Partículas carregadas num campo magnético

Escolha uma partícula, a tensão que a acelerou e a intensidade do campo que ela atravessa. A página calcula a órbita, o período de uma volta incluindo os efeitos relativistas e o que a mesma tensão e o mesmo campo fazem a outras cinco partículas.

Exemplo resolvido — Partículas carregadas num campo magnético

Energia de repouso	938,272 MeV
Energia cinética adquirida com a tensão	10,00 keV
Fator de Lorentz γ	1,000011
Velocidade	1,384×10⁶ m/s
Momento linear	2,315×10⁻²¹ kg·m/s
Raio da órbita	9,633 mm
Período não relativista	43,73 ns
Período orbital	43,73 ns

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Partículas carregadas num campo magnético

Uma carga q que se move com velocidade v num campo magnético B fica sujeita à componente magnética da força de Lorentz, F = q v × B. A força é perpendicular à velocidade e ao campo e, quando estes são perpendiculares entre si, tem módulo qvB. Uma força sempre perpendicular ao movimento não realiza trabalho: a velocidade mantém o módulo e muda apenas de direção, produzindo uma trajetória circular. O raio é r = p/(|q|B), isto é, o momento dividido pelo produto do módulo da carga pela intensidade do campo; cada volta demora T = 2πγm/(|q|B). A velocidades muito inferiores à da luz, γ é igual a 1 até muitas casas decimais e o período não depende da velocidade. O seu inverso, qB/(2πm), é a frequência ciclotrónica.

O que significa cada símbolo

q: a carga da partícula, em coulombs: um múltiplo inteiro da carga elementar e = 1,602176634×10⁻¹⁹ C. O sinal determina o sentido da rotação
B: o campo magnético, em teslas, uniforme em toda a trajetória da partícula
r: o raio da órbita. É determinado pelo momento, não apenas pela velocidade ou pela energia
T_0: o período não relativista, 2πm/(|q|B)
γ: o fator de Lorentz, 1 + K/(mc²). O período verdadeiro é γT₀

Pressupõe: Admite-se um campo uniforme e constante e uma partícula que se move exatamente na perpendicular. Qualquer componente da velocidade paralela ao campo permanece inalterada e transforma o círculo numa hélice. Admite-se também o vácuo, para que nada abrande a partícula. Considera-se que ela não emite radiação, embora uma carga em movimento circular a emita; na predefinição do eletrão, a energia radiada por volta é inferior a um milionésimo de eletrão-volt. À energia de um gigaeletrão-volt num campo intenso, a perda já é relevante, razão pela qual os sincrotrões de eletrões têm de repor continuamente essa energia. Os iões de urânio são átomos com uma só carga; a sua massa é a massa atómica menos a de um eletrão.
Falha quando: A relatividade já está incluída, portanto uma partícula rápida não invalida a página. A limitação está no íman: num dispositivo real, o campo enfraquece junto à extremidade e, num ciclotrão, tem de ser moldado para manter o feixe focado e próximo da ressonância. É esse o tema do artigo de Rose de 1938. Num ciclotrão em funcionamento, o campo elétrico no intervalo entre os elétrodos acrescenta energia a cada meia volta, pelo que a trajetória real é uma espiral formada por semicírculos de raio crescente. Além disso, os numerosos iões de um feixe repelem-se e dispersam-no, um problema tão importante que aparece no próprio título do relato de William Parkins sobre o calutrão usado durante a guerra.

O dobro da velocidade, o dobro do raio, os mesmos 43,73 ns 🖖

Prima Protão, 10 kV e depois Protão, 40 kV. Com uma energia 4 vezes maior, a velocidade duplica, tal como o raio da circunferência, que passa de 9,633 para 19,27 mm. Cada volta demora 43,73 ns nos dois casos. A velocidade cancela-se: o raio é mv/(qB), o período é 2πr/v e resta 2πm/(qB), sem qualquer v. É neste cancelamento que assenta o artigo de 1932 de Ernest Lawrence e Stanley Livingston sobre o ciclotrão. Como um protão mais rápido não demora menos tempo a percorrer a sua semicircunferência, uma radiofrequência fixa aplicada ao intervalo entre dois elétrodos ocos continua a dar-lhe o impulso no momento certo enquanto descreve uma espiral para fora. Assim produziram protões de 1,22 MeV com um tubo ao qual nunca foram aplicados mais de 4 000 V. No painel com três órbitas, os pontos assinalam cada quarto do período clássico; a estas energias, os pontos das três circunferências ficam sobre os mesmos quatro raios.

A 20 MeV, o protão chega 2,132% atrasado por volta e a frequência fixa perde-o 🖖

O período exato é 2πγm/(qB), e γ aumenta com a energia. Em Protão, 20 MV, γ = 1,021316, pelo que cada volta demora 44,66 ns em vez de 43,73, embora a radiofrequência motriz continue ajustada ao protão lento. O protão chega um pouco mais tarde ao intervalo entre os elétrodos a cada volta. O atraso acumula-se até o campo apontar no sentido errado quando ele passa. Para um eletrão, a margem útil é diminuta. A 20 kV, o período já é 3,914% maior; em Eletrão, 1 MV, γ = 2,956951 e uma volta demora quase três vezes o valor não relativista. O segundo painel representa T ÷ T₀ para quatro partículas. Cada curva começa a subir quando a energia cinética atinge alguns por cento da energia de repouso: dezenas de keV para um eletrão e dezenas de MeV para um protão. Em 1938, M. E. Rose calculou que, com 50 kV nos elétrodos e um campo cuidadosamente moldado, um ciclotrão de frequência fixa poderia acelerar protões até 13,9 MeV, ou 14,9 com um campo mais complexo. O problema resolvido abaixo dá uma estimativa mais simples desse limite e mostra por que ele cresce apenas com a raiz quadrada da tensão.

