Analisador de ressonância RLC

Defina os valores de R, L e C para ver a frequência de ressonância, o fator Q e a curva de impedância.

Valores iniciais — Analisador de ressonância RLC

Resistência R (Ω)	100
Indutância L (H)	0.01
Capacitância C (F)	0.00000253

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

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Lição

A teoria — Analisador de ressonância RLC

Um circuito RLC em série está em ressonância à única frequência em que a reactância do indutor e a reactância do condensador são iguais e opostas, anulando-se por isso exatamente. A essa frequência, o circuito comporta-se como se apenas o resistor lá estivesse.

O que significa cada símbolo

R: resistência, em ohms. O único elemento que dissipa energia e, portanto, a única coisa que limita Q.
L: indutância, em henrys. A sua reactância X_L = 2πfL aumenta com a frequência.
C: capacidade, em farads. A sua reactância X_C = 1/(2πfC) diminui com a frequência — pelo que as duas curvas se cruzam num único ponto.
Q: o fator de qualidade — quão aguda é a ressonância. Também fixa a largura de banda, BW = f₀/Q.

De onde vem a fórmula

A ressonância é, por definição, a frequência à qual as duas reactâncias coincidem: X_L = X_C, ou seja, 2πf₀L = 1/(2πf₀C).
Multiplique ambos os lados por 2πf₀C e divida por L, o que resulta em (2πf₀)² = 1/(LC).
Extraia a raiz quadrada e divida por 2π: f₀ = 1/(2π√(LC)). Note o que está ausente — R não aparece de todo, pelo que a resistência altera a nitidez do pico, mas nunca onde este se situa.

Como ler o que vê

Oito linhas, cada uma apresentada ao lado da expressão que a originou, para que a aritmética possa ser verificada em vez de apenas aceite. As quatro primeiras são aquelas a que a dedução acima chega: frequência de ressonância f₀, frequência angular ω₀, fator de qualidade Q = (1/R)√(L/C) e largura de banda BW = f₀/Q. Com os componentes predefinidos — R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2.53 µF —, os valores lidos são 1.00 kHz, 6287 rad/s, 0.6287 e 1.59 kHz. As quatro seguintes descrevem o mesmo circuito de outros ângulos: as duas frequências de 3 dB, 483 Hz e 2.07 kHz, o coeficiente de amortecimento ζ = 0.7953 e a impedância série mínima — 100 Ω, ou seja o próprio R, porque em ressonância as reatâncias cancelam-se e não sobra mais nada. O esquema indica onde a saída é medida: aos terminais de R.

Pressupõe: Componentes ideais em regime permanente sinusoidal — uma resistência pura, uma indutância pura e uma capacidade pura, alimentados durante tempo suficiente para que os fenómenos transitórios se tenham extinguido. Nada aqui descreve o comportamento do circuito nos primeiros ciclos após a ligação.
Falha quando: Os valores predefinidos mal apresentam ressonância, e a leitura no ecrã mostra-o se interpretar as duas frequências em conjunto: Q = 0.6287 dá uma largura de banda de 1.59 kHz, que é mais larga do que a própria frequência central de 1,00 kHz — não há nenhum pico digno desse nome. Uma ressonância aguda exige um R pequeno em comparação com √(L/C). Os indutores reais também possuem a sua própria resistência de enrolamento, que se adiciona a R e limita o Q que qualquer montagem física pode alcançar.

Q conta quantas vezes a energia vai e vem antes de se tornar calor 🖖

Q é uma medida geral da energia armazenada dividida pela energia perdida por ciclo. Em um circuito RLC em série, uma resistência baixa permite que a energia oscile muitas vezes entre o campo magnético do indutor e o campo elétrico do capacitor antes de virar calor. A mesma ideia aparece em relógios atômicos: uma linha espectral estreita significa um Q enorme, permitindo que o oscilador distinga erros de frequência extremamente pequenos.

O que é realmente a ressonância 🖖

Todo par bobina–capacitor tem uma frequência natural, f₀ = 1/(2π√(LC)), na qual a energia oscila de um lado para o outro como uma criança impulsionando um balanço. Ao excitar o circuito em f₀, as reatâncias de L e C se cancelam e resta apenas a resistência, de modo que a corrente atinge um pico agudo. Repare que f₀ depende só de L e C: o controle de resistência afia ou alarga o pico, mas nunca o desloca.

Tensão que supera a própria fonte 🖖

Na ressonância, a fonte só "enxerga" a resistência, mas as tensões na bobina e no capacitor sobem cada uma até Q vezes a entrada e, por estarem defasadas em 180°, cancelam-se exatamente. Excite um circuito de Q = 50 com 10 V e o capacitor verá 500 V. Essa magnificação de tensão é como transmissores de faísca e bobinas de Tesla alcançam tensões enormes, e pode destruir silenciosamente um capacitor dimensionado apenas para a tensão de entrada.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

Os valores predefinidos são L = 10 mH e C = 2.53 µF, dando f₀ = 1.00 kHz e Q = 0.6287. Duplique a indutância para 0.02 e reduza a capacitância a metade, 1.265e-6. Preveja o efeito de cada uma.

Mostrar a resposta

f₀ não se mexe — continua em 1.00 kHz — enquanto Q duplica para 1.257 e a largura de banda cai de 1.59 kHz para 796 Hz. f₀ depende do produto LC, que deixou intacto; Q = (1/R)√(L/C) depende da razão, que quadruplicou. Um só par de componentes, dois botões independentes: troque L por C para afinar o pico sem o deslocar, ou altere ambos em conjunto para o deslocar sem lhe mudar a forma.
Reponha os componentes e baixe a resistência de 100 para 10. Seis das oito linhas mudam. Que duas não mudam?

