ケプラーの法則軌道シミュレーター

惑星運動に関するケプラーの法則をデモンストレーションします。軌道長半径、離心率、中心質量を調整して軌道をアニメーション表示し、速度ベクトルや等面積の扇形を確認できます。

計算例 — ケプラーの法則軌道シミュレーター

近日点での速度 v_peri	45.5 km/s
遠日点での速度 v_aph	19.5 km/s

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インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

面積速度一定の法則は角運動量の別の顔 🖖

ケプラー方程式 M = E − e sin E は、平均近点角 M から離心近点角 E を求めるための解析的な閉じた形の解を持ちません。これは何世紀にもわたり、天体力学における計算上の大きな難問でした。現代のシミュレーションでは、ニュートン＝ラフソン法などの数値解法を用いて反復計算を行います。通常3〜5回の反復で収束するため、数値計算は17世紀以来、天体力学にとって不可欠なツールとなっています。

離心率が本当に意味するもの 🖖

離心率はこのスライダーが操る唯一の数で、軌道がどれだけ引き伸ばされているかを表します。e = 0 では完全な円になり、1 に近づけると楕円は彗星の軌道のように細長く伸び、恒星は中心ではなく一方の焦点に片寄って位置します。意外なことに、地球の軌道は e = 0.017 でほぼ円です。季節は太陽との距離の変化ではなく、地軸の傾きから生じます。

なぜ楕円はぴたりと閉じるのか 🖖

惑星は永遠にまったく同じ楕円を描き、ゆっくり回転するバラ飾り模様へとずれていくことはありません。これは当たり前ではありません。ベルトランの定理は、束縛軌道が一周で閉じる力の法則はわずか二つ - 逆二乗の重力(1/r²)と調和的なばねの力(∝ r) - だけであることを証明しています。ほかのどんなべき乗則でも、軌道は完全には繰り返しません。きれいに閉じた楕円は、重力が正確に 1/r² の形をしている証拠なのです。

全プロセスの詳細解説

太陽質量の恒星を回るe = 0.4の軌道 5 ステップ
太陽質量の恒星のまわりで、a = 1 AU かつ e = 0.4 の軌道があります。両端における速度を求め、さらに軌道の全周にわたって一定に保たれる量を求めなさい。
1. 軌道長半径 a、離心率 e の楕円は、a(1−e) で最接近し、a(1+e) で最も遠ざかります。これら2つの半径こそが、この問題で必要なすべての幾何学的情報です。
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 0.6 AU, r_{a} = a (1 + e) = 1.4 AU$
2. ヴィス・ヴィヴァ方程式（生力方程式）は、半径と軌道長半径だけから任意の半径における速度を与えます。公転する物体の質量も、どこから運動を開始したかも関係ありません。
  
  $v = μ (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$
3. 両端で値を評価します。上記のビジュアルツールは、この軌道に対してまさにこれら2つの数値を表示しますが、シミュレーションを行うのではなく、この同じ方程式を実行することによって表示しています。
  
  $v_{p} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 + e}{1 - e} = 45.5 km/s, v_{a} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 - e}{1 + e} = 19.5 km/s$
4. ここで比を取り、恒星の質量が消去されるのを確認します。速度比は離心率のみに依存し、a にも恒星にも依存しません。e = 0.99 の彗星は、遠日端を離れるときの199倍の速度で最接近点に到達します。
  
  $\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} = \frac{1.4}{0.6} = 2.333$
5. その比率は保存則の別の姿です。各速度にその半径を掛けると、2つの積は等しくなります。単位質量あたりの角運動量は一定であるため、軌道が距離で得るものは速度で失わなければなりません。
  
  $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a} ⟹ 0.6 \times 45.5 = 1.4 \times 19.5 = 27.3$
解答

近日点で 45.5 km/s、遠日点で 19.5 km/s、その比率はちょうど 2.333 = (1+e)/(1−e) となります。半径と速度の積はいずれも 27.3 となり、これはケプラーの第二法則を数値で表したものです。「同じ時間で描く面積は等しい」という規則は、単に rv = constant ということです。これが、彗星が軌道の外側で大部分の時間を過ごし、内系を数週間で横切る理由です。これは重力の強さが変化するためではなく、面積に関する事実によるものです。

