極限エクスプローラー

関数と点aを入力してください。xをaの左右から一桁ずつ近づけ、fの値を追います。左右から同じ値に近づくのか、異なる値に近づくのか。無限大へ発散することも、どこにも収束しないこともあります。

左右の極限が同じ有限の値なら、極限が存在する	$x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = L$
aで連続	$x \to a lim f (x) = f (a)$
正弦関数の微分を支える極限	$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

計算例 — 極限エクスプローラー

左極限	1
右極限	1
極限値	1
aでの値	未定義
種類	除去可能な不連続点

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 極限エクスプローラー

x → aのときlim f(x) = Lとは、x ≠ aのままxをaに十分近づければ、f(x)をLにいくらでも近づけられるという意味です。f(a)の値は関係ありません。定義されていなくても、Lと異なる値でもかまいません。

各記号の意味

a: xが近づく点
L: 極限値
L⁻, L⁺: x < aからの左極限と、x > aからの右極限
h: fの値を調べる点とaとの距離。10⁻¹から10⁻⁸まで縮めます

公式の導き方

まず代入する。fが連続なら、極限はその点での関数値です。多項式、sin、cos、eˣはすべての点で連続です。これらの商も、分母が0でない点では連続です。
$x \to 2 lim (x^{2} + 1) = 2^{2} + 1 = 5$
0/0なら、式を変形する。分子と分母に共通因数(x − a)があれば約分できます。極限で調べるのはx = aそのものではないからです。根号を含む差には、共役な式を掛けて有理化します。
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1 (x \neq = 1) \Rightarrow x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2$
左右から調べる。左右で異なる値に近づく場合や、無限大へ発散する場合、有限の極限は存在しません。その振る舞いによって不連続点を分類できます。ページ下部のガイドで確認しましょう。
$x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} = - 1 \neq = 1 = x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x}$
変形が難しければ、はさみうちにする。aの近くでg ≤ f ≤ hが成り立ち、gとhがともにLに収束するなら、fもLに収束します。弧度法のページでは、この方法でsin x / x → 1を証明します。振動する関数も、上下の幅が狭まれば、その中で同じ値に近づきます。
$- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2} \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$

すべての微分は姿を変えた 0/0 🖖

曲線上のある点での傾きを求めようと、(f(x+h) − f(x)) / hにh = 0を代入すると、fが定義されているどの点でも0/0になります。この割り算では答えが出ません。0/0は数ではなく、式をどう変形しても数にはなりません。そこで極限を使います。hが0になったときの値ではなく、hを0に近づけたときに商がどの値に近づくかを調べるのです。その値が接線の傾きになります。次のページでは、各xでこの極限を求めます。

数表がうそをつくとき 🖖

調べる点の落とし穴を押してみてください。このページでは、n = 1から8まで、x = a ± 10⁻ⁿでのfの値を調べます。0付近のsin(π/x)では、どの行も0です。指数が整数ならsin(10ⁿπ) = 0となるため、ページは極限を0と判定します。ところが、調べた点の間で関数は−1と+1の間を振動し続け、実際には極限は存在しません。数値上の収束は手がかりにはなっても、証明にはなりません。

極限の理論 — x が a に近づくときグラフは何をするか

あなたの極限はどの型か

極限が問うのは、x が a に近づくとき f がどこへ向かうかであり、a での f の値ではありません。まず左右の片側極限を読み取ります。一致すれば極限は存在し、あとは f(a) がその値と合うかどうかだけです。一致しなければ、そのずれ方 — 段差、発散、終わらない振動 — が型の名前になります。

除去可能な穴 — 両側は一致し、f(a) だけがない L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

約分できる 0/0 — 結論の前に因数分解する 0/0 → ÷(x − a)

跳び — 左右が食い違う L⁻ ≠ L⁺

無限 — 値が目盛りの外へ飛び出す f → ±∞ at x = a

振動 — 値が決して落ち着かない ∄L, |f| ≤ 1

除去可能な穴 — 両側は一致し、f(a) だけがない

わかっていること: 左右の極限は等しく有限だが、f(a) は定義されていない。a を代入すると 0/0 になり、約分できる因子もない。

判定: L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

計算例: f(x) = sin(x)/x、a = 0 → f(0) は 0/0 だが、f(±0.001) = 0.99999983 → 極限 = 1

この型を開く: sinc：sin(x)/x

除去可能な穴 — 両側は一致し、f(a) だけがない. 左右の枝は同じ高さを目指し、点だけがくり抜かれている。左右の極限は等しく有限だが、f(a) は定義されていない。a を代入すると 0/0 になり、約分できる因子もない。 — 左右の枝は同じ高さを目指し、点だけがくり抜かれている。

