グラフの変換：平行移動、拡大縮小、反転

(x − 3)² を押してみてください。すべての矢印は右を向き、頂点は (3, 0) に移動します。2003年にリナ・ザズキス（Rina Zazkis）と二人の同僚が中高生と教師にこの放物線について尋ねたとき、大多数がこの右方向への移動を直感に反すると感じていました。新しい曲線の x での値は、x² の x − 3 での値と同じです。そのため、x − 3 = 0、つまり x = 3 になって初めて放物線の最小値に到達します。これは元のグラフが 3 単位遅れて到着している状態です。括弧の中で x に加えられた操作は関数 f が適用される前に起こるため、グラフにはその操作を打ち消す動きが現れます。3 を引けばグラフは逆方向へ 3 移動します。sin 2x のように 2 を掛けると、グラフは 2 倍の早さで到達することになります。その結果、すべての横幅は半分になり、正弦波の 2π (6.2832) の点は 3.1416 に移動します。外側にある二つの数 a と d は、f が適用された後の高さに対して働き、見たままの通りの効果をもたらします。

2√(2x − 6) + 1 を押してみてください。曲線は x = 3 から始まります。平方根は根号の中が 0 になるところから始まるため、2x − 6 が 0 になるのは 6 ではなく 3 のときです。まず括弧の中を因数分解して 2x − 6 = 2(x − 3) とすると、括弧の中に残った数が平行移動量になります。結果表の最初の行はまさにそれを行っており、−c/b = −(−6)/2 と計算しています。数式から移動を読み取る正しい方法は二つあります。グラフを右へ 6 移動させてから y軸に向かって横幅を半分に圧縮する方法（これで始点は 6 から 3 に引き寄せられます）、あるいは、先に圧縮してから 3 だけ移動させる方法です。誤った読み取り方は、書かれている順序のまま数値を受け取り、圧縮した後に 6 移動させてしまうことです。

(2x)² を押してみてください。グラフは横幅が半分に圧縮された放物線であり、結果表の最後の行ではこれを高さを 4 倍に引き伸ばした放物線 4x² として記述しています。(2x)² = 2²·x² であるため、これらは一つの曲線です。b > 0 の場合、同じ等式 (bx)ⁿ = bⁿxⁿ がすべての累乗で成り立ちます。したがって、x²、|x|、x³、√x、1/x では、横方向の拡大縮小はすべて縦方向の拡大縮小に変換でき、どちらの移動が行われたかはグラフに記録されません。指数関数ではもう一方の移動を変換できます。2ˣ⁺³ は 2ˣ を左に 3 移動させたものですが、2ˣ⁺³ = 2³·2ˣ であるため 8·2ˣ でもあります。正弦波（sin）はこのページにある基本グラフの中で唯一、どちらの変換もできません。正弦波を圧縮したり、π の倍数以外で平行移動したりすると零点が動きますが、縦方向の拡大縮小ではすべての零点は元の位置から動かないからです。