$\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} (the constant is L = m r v)$
惑星が遠い半分を這うように進むのに費やす1年の割合 6 ステップ
パネルはこの軌道に周期 1.000 年を与え、近日点を 0.6000 au、遠日点を 1.400 au に置きます。惑星が遠い側をのろのろ進む様子は描きますが、そこにどれだけ長く留まるかは決して教えてくれません。それを求めましょう——1 年に対する割合として、離心率だけから。
1. 表示されている値から始めます。2 つの拱点は a(1−e) と a(1+e) にあり、この軌道は近づく距離の 2 倍以上まで遠ざかります。
  
  $T = a^{3/2} = 1.000, r_{p} = a (1 - e) = 1.00 (1 - 0.400) = 0.6000, r_{a} = a (1 + e) = 1.400$
2. ここで働くのはケプラーの第二法則がすべてで、これは距離ではなく面積についての主張です。動径は等しい時間に等しい面積を掃く。つまり、そこで過ごす時間は掃いた面積そのものです。
  
  $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = const ⟹ Δ t \propto A$
3. 楕円を短軸で 2 つに切ります。両半分の面積は等しい——ですが太陽は中心ではなく焦点にあり、c = ae だけずれています。そこから見れば、遠い側は半楕円に、焦点とその切り口が作る三角形を足したものです。
  
  $A_{f} = \frac{1}{2} π ab + \frac{1}{2} (2 b) (c), c = a e$
4. 全面積で割ると、ほとんどが約分で消えます。a も b も消え、驚くほどきれいな結果が残ります。割合は 2 分の 1 に、離心率を π で割ったものを足したものです。
  
  $\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{b c}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π}$
5. この軌道の離心率を入れます。1 年の 63% 近くが外側の半分で過ぎます——惑星はそこで遅いだけでなく、生涯の 3 分の 2 をそこで過ごすのです。
  
  $e = 0.400 : \frac{1}{2} + \frac{0.400}{π} = 0.5000 + 0.1273 = 0.6273$
6. 次に地球の値、わずか 0.0167 を入れます。
  
  $e = 0.0167 : \frac{1}{2} + 0.00532 = 0.50532, 2 (0.00532) (365.25) = 3.88 d$
解答

遠側を進む半周期は、周期全体の ½ + e/π に当たる。画面上の軌道では 62.73%、地球では 50.53% である。後者の差は小さいが、無視できるほどではない。短軸の近側より遠側にいる期間のほうが、年間で 3.88 日長い。また、同じ離心率でも別の線で軌道を分ければ、暦上の季節の長さがそろわない理由がわかる。地球が近日点を通過するのは一月初めなので、北半球の冬は公転速度の大きい側に当たり、夏より五日ほど短い。この導出には、周期も質量も軌道の大きさも用いていない。必要なのは形だけである。

$\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} : e = 0.400 \Rightarrow 62.73%, e = 0.0167 \Rightarrow 50.53%$

学習の道すじ

二つの値から導く軌道

この次に活力方程式楕円と、それを決定する二つの値である軌道長半径と離心率、そして天体がどれほどの速さで周回するかを示す面積速度一定の法則。これ以降のすべてのステップで必要になるのが、この軌道長半径です。

参考文献 (2)

Kepler working from Tycho Brahe’s observations, and the laws themselves: J. Kepler, Astronomia Nova, 1609 — translated by W. H. Donahue as New Astronomy, Cambridge University Press, 1992. ISBN 978-0-521-30131-2.
Equal areas as conservation of angular momentum: H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., §3.2. Addison-Wesley, 2002. ISBN 978-0-201-65702-9.

42Math チーム · 更新 2026-07-03

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例題

地球 - 地球:ほぼ円軌道、e=0.017
火星 - 火星:目立つ離心率、e=0.093
水星 - 水星:惑星の中で最大の離心率、e=0.206
ハレー彗星 - ハレー彗星:非常に大きな離心率、e=0.967