Construtor de séries de Fourier

Cada vetor rotativo contribui com uma componente senoidal no índice harmônico k. Somando os vetores ponta a ponta forma-se a soma parcial f_N(x). À medida que N cresce, o conteúdo de alta frequência afia os cantos, enquanto perto das descontinuidades de salto permanece um sobressinal de Gibbs limitado.

A ideia de Fourier: qualquer sinal periódico, por mais irregular que seja, é uma soma de ondas senoidais puras cujas frequências são múltiplos inteiros de uma fundamental. Os controles apenas escolhem quantos desses tons ingredientes empilhar. Numa onda quadrada surgem só harmônicos ímpares, cada um mais fraco que o anterior: o 3.º carrega 1/3 da amplitude da fundamental, e o 5.º apenas 1/5. Mais termos afinam a soma rumo à forma alvo.

Perto de um salto, a soma parcial ultrapassa o alvo em cerca de 8.95% da altura do salto — e esse pico nunca encolhe, por mais harmônicos que você some; apenas fica mais estreito. O físico Albert Michelson deparou com ele em 1898, quando seu analisador harmônico mecânico insistia em desenhar picos nas bordas de uma onda quadrada, e ele suspeitou de uma falha do aparelho. J. Willard Gibbs provou que a máquina estava certa: o sobressinal é matemática real. O mesmo 'ringing' assombra imagens JPEG perto de bordas nítidas.