O urânio-238 tem mais 1,28% de massa, mas a órbita é apenas 0,638% maior 🖖

Sob a mesma tensão, todas as partículas adquirem a mesma energia por unidade de carga. Para uma partícula lenta, o momento é √(2mK); mantendo a carga, o raio é proporcional à raiz quadrada da massa. Em Urânio-235, 35 kV, o raio da órbita é 1,2145 m. Na tabela ao lado, o urânio-238, com 238,0502 u contra 235,0434, descreve uma órbita de raio 1,2223 m: a massa é 1,28% maior e o raio, 1,00638 vezes maior. Num instrumento que desvia o feixe por meio círculo até um coletor, os dois isótopos chegam separados por 15,5 mm, o dobro da diferença entre os raios. É toda a separação que o íman proporciona com estes parâmetros, segundo o método usado pelos calutrões durante a guerra para separar urânio-235.

Problema resolvido na íntegra

Até onde pode um ciclotrão de frequência fixa acelerar um protão? 6 passos
Um ciclotrão tem um íman de 1,5 T, elétrodos ocos com raio de 0,5 m e fornece 100 keV a um protão por volta. Determine a frequência de operação, a energia de um protão que alcance a borda e se uma frequência fixa consegue levá-lo até lá. Selecione Protão, 10 kV para conferir o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. A frequência é a frequência ciclotrónica de um protão lento, que a página apresenta a 10 kV:
  
  $f_{0} = \frac{q B}{2 π m} = \frac{1 . 602177 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 . 5}{2 π \times 1 . 672622 \times 1 0 ^{- 27}} = 22.87 MHz T_{0} = 43.73 ns$
2. Na borda, o raio é 0,5 m, logo o momento é qBR. Escrito como pc, corresponde a uma energia:
  
  $p c = q B R c = 1.602177 \times 1 0^{- 19} \times 1.5 \times 0.5 \times 2.997925 \times 1 0^{8} J = 224.84 MeV$
3. A energia cinética é a energia total menos a energia de repouso. Sem relatividade, obteríamos 26,94 MeV, um valor 1,4% demasiado alto:
  
  $K = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2} - m c^{2} = 224.8 4^{2} + 938.2 7^{2} - 938.27 = 26.56 MeV \frac{( p c ) ^{2}}{2 m c ^{2}} = 26.94 MeV$
4. A essa energia, γ vale 1,028312, pelo que uma volta junto à borda demora mais 2,83% do que uma volta no centro:
  
  $γ = 1 + \frac{26 . 56}{938 . 27} = 1.028312 \Rightarrow T_{rim} = 1.028312 T_{0}$
5. Ganhando 100 keV por volta, o protão precisa de 266 voltas para lá chegar. Na volta k, o atraso expresso como fração de volta é γ − 1 = kΔE/mc²; somado volta após volta, totalizaria 3,78 ciclos completos da radiofrequência quando o protão alcançasse a borda:
  
  $n = \frac{26 . 56}{0 . 1} \approx 266 k = 1 \sum n \frac{k Δ E}{m c ^{2}} = \frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{0 . 1}{938 . 27} \times \frac{266 \times 267}{2} = 3.78$
6. O protão só é acelerado enquanto o campo no intervalo entre os elétrodos aponta para a frente, durante metade de cada ciclo. Deixa, portanto, de ganhar energia quando o atraso acumulado atinge meio ciclo, isto é, uma fase de π:
  
  $\frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow n (n + 1) = \frac{938 . 27}{0 . 1} = 9383 \Rightarrow n = 97, K = 9.7 MeV \approx m c^{2} Δ E = 9.69 MeV$
Resposta

O íman consegue manter um protão de 26,56 MeV na borda; com frequência fixa e 100 keV por volta, pode acelerá-lo apenas até cerca de 9,7 MeV, momento em que o protão perde o sincronismo. Se a energia por volta for quadruplicada para 400 keV, o limite apenas duplica, para 19,2 MeV, pois varia como √(mc²·ΔE). Esta estimativa, bastante generosa, atribui ao protão os 100 keV completos em todas as voltas. O cálculo de Rose de 1938, com um campo moldado, chegou a 13,9 MeV usando 50 kV nos elétrodos e encontrou a mesma lei da raiz quadrada. As máquinas que alcançaram energias superiores reduzem a frequência à medida que o protão ganha energia, compensando o γ que uma frequência fixa não contempla.

$K_{m a x} \approx m c^{2} Δ E : Δ E = 100 keV \Rightarrow 9.7 MeV, Δ E = 400 keV \Rightarrow 19.2 MeV$

Referências (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.