Mostrar a resposta

f₀ e ω₀ — R não aparece em lado nenhum de f₀ = 1/(2π√(LC)). Todo o resto se mexe: Q de 0.6287 para 6.287, a largura de banda de 1.59 kHz para 159 Hz, o coeficiente de amortecimento de 0.7953 para 0.07953, e as duas frequências de 3 dB fecham-se em torno do pico imóvel — 924 Hz e 1.08 kHz em vez de 483 Hz e 2.07 kHz. A impedância série mínima segue R exatamente, de 100 para 10.0, porque em ressonância as reatâncias cancelam-se e só sobra a resistência.

Problema resolvido na íntegra

Frequência de ressonância de 100 Ω, 10 mH, 2,53 µF em série 6 passos
R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 2,53 µF em série. Determine a frequência de ressonância e o Q — e diga o que um Q inferior a 1 significa realmente para este circuito.
1. As reatâncias do indutor e do condensador têm sinais opostos, pelo que a uma determinada frequência se anulam exatamente e a impedância passa a ser puramente resistiva. Essa frequência é a definição de ressonância.
  
  $Z (ω) = R + j (ω L - \frac{1}{ω C}); ℑ Z = 0 ⟹ ω_{0} = \frac{1}{L C}$
2. Substitua. O produto LC é 2,53 × 10⁻⁸, e a sua raiz quadrada é aquilo de que tudo o resto depende.
  
  $ω_{0} = \frac{1}{0.01 \times 2.53 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{1.5906 \times 1 0 ^{- 4}} = 6287 rad/s, f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π} = 1001 Hz$
3. O Q compara a reatância na ressonância com a resistência. A forma conveniente √(L/C)/R não necessita de qualquer frequência, e ζ é apenas metade do seu recíproco.
  
  $Q = \frac{ω _{0} L}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{1}{100} 3953 = 0.6287, ζ = \frac{1}{2 Q} = 0.7953$
4. A largura de banda é a frequência central dividida por Q, e os dois pontos de corte a −3 dB não são simétricos em relação a ela — são simétricos no logaritmo, pelo que a sua média geométrica é f₀.
  
  $BW = \frac{f _{0}}{Q} = 1592 Hz; f_{1, 2} = f_{0} (1 + \frac{1}{4 Q ^{2}} \mp \frac{1}{2 Q}) = 483 and 2074 Hz$
5. Leia agora o Q em termos de energia e não de largura de banda. As duas definições coincidem, e a definição energética é a que diz se haverá ou não oscilação.
  
  $Q = 2 π \frac{energy stored}{energy lost per cycle} < 1 ⟹ it loses more each cycle than it holds$
6. Por fim, trabalhe no sentido inverso, partindo de um requisito real até à resistência que ele implica.
  
  $AM at 1 MHz, 9 kHz spacing : Q = \frac{f _{0}}{BW} = 111 ⟹ R = \frac{1}{Q} \frac{L}{C} = 0.57 Ω$
Resposta

Q = 0,63, o que significa que o circuito perde mais energia por ciclo do que aquela que armazena. Essa é a interpretação física de Q: 2π vezes a armazenada sobre a perdida por ciclo. Abaixo de 1 já não resta nada com que oscilar, e a largura de banda de 1,59 kHz em torno de um centro de 1,00 kHz diz o mesmo no domínio da frequência — a banda de passagem é mais larga do que a frequência na qual está centrada. Isto é um filtro, não um ressonador, e a razão é o resistor. Mantendo os mesmos L e C e o mesmo centro de 1 kHz, exigir o Q ≈ 111 de que necessita a separação de estações AM espaçadas de 9 kHz exige que a resistência em série total desça para 0,57 Ω, o que é inferior à resistência do próprio fio da bobina. Essa é a verdadeira razão pela qual os andares de entrada de rádio utilizam transformadores sintonizados em vez de um resistor, um indutor e um condensador em linha.

$f_{0} = 1.00 kHz, Q = 0.6287, BW = 1.59 kHz ⟹ a filter, not a resonator$

Percurso de aprendizagem

Resistência, depois reatância

Referências (1)

Series resonance, the quality factor and bandwidth as set out in a standard circuits text: J. W. Nilsson & S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-13

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Problemas de exemplo

Rádio AM - Q = 31,62 parece bastante seletivo, até repararmos na largura de banda logo ao lado: 31,8 kHz, numa portadora de 1,01 MHz. As estações AM americanas distanciam-se 10 kHz entre si e as europeias 9 kHz, pelo que este circuito deixa passar três canais vizinhos de uma só vez. Um único circuito LC sintonizado não faz um rádio — é por este motivo que os receptores convertem o sinal para uma frequência intermediária fixa e realizam a verdadeira filtragem nessa fase.
Filtro de áudio - Os pontos de meia potência marcam 483 Hz e 2,07 kHz, e 1,00 kHz não fica a meio de ambos — o ponto médio é 1.277 Hz. Trata-se da média geométrica: √(483 × 2.070) = 999,9, o 1,00 kHz impresso no painel. Qualquer pico de ressonância situa-se no centro geométrico da sua própria banda passante, o que explica por que razão as respostas dos filtros são traçadas num eixo logarítmico e porque a oitava, não o hertz, constitui a unidade natural nesta situação.
Q alto (agudo) - Circuito de alto Q: pico de ressonância acentuado em ~5 kHz
Superamortecido - Q = 0,01000 e o coeficiente de amortecimento indica 50,00 — cinquenta vezes o amortecimento crítico. A largura de banda totaliza 159 kHz em torno de um centro de 1,59 kHz, logo, a banda passante é cem vezes mais larga do que a frequência na qual se encontra nominalmente centrada, atirando o ponto inferior de meia potência para os 15,9 Hz. Nada aqui ressoa; a resistência R sufocou completamente o circuito.