Mapa de qui-quadrado e resíduos

Altere as contagens das células e veja a significância e os pontos críticos de resíduos se atualizarem imediatamente.

Exemplo resolvido — Mapa de qui-quadrado e resíduos

Estatística qui-quadrado	2.5943
Graus de liberdade	2
Valor-p	0.2733
Célula esperada mínima	8.5
r1, c2	0.8182
r2, c2	0.8182
r1, c3	0.2647
r2, c3	0.2647

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Os resíduos dizem qual célula quebrou o ajuste 🖖

O total do qui-quadrado resume a tabela inteira num único número, mas não mostra onde está a falta de ajustamento. O mapa de resíduos mostra. Abra Associação forte: χ² é 24,3415 com 2 graus de liberdade, e a maior contribuição individual vem da linha 1, coluna 1 — há 20 observações para 11,20 esperadas, o que representa 6,91 do total. O teste pressupõe ainda que cada frequência esperada seja, pelo menos, aproximadamente 5. Abra Dados esparsos: nenhuma das nove satisfaz esse requisito. A menor é 0,13; essa célula, por si só, contribui com 65% da estatística, e o valor de p continua a parecer tentador: 0,0521.

Onde a associação realmente mora 🖖

Um único valor do qui-quadrado e o respetivo valor de p apenas indicam se existe alguma associação entre duas variáveis categóricas. É um veredicto de sim ou não. A informação decisiva está no mapa de resíduos padronizados: cada célula colorida revela as combinações específicas que ocorrem com frequência muito maior ou muito menor do que seria de esperar sob independência. Um resíduo positivo assinala uma combinação sobrerrepresentada; um resíduo negativo, uma combinação sub-representada. Procure as células com cores mais intensas, não as maiores frequências observadas.

A correção de Fisher que Pearson recusou 🖖

Os graus de liberdade mostrados aqui, (r−1)(c−1), vêm de uma amarga disputa estatística. Karl Pearson introduziu o teste de qui-quadrado em 1900, mas deduziu seus graus de liberdade do simples número de categorias. Em 1922, Ronald Fisher mostrou que cada frequência esperada estimada a partir das margens da própria tabela custa um grau de liberdade — por isso uma tabela r×c tem (r−1)(c−1), e não rc−1. Pearson rejeitou a correção pelo resto da vida, mas Fisher estava certo, e é a fórmula que cada tabela aqui usa.

QUI-QUADRADO — HÁ ASSOCIAÇÃO, E O TESTE É SEQUER VÁLIDO?

Em que caso de qui-quadrado você está?

O teste compara o observado com o que a independência teria produzido: esperado = total da linha × total da coluna ÷ total geral. A estatística soma as diferenças ao quadrado, e os resíduos padronizados dizem quais células a empurraram. Há duas perguntas a responder em ordem: primeiro se as frequências esperadas são grandes o bastante para o teste significar algo, e só depois se a associação é real.

Independência perfeita — a estatística é exatamente zero E = R_iC_j/n

Um χ² pequeno — o padrão cabe no que o acaso produz χ² < χ²_α

Um χ² grande — e os resíduos nomeiam as células responsáveis r = (O − E)/√E

Frequências esperadas pequenas demais — o teste não se aplica E ≥ 5

Independência perfeita — a estatística é exatamente zero

O que você sabe: Cada célula bate com a frequência esperada, então todo resíduo é zero e o qui-quadrado com ele. As linhas não dizem nada sobre as colunas.

Estatística: E = R_iC_j/n

Exemplo resolvido: Uma tabela 3×3 com todas as células em 8: cada frequência esperada também vale 8, χ² = 0 com 4 graus de liberdade, p = 1,000

Abrir este caso: Referência equilibrada

Independência perfeita — a estatística é exatamente zero. Cada frequência observada iguala a esperada, então nenhuma célula contribui com nada. Cada célula bate com a frequência esperada, então todo resíduo é zero e o qui-quadrado com ele. As linhas não dizem nada sobre as colunas. — Cada frequência observada iguala a esperada, então nenhuma célula contribui com nada.

