Simulador de órbitas de Kepler

Demonstre as leis de Kepler do movimento planetario. Ajuste o semieixo maior, la excentricidade e a massa central para animar a órbita e ver o vetor velocidade e os setores de áreas iguais.

Exemplo resolvido — Simulador de órbitas de Kepler

Velocidade no periélio	45.5 km/s
Velocidade no afélio	19.5 km/s

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

A lei das áreas é o momento angular disfarçado 🖖

A equação de Kepler M = E − e sin E não possui solução analítica fechada para a anomalia excêntrica E dada a anomalia média M. Por séculos, isso foi um grande obstáculo computacional. Em simulações modernas, resolvemo-la iterativamente usando métodos numéricos como Newton-Raphson. Normalmente converge em 3 a 5 iterações, tornando a computação numérica uma ferramenta essencial para a mecânica celeste desde o século XVII.

O que a excentricidade realmente significa 🖖

A excentricidade é o único número que este controle ajusta: mede o quanto uma órbita está esticada. Com e = 0 você obtém um círculo perfeito; ao aproximá-la de 1, a elipse se alonga até a trajetória de um cometa, com a estrela deslocada em um dos focos, nunca no centro. O surpreendente: a órbita da Terra tem e = 0.017, quase um círculo. As estações vêm da inclinação do eixo terrestre, não da distância variável ao Sol.

Por que a elipse se fecha perfeitamente 🖖

O planeta refaz eternamente a mesma elipse: nunca deriva para uma roseta que gira lentamente. Isso não é automático. O teorema de Bertrand prova que apenas duas leis de força fazem órbitas ligadas se fecharem após uma única volta: a gravidade do inverso do quadrado (1/r²) e a força harmônica de mola (∝ r). Qualquer outra lei de potência deixa órbitas que nunca se repetem por completo. A elipse limpa e fechada é uma impressão digital da forma exata 1/r² da gravidade.

Problemas resolvidos na íntegra

Uma órbita com e = 0,4 em torno de uma estrela de massa solar 5 passos
Uma órbita tem a = 1 AU e e = 0.4 em torno de uma estrela de massa solar. Encontre a velocidade em ambas as extremidades e, em seguida, encontre a grandeza que permanece a mesma ao longo de todo o percurso.
1. Uma elipse com semieixo maior a e excentricidade e atinge o ponto mais próximo em a(1−e) e o mais distante em a(1+e). Esses dois raios são toda a geometria que o problema exige.
  
  $r_{p} = a (1 - e) = 0.6 AU, r_{a} = a (1 + e) = 1.4 AU$
2. A equação da força viva (vis-viva) dá a velocidade em qualquer raio a partir apenas do raio e do semieixo maior. Nada relativo à massa do corpo em órbita entra na equação, e nada sobre onde ele começou.
  
  $v = μ (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$
3. Calcule em ambas as extremidades. O visualizador acima mostra exatamente estes dois números para esta órbita, e fá-lo executando esta mesma equação em vez de simular seja o que for.
  
  $v_{p} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 + e}{1 - e} = 45.5 km/s, v_{a} = \frac{μ}{a} \cdot \frac{1 - e}{1 + e} = 19.5 km/s$
4. Agora calcule a razão e veja a massa da estrela ser cancelada. A razão de velocidades depende da excentricidade e de mais nada — nem de a, nem da estrela. Um cometa com e = 0.99 chega 199 vezes mais rápido do que quando parte da extremidade distante.
  
  $\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} = \frac{1.4}{0.6} = 2.333$
5. Essa razão é uma lei de conservação disfarçada. Multiplique cada velocidade pelo seu raio e os dois produtos são iguais: o momento angular por unidade de massa é constante, pelo que o que a órbita ganha em distância tem de prescindir em velocidade.
  
  $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a} ⟹ 0.6 \times 45.5 = 1.4 \times 19.5 = 27.3$
Resposta

45.5 km/s no periélio, 19.5 km/s no afélio, uma razão de exatamente 2.333 = (1+e)/(1−e). Ambos os produtos de raio por velocidade resultam em 27.3, que é a segunda lei de Kepler escrita como um número: a regra das “áreas iguais em tempos iguais” é apenas rv = constante. É por isso que os cometas passam quase todo o tempo na parte exterior de uma órbita e cruzam o sistema interior em semanas — um facto sobre área, não sobre a gravidade mudar de intensidade.

