有理関数エクスプローラー

有理関数は分子の根（零点）と分母の根（極）の間の緊張を明らかにします。入力が極に近づくにつれて関数は無限大に向かって爆発します。多項式の比は水平漸近線を厳密に決定します。

このツールは f(x)=k(x−z)/(x−p) を計算します。零点までの距離を極までの距離で割り、k 倍したものです。どんな値を選んでも、グラフの形はつねに同じ — y=1/x が描くのと同じ双曲線です。z と p を動かすと平行移動するだけで、k を変えると引き伸ばされ、二つの枝が開く向きが反転します。要点: y=1/x を制する者はすべてを制します。

(ax+b)/(cx+d) と書けば、零点一つと極一つをもつ関数はどれもメビウス変換 — 複素解析と双曲幾何を支配する写像です。無限遠点を一つ加える(リーマン球面)と、極はもはや破綻ではありません。x=p はその新しい点へ、x=∞ は水平漸近線 y=k へ写るだけです。球面上では関数はなめらかで可逆な全単射 — 「爆発」は平面地図の見かけにすぎません。