定常波エクスプローラー

両端が固定され、343 m/s で波を伝える 1 m の弦。その最低音を求め、次に逆算してその波の速さを生み出す張力と、この長さの鋼鉄弦では決して到達できない音高を求めよ。これは L = 1 m、v = 343 m/s、n = 1 とした両端固定の設定である。

1. 両端が固定されているため、残存するすべての振動パターンはそこに節を持たなければならない。これにより半波長の整数倍のみが許容され、その中間の状態は存在し得ない。これが、弦が連続的な範囲ではなく許容される音のリストを持つ理由である。

   $$L=n\frac{{\lambda }_n}{2}⟹{\lambda }_n=\frac{2L}{n}=\frac{2\times 1}{1}=2.0000\mathrm{m}$$

2. 振動数は波の速さを波長で割ったものであり、どちらの要因もここでは新たな事実ではない。境界条件が波長を決定し、媒質が速さを供給する。

   $$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{343}{2.0000}=171.50\mathrm{Hz}$$

3. 周期は振動数の逆数であるが、2L/v（1つのパルスが反対側の端まで往復する時間）でもある。定常波と同位相で戻ってくる往復運動であり、したがってその周期はその往復に要する時間である。

   $$T=\frac{1}{f_1}=5.831\times 10^{-3}\mathrm{s}=\frac{2L}{v}=\frac{2}{343}$$

4. 弦を伝わる波の速さは直接設定するものではなく、単位長さあたりの質量（線密度）に対する張力の比から求まる。0.30 mm の鋼線の場合、線密度は密度と断面積から導かれ、v = √(F_T/μ) を逆算すると弦には 65 N の力（6.7 kg の張力）がかかる。これは一般的なギターのプレーン鋼線として妥当なオーダーである。

   $$\mu =\rho \frac{\pi d^2}{4}=7850\times \frac{\pi (3.0\times 10^{-4}{)}^2}{4}=5.549\times 10^{-4}kg/m,v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu }}⟹F_T=\mu v^2=65.3\mathrm{N}$$

5. 次にその張力を断面積で割って応力を求めると、直系の項が消去されるのがわかる。μ と A の両方が d² を含むため、ある波の速さにおける応力は ρv² となり、物質のみに依存する。高炭素鋼線は 2.2 × 10⁹ Pa 付近で破断するため、応力の上限はそのまま波の速さの上限となる。

   $$\sigma =\frac{F_T}{A}=\frac{\rho A{v}^2}{A}=\rho v^2=9.24\times 10^8\mathrm{Pa};{\sigma }_{\max }\approx 2.2\times 10^9⟹v_{\max }=\sqrt{\frac{{\sigma }_{\max }}{\rho }}=529m/s,f_{\max }=\frac{v_{\max }}{2L}=265\mathrm{Hz}$$