約分できる 0/0 — 結論の前に因数分解する

わかっていること: a を代入すると 0/0 になり、分子と分母は共通因子 (x − a) をもつ。

判定: 0/0 → ÷(x − a)

計算例: f(x) = (x² − 1)/(x − 1)、a = 1 → (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → 極限 = 2

この型を開く: 約分で求める0/0

約分できる 0/0 — 結論の前に因数分解する. 約分後のグラフは、一点だけ抜けた直線 y = x + 1 になる。 a を代入すると 0/0 になり、分子と分母は共通因子 (x − a) をもつ。 — 約分後のグラフは、一点だけ抜けた直線 y = x + 1 になる。

跳び — 左右が食い違う

わかっていること: 片側極限はどちらも有限だが値が異なる。グラフは a で一方の高さから他方の高さへ段差を作る。

判定: L⁻ ≠ L⁺

計算例: f(x) = |x|/x、a = 0 → 左極限 = −1、右極限 = +1 → 極限は存在しない

この型を開く: 跳躍：|x|/x

跳び — 左右が食い違う. 高さの違う二本の平らな枝：左右が食い違い、単一の極限はない。片側極限はどちらも有限だが値が異なる。グラフは a で一方の高さから他方の高さへ段差を作る。 — 高さの違う二本の平らな枝：左右が食い違い、単一の極限はない。

無限 — 値が目盛りの外へ飛び出す

わかっていること: 少なくとも一方の側が限りなく大きくなる。a を代入すると 0 でない数を 0 で割る形になり、x = a に垂直漸近線が立つ。

判定: f → ±∞ at x = a

計算例: f(x) = 1/x、a = 0 → 左からは → −∞、右からは → +∞ → 有限の極限はない

この型を開く: 無限大：1/x

無限 — 値が目盛りの外へ飛び出す. 二本の枝は垂直漸近線 x = a に沿って離れていく。少なくとも一方の側が限りなく大きくなる。a を代入すると 0 でない数を 0 で割る形になり、x = a に垂直漸近線が立つ。 — 二本の枝は垂直漸近線 x = a に沿って離れていく。

振動 — 値が決して落ち着かない

わかっていること: 関数は有界のままだが、a にどれだけ近づいて見ても、同じ範囲を無限回行き来する。

判定: ∄L, |f| ≤ 1

計算例: f(x) = sin(1/x)、a = 0 → x = 0.001 から x = 0.002 の間でグラフは約 80 周し、[−1, 1] のすべての値を通る

この型を開く: 振動：sin(1/x)

振動 — 値が決して落ち着かない. x が 0 に近づくほど、振動は小さくならず速くなる。関数は有界のままだが、a にどれだけ近づいて見ても、同じ範囲を無限回行き来する。 — x が 0 に近づくほど、振動は小さくならず速くなる。

全プロセスの詳細解説

因数分解で求める0/0 3 ステップ
x → 3のときの(x² − 9)/(x − 3)の極限を求めましょう。

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1. まず代入すると0/0です。式を変形しましょう。
  
  $\frac{3 ^{2} - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$
2. 分子は平方の差なので、因数分解すると分母と同じ因数が現れます。極限ではx = 3そのものを調べないので、約分できます。
  
  $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3 (x \neq = 3)$
3. 残った式は3で連続なので、代入します。
  
  $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6$
解答

極限値は6です。関数そのものは3で定義されていません。ページにも、極限値は6、aでの値は未定義と、それぞれ表示されます。
平方根を含む0/0 3 ステップ
x → 0のときの(√(x + 4) − 2)/xの極限を求めましょう。

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1. 代入すると、ここでも0/0です。
  
  $\frac{0 + 4 - 2}{0} = \frac{0}{0}$
2. そのままでは因数分解できません。分子と分母に共役な式√(x + 4) + 2を掛けると、分子が平方の差になり、xを約分できます。
  
  $\frac{x + 4 - 2}{x} \cdot \frac{x + 4 + 2}{x + 4 + 2} = \frac{( x + 4 ) - 4}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{1}{x + 4 + 2}$
3. ここで代入します。
  
  $x \to 0 lim \frac{1}{x + 4 + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
解答

極限値は¼です。ページでは、左の列は0.25に上から、右の列は下から近づきます。
sin 3xをxで割った式 3 ステップ
x → 0のときのsin(3x)/xの極限を求めましょう。

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1. 基本の極限を使うには、sinの中と分母を同じ式にそろえます。3を掛けて3で割ると、
  
  $\frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x}$
2. x → 0ならu = 3xも0に近づくので、uについて基本の極限が使えます。
  
