Simulador de refração — Lei de Snell

A luz incide na água a 30°. Encontre para onde ela vai e quanto é refletido — depois encontre o ângulo em que um peixe não consegue ver nada do exterior. n₁ = 1.00 (ar), n₂ = 1.33 (água).

1. A refração é uma afirmação sobre a componente da onda ao longo da superfície: ela deve coincidir de ambos os lados, caso contrário as frentes de onda rasgar-se-iam. Essa condição de correspondência é a lei de Snell, e decorre igualmente do princípio de Fermat.

   $$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$$

2. Calcule o ângulo transmitido. O simulador acima mostra isto, e o raio desvia-se em direção à normal porque está a entrar no meio mais lento.

   $$\sin {\theta }_2=\frac{1.00\sin 30^{\circ }}{1.33}=0.3759⟹{\theta }_2=22.08^{\circ }$$

3. Quanto se reflete é uma questão à parte que a lei de Snell não consegue responder — exige as equações de Fresnel, que tratam as duas polarizações de forma diferente.

   $$R_s={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_1-n_2\cos {\theta }_2}{n_1\cos {\theta }_1+n_2\cos {\theta }_2}\right|}^2,R_p={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_2-n_2\cos {\theta }_1}{n_1\cos {\theta }_2+n_2\cos {\theta }_1}\right|}^2$$

4. A luz não polarizada é uma mistura equitativa, por isso faça a média entre elas. A ferramenta apresenta este valor e, a 2%, é a razão pela qual uma janela é uma janela e não um espelho.

   $$R=\frac{1}{2}(R_s+R_p)=2.11\%$$

5. Agora inverta o trajeto. Indo no sentido oposto — da água para o ar — existe um ângulo a partir do qual a equação exige que sin θ₂ > 1, o que não tem solução.

   $$\text{water}\to \text{air}:{\theta }_c=\arcsin \frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{water}}}=\arcsin \frac{1.00}{1.33}=48.75^{\circ }$$

O painel desvia o raio para 22,08° e indica uma refletância de 2,11 %. Esse valor é a média de dois números que não mostra em separado — e num ângulo específico um deles é exatamente zero. Encontre-o.

1. Comece pela refração que o painel imprime, diretamente da lei de Snell a 30° para dentro de água.

   $$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2:{\theta }_2=\arcsin \left(\frac{1.00}{1.33}\sin 30^{\circ }\right)=22.08^{\circ }$$

2. Olhe agora para o que a refletância realmente é. A luz tem duas polarizações relativamente à superfície, refletem-se em medidas diferentes, e 2,11 % é a média delas. Só vale a pena tirar médias quando as duas são comparáveis.

   $$R=\frac{R_s+R_p}{2}=2.11\%,R_s\ne R_p$$

3. Escreva o coeficiente de Fresnel da polarização paralela e pergunte quando o seu numerador se anula. É uma pergunta algébrica honesta, com resposta exata.

   $$R_p={\left|\frac{n_2\cos {\theta }_1-n_1\cos {\theta }_2}{n_2\cos {\theta }_1+n_1\cos {\theta }_2}\right|}^2=0⟺n_2\cos {\theta }_1=n_1\cos {\theta }_2$$

4. Essa condição rearranja-se em algo notável: verifica-se exatamente quando os raios refletido e refratado saem perpendiculares entre si. Substituindo, tudo se reduz a uma única tangente.

   $${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }⟹\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_1⟹\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$$

5. Meta a água. A 53,06° a componente paralela não reflete absolutamente nada, e tudo o que ressalta da superfície fica polarizado na outra direção.

   $${\theta }_B=\arctan \left(\frac{1.33}{1.00}\right)=53.06^{\circ },{\theta }_2=90^{\circ }-53.06^{\circ }=36.94^{\circ }$$

6. Repare onde isso fica em relação ao outro ângulo especial que a ferramenta conhece — a reflexão total interna, que vive do outro lado da fronteira e num ângulo menor.

   $${\theta }_c=\arcsin \left(\frac{1.00}{1.33}\right)=48.75^{\circ }<{\theta }_B$$