$\frac{v _{p}}{v _{a}} = \frac{1 + e}{1 - e} (the constant is L = m r v)$
Fração do ano que um planeta passa a arrastar-se pela metade mais distante 6 passos
O painel dá à órbita um período de 1,000 anos e coloca o periélio a 0,6000 UA contra 1,400 no afélio. Anima o planeta a rastejar pela metade distante e nunca diz quanto tempo lá passa. Calcule-o — como fração do ano, apenas a partir da excentricidade.
1. Comece pelo que está impresso. As duas absides ficam em a(1−e) e a(1+e), portanto esta órbita afasta-se mais do dobro do que se aproxima.
  
  $T = a^{3/2} = 1.000, r_{p} = a (1 - e) = 1.00 (1 - 0.400) = 0.6000, r_{a} = a (1 + e) = 1.400$
2. A segunda lei de Kepler é aqui a ferramenta toda, e é uma afirmação sobre áreas, não sobre distâncias: o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais. O tempo passado é área varrida, e mais nada.
  
  $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = const ⟹ Δ t \propto A$
3. Corte a elipse pelo eixo menor. As duas metades têm a mesma área — mas o Sol não está no centro, está num foco, desviado de c = ae. Visto dali, a metade distante é a semielipse mais o triângulo entre o foco e esse corte.
  
  $A_{f} = \frac{1}{2} π ab + \frac{1}{2} (2 b) (c), c = a e$
4. Divida pela área total e quase tudo se cancela. Desaparecem tanto a como b, e resta um resultado espantosamente limpo: a fração é meio mais a excentricidade a dividir por π.
  
  $\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{b c}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π}$
5. Introduza a excentricidade desta órbita. Quase 63 % do ano decorre na metade exterior — o planeta não é apenas mais lento lá fora: passa lá dois terços da vida.
  
  $e = 0.400 : \frac{1}{2} + \frac{0.400}{π} = 0.5000 + 0.1273 = 0.6273$
6. Agora a da Terra, que é apenas 0,0167.
  
  $e = 0.0167 : \frac{1}{2} + 0.00532 = 0.50532, 2 (0.00532) (365.25) = 3.88 d$
Resposta

A metade mais distante ocupa ½ + e/π do período: 62,73% na órbita apresentada no ecrã e 50,53% no caso da Terra. Este último valor é pequeno, mas tem consequências: são mais 3,88 dias do ano passados no lado mais distante do eixo menor do que no lado mais próximo. Essa mesma excentricidade, considerada segundo outra linha de divisão, explica por que as estações do calendário não têm a mesma duração. A Terra passa pelo periélio no início de janeiro; por isso, no hemisfério norte, o inverno corresponde à metade rápida da órbita e dura cerca de cinco dias menos do que o verão. A dedução não recorreu ao período, à massa nem às dimensões da órbita. Apenas à forma.

$\frac{A _{f}}{π ab} = \frac{1}{2} + \frac{e}{π} : e = 0.400 \Rightarrow 62.73%, e = 0.0167 \Rightarrow 50.53%$

Percurso de aprendizagem

Órbitas a partir de dois números

Conduz a Vis-viva

Referências (2)

Kepler working from Tycho Brahe’s observations, and the laws themselves: J. Kepler, Astronomia Nova, 1609 — translated by W. H. Donahue as New Astronomy, Cambridge University Press, 1992. ISBN 978-0-521-30131-2.
Equal areas as conservation of angular momentum: H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., §3.2. Addison-Wesley, 2002. ISBN 978-0-201-65702-9.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-03

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Problemas de exemplo

Terra - Terra: órbita quase circular, e=0.017
Marte - Marte: excentricidade perceptível, e=0.093
Mercúrio - Mercúrio: a maior excentricidade entre os planetas, e=0.206
Cometa Halley - Cometa Halley: altamente excêntrico, e=0.967