  $u = 3 x \to 0 : \frac{sin u}{u} \to 1$
3. したがって、
  
  $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot 1 = 3$
解答

極限値は3です。同じ変形により、0でない任意の定数kについてsin(kx)/x → kが成り立ちます。
(1 − cos x)/x²と、桁落ちする数表 3 ステップ
x → 0のときの(1 − cos x)/x²の極限を求め、ページの表の最終行が0になる理由を説明しましょう。

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1. 分子と分母に1 + cos xを掛け、1 − cos²x = sin²xを使います。
  
  $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \cdot \frac{1 + cos x}{1 + cos x} = \frac{1 - cos ^{2} x}{x ^{2} ( 1 + cos x )} = \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + cos x}$
2. これで、各因子の極限がわかります。
  
  $x \to 0 lim (\frac{sin x}{x})^{2} \cdot \frac{1}{1 + cos x} = 1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
3. x = 10⁻⁸では、cos xと1との差は5 × 10⁻¹⁷です。これは、コンピューターが表せる1とそのすぐ下の数との間隔の半分にも届きません。そのため計算上のcos xはちょうど1となり、分子はちょうど0になります。
  
  $x = 1 0^{- 8} : cos x = 1 - 5 \times 1 0^{- 17} \Rightarrow fl (cos x) = 1, 1 - fl (cos x) = 0$
解答

極限値は½です。表はx = 10⁻⁵まで0.500000を保ちますが、10⁻⁶と10⁻⁷では値が乱れ、10⁻⁸では0になります。ページは、最も値が安定している行から極限を推定するため、最終行の値ではなく0.5を表示します。
左右の極限が異なる跳躍不連続 2 ステップ
|x − 2|/(x − 2)のx = 2での片側極限をそれぞれ求め、極限が存在するか調べましょう。

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1. 2の左側と右側に分けて、絶対値を外します。
  
  $x < 2 : ∣ x - 2∣ = - (x - 2) \Rightarrow \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = - 1; x > 2 : \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = 1$
2. 左右で異なる値になります。
  
  $x \to 2^{-} lim f (x) = - 1 \neq = 1 = x \to 2^{+} lim f (x)$
解答

左極限は−1、右極限は1なので、極限は存在しません。f(2)をどんな値にしても連続にはできません。跳躍不連続です。
無限大へ向かう極限と、左右で分かれる発散 3 ステップ
x → 1のときの1/(x − 1)²の振る舞いを調べ、1/(x − 1)と比べましょう。

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1. 代入すると、分母が0になります。有限の極限にはならないので、どちらの向きに発散するかを調べます。
  
  $\frac{1}{( 1 - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{0}$
2. 分母の平方は左右どちらでも正で、0に近づきます。そのため分数の値は左右とも大きくなり、距離が10⁻³の時点ですでに1,000,000です。
  
  $(x - 1)^{2} > 0 (x \neq = 1), x = 1 \pm 1 0^{- 3} : \frac{1}{1 0 ^{- 6}} = 1 0^{6}$
3. 左右とも+∞に発散するので、極限を+∞と書きます。平方を外すと、x − 1の符号が1を境に変わり、左右は逆向きに発散します。
  
  $x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = + \infty; x \to 1^{\mp} lim \frac{1}{x - 1} = \mp \infty$
解答

1/(x − 1)²は左右とも+∞に発散します。1/(x − 1)は左で−∞、右で+∞に発散するため、無限大への発散という意味でも極限は存在しません。どちらの関数も1では定義されず、そこで連続ではありません。
はさみうちの原理 3 ステップ
x → 0のときのx² sin(1/x)の極限を求めましょう。

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1. sin(1/x)は0の近くで振動し続け、極限をもちません。そのため、積の極限をそれぞれの極限の積として求めることはできません。ただし、sin(1/x)の値には上下の限界があります。
  
  $- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1 (x \neq = 0)$
2. 各辺に、負にならないx²を掛けます。
  
  $- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2}$
3. 上下の式がともに0に近づくので、その間にはさまれた関数も0に近づきます。
  
  $x \to 0 lim (- x^{2}) = x \to 0 lim x^{2} = 0 \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$
解答

極限値は0です。振動は際限なく速くなりながら続きますが、その振れ幅は0に向かって縮んでいきます。
連続になるように定数を決める 2 ステップ
x < 2ではf(x) = kx + 1、x ≥ 2ではf(x) = x²とします。fが2で連続になるようにkを求めましょう。
解答を表示
1. 2で連続になるには、左右の極限がともにf(2)に一致する必要があります。右極限とf(2)は、どちらも4です。
  
