Dispersion et écart

Le préréglage à une valeur aberrante contient sept valeurs entre 4 et 7 et une à 20. Calculez le score z de cette dernière à partir de l'écart type d'échantillon, puis décidez si une règle qui signale tout ce qui dépasse trois écarts types aurait jamais pu l'attraper.

1. Additionnez les huit valeurs et répartissez-les : 60 sur 8 font 7,50. Sept des huit se trouvent en dessous, si bien que l'unique valeur haute déplace déjà le centre avant même de toucher à la dispersion.

   $$\bar{x}=\frac{4+5+5+6+6+7+7+20}{8}=\frac{60}{8}=7.50$$

2. Retranchez 7,50 de chacune. Les sept valeurs serrées tombent entre 0,5 et 3,5 d'écart ; la huitième est à 12,5. Le panneau imprime cette colonne, et elle s'annule, comme toute colonne d'écarts.

   $$x_i-\bar{x}:-3.5,-2.5,-2.5,-1.5,-1.5,-0.5,-0.5,12.5$$

3. L'élévation au carré rend le total dissymétrique. Les sept réunies apportent 29,75, et la valeur 20 en apporte 156,25 à elle seule, plus de cinq fois le reste de l'échantillon. C'est exactement le travail pour lequel le carré est là.

   $$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\underset{i\le 7}{\underbrace{29.75}}+\underset{i=8}{\underbrace{156.25}}=186.00$$

4. Ce préréglage charge le mode échantillon, donc le diviseur est 7 et non 8. Le panneau imprime la fraction en plus du résultat : 186,00 sur 7 donne une variance de 26,57 et un écart type de 5,15. Poussez la division d'un rang de plus et s vaut 5,1547, ce dont l'étape suivante a besoin.

   $$s^2=\frac{186.00}{8-1}=26.57,s=\sqrt{26.57}=5.1547$$

5. Un score z compte les écarts types depuis la moyenne, donc ici 12,5 sur 5,1547, soit 2,4249. La valeur la plus voyante du jeu n'atteint pas trois, et elle n'en est même pas proche.

   $$z_8=\frac{20-7.50}{5.1547}=2.4249$$

6. Reste à savoir si c'est un fait sur cette liste ou sur huit nombres en général. Une seule chose en décide : les écarts s'annulent, donc quels que soient les sept autres, leur somme vaut exactement l'opposé du huitième.

   $$d_k=x_k-\bar{x},\sum _i{d}_i=0⟹\sum _{i\ne k}{d}_i=-d_k$$

7. Des nombres de somme fixée ont la plus petite somme de carrés possible lorsqu'ils sont tous égaux. Les sept écarts restants ne peuvent donc pas être tous petits : au plus économe, ils se partagent la charge à parts égales, ce qui pose un plancher sous le total des carrés.

   $$\begin{array}{rl}\sum _{i\ne k}{d}_i^2& \ge \frac{{\left({\sum }_{i\ne k}{d}_i\right)}^2}{n-1}=\frac{d_k^2}{n-1}\\ \sum _i{d}_i^2& \ge d_k^2+\frac{d_k^2}{n-1}=\frac{n}{n-1}{d}_k^2\end{array}$$

8. Un plancher sous le total des carrés est un plancher sous s, et un plancher sous s est un plafond sur z. Aucune valeur d'une liste de n ne peut se tenir à plus de (n − 1)/√n écarts types d'échantillon de la moyenne. À n = 8, ce plafond vaut 2,4749. Portez le 20 à 100 : le panneau donne un écart de 82,50 contre un écart type de 33,35, donc z vaut 2,474. Portez-le à un million et z atteint 2,4749 à quatre décimales, et il s'y arrête.

   $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{{\sum }_i{d}_i^2}{n-1}\ge \frac{n{d}_k^2}{(n-1{)}^2}\\ |z_k|& =\frac{|d_k|}{s}\le \frac{n-1}{\sqrt{n}}=\frac{7}{\sqrt{8}}=2.4749\end{array}$$

9. Le plafond dépend de n et de rien d'autre, et il dépasse 3 pour la première fois à onze valeurs : dix peuvent atteindre 2,846, onze peuvent atteindre 3,015. La liste en accepte douze, le cas extrême est donc à portée. Saisissez dix zéros et un 1000, toujours en mode échantillon. Le panneau donne une moyenne de 90,91 et un écart type de 301,51, et le plus grand écart, 909,09, divisé par 301,51 vaut 3,015, c'est-à-dire le plafond lui-même.

   $$\frac{n-1}{\sqrt{n}}\ge 3⟺n\ge 11;n=10:2.846,n=11:3.015$$