallèle ne réfléchit strictement rien, et tout ce qui rebondit sur la surface est polarisé dans l'autre direction.

   $${\theta }_B=\arctan \left(\frac{1.33}{1.00}\right)=53.06^{\circ },{\theta }_2=90^{\circ }-53.06^{\circ }=36.94^{\circ }$$

6. Notez où cela se situe par rapport à l'autre angle particulier que l'outil connaît — la réflexion totale interne, qui vit de l'autre côté du dioptre et à un angle plus petit.

   $${\theta }_c=\arcsin \left(\frac{1.00}{1.33}\right)=48.75^{\circ }<{\theta }_B$$