  $x \to 2^{-} lim (k x + 1) = 2 k + 1, x \to 2^{+} lim x^{2} = 4 = f (2)$
2. 左極限も同じ値になるようにします。
  
  $2 k + 1 = 4 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$
解答

k = 3/2です。それ以外のkでは、グラフは2で跳びます。
無限遠での極限 2 ステップ
x → ∞のときの(3x² + 1)/(2x² − x)の極限を求めましょう。
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1. 分母で次数が最も高いx²で、分子と分母を割ります。
  
  $\frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3 + \frac{1}{x ^{2}}}{2 - \frac{1}{x}}$
2. 分母にxを含む項は、どれも0に近づきます。
  
  $\frac{1}{x} \to 0, \frac{1}{x ^{2}} \to 0 \Rightarrow x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3}{2}$
解答

極限値は、最高次の係数の比である3/2です。グラフは水平な漸近線y = 3/2をもちます。
任意のεに対してδを与え、sin x / x → 1を証明する 5 ステップ
任意のεに対してδを具体的に与え、sin x / x → 1を証明しましょう。また、表の有効な二行の値を、表示を見る前に予測しましょう。関数はf(x) = sin(x)/x、近づく先はx → 0です。

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1. 正弦関数の級数をxで割れるのはx ≠ 0のときです。極限で調べる範囲では、いつでもこの変形ができます。得られる式にはxの偶数乗しか現れません。そのため、表の左の列と右の列は、どの行でもすべての桁が一致します。
  
  $\frac{sin x}{x} = \frac{1}{x} (x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots) = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{x ^{4}}{120} - \dots$
2. ここでは二項で十分です。x⁴の項はすでに8.33 × 10⁻⁷まで小さくなり、小数第6位には影響しません。
  
  $x = \pm 0.1 : 1 - \frac{1 0 ^{- 2}}{6} + \frac{1 0 ^{- 4}}{120} - \dots = 1 - 1.666667 \times 1 0^{- 3} + 8.33 \times 1 0^{- 7} = 0.998334$
3. xを10分の1にすると、1との差は100分の1になります。この差はxの二乗に比例して小さくなるのです。「極限が1である」よりも、ずっと詳しいことがわかります。表の二行だけでも、その関係を確かめられます。
  
  $x = \pm 0.01 : 0.999983, \frac{1 - f ( 0.1 )}{1 - f ( 0.01 )} = \frac{1.665834 \times 1 0 ^{- 3}}{1.666658 \times 1 0 ^{- 5}} = 99.95$
4. ただし、数値で確かめるだけでは証明になりません。級数の残り全体を評価しましょう。|x| ≤ 1では、各項の絶対値が小さくなる交代級数なので、1より後の部分の絶対値は、最初に省いた項の絶対値x²/6以下です。この不等式をxについて解けば、δを探す代わりに式で求められます。
  
  $\frac{sin x}{x} - 1 \leq \frac{x ^{2}}{6} (∣ x ∣ \leq 1) ⟹ δ (ε) = 6 ε (ε \leq \frac{1}{6})$
5. 平方根が現れる意味も読み取れます。εを1,000,000分の1に厳しくしても、xに求められる範囲は1,000分の1になるだけです。
  
  $ε = 1 0^{- 6} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 3}; ε = 1 0^{- 12} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 6}$
解答

表には、x = 0.1で0.998334、x = 0.01で0.999983と表示されます。どちらも、パネルを見る前に級数の四項から求めた値です。δ = √(6ε)を使えば、任意の許容誤差に対して、それを満たすxの範囲が平方根の計算だけで確実にわかります。さらに拡大しても、この保証が崩れることはありません。表で違いが見えなくなる理由も説明できます。xが一行ごとに10分の1になると、1との差は100分の1になります。三行目では、その差は1.6667 × 10⁻⁷で、小数第6位の単位の半分未満です。そのため、三行目とその下の五行はすべて1.000000と表示されます。実際には、x = 0.001での値は0.99999983です。この差を捨てずに調べてみましょう。最初の行の差1.665834 × 10⁻³を0.01で割ると、0.16658となり、1/6に近い値が現れます。よく知られた極限の奥に、もう一つ極限が隠れていました。級数には、その値も初めから現れています。

$δ (ε) = 6 ε, x \to 0 lim \frac{1 - \frac{s i n x}{x}}{x ^{2}} = \frac{1}{6}$

学習の道すじ

なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか

参考文献 (1)

When “heading towards” stopped being a way of speaking and became something you can check: J. V. Grabiner, "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", in Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History, 5–13. Mathematical Association of America, 2009.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。