Um χ² pequeno — o padrão cabe no que o acaso produz

O que você sabe: As frequências se afastam das esperadas, mas não mais do que o ruído amostral daria. O χ² fica abaixo do valor crítico e todos os resíduos são pequenos.

Estatística: χ² < χ²_α

Exemplo resolvido: Uma tabela 2×3 com 60 observações → χ² = 2,594 com 2 graus de liberdade, p = 0,273. O maior resíduo padronizado é −0,90.

Abrir este caso: Dependência fraca

Um χ² pequeno — o padrão cabe no que o acaso produz. As células se desviam um pouco do esperado, mas nenhuma se destaca. As frequências se afastam das esperadas, mas não mais do que o ruído amostral daria. O χ² fica abaixo do valor crítico e todos os resíduos são pequenos. — As células se desviam um pouco do esperado, mas nenhuma se destaca.

Um χ² grande — e os resíduos nomeiam as células responsáveis

O que você sabe: A estatística passa do valor crítico com folga. O que importa depois não é o valor p, e sim quais células o produziram, e a tabela de resíduos responde a isso diretamente.

Estatística: r = (O − E)/√E

Exemplo resolvido: A mesma forma 2×3 com 60 observações → χ² = 24,342 com 2 graus de liberdade, p = 0,000005, com resíduo padronizado de +2,63 na maior célula

Abrir este caso: Associação forte

Um χ² grande — e os resíduos nomeiam as células responsáveis. Duas células ficam bem acima do esperado e duas bem abaixo — a associação tem direção. A estatística passa do valor crítico com folga. O que importa depois não é o valor p, e sim quais células o produziram, e a tabela de resíduos responde a isso diretamente. — Duas células ficam bem acima do esperado e duas bem abaixo — a associação tem direção.

Frequências esperadas pequenas demais — o teste não se aplica

O que você sabe: O qui-quadrado é uma aproximação que precisa de frequências esperadas razoavelmente grandes. Quando são minúsculas, o valor p que ele reporta não é confiável, diga o que disser.

Estatística: E ≥ 5

Exemplo resolvido: Uma tabela 3×3 com apenas 8 observações → todas as 9 frequências esperadas ficam abaixo de 5, a menor sendo 0,13. χ² = 9,389 dá p = 0,052, e esse número não deveria ser usado.

Abrir este caso: Caso de alerta por esparsidade

Frequências esperadas pequenas demais — o teste não se aplica. Nove células, oito observações: as frequências esperadas são pequenas demais para aproximar. O qui-quadrado é uma aproximação que precisa de frequências esperadas razoavelmente grandes. Quando são minúsculas, o valor p que ele reporta não é confiável, diga o que disser. — Nove células, oito observações: as frequências esperadas são pequenas demais para aproximar.

Referências (2)

Insight block 3 — where the test came from: K. Pearson, "On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine 50(302), 157–175, 1900.
And the correction Pearson never accepted, which is the (r−1)(c−1) used here: R. A. Fisher, "On the Interpretation of χ² from Contingency Tables, and the Calculation of P." Journal of the Royal Statistical Society 85(1), 87–94, 1922. The DOI resolves to the publisher's 2018 digitisation of that volume.

Problema resolvido na íntegra

O teste completo e o valor-p para uma tabela 2×3 à mão 5 passos
Uma tabela 2×3 dá χ² = 2,5943 com 2 graus de liberdade e um valor p de 0,2733. Resolva todo o teste à mão — incluindo o valor p, que para este número de graus de liberdade não necessita de tabela alguma.
1. As contagens esperadas pressupõem que as duas variáveis são independentes, pelo que cada célula é o total da sua linha vezes o total da sua coluna a dividir pelo total geral. A menor é 8,5, confortavelmente acima do valor de referência 5 abaixo do qual a aproximação não é fiável.
  
  $E_{ij} = \frac{R _{i} C _{j}}{N} : \frac{30 \times 21}{60} = 10.5, \frac{30 \times 22}{60} = 11, \frac{30 \times 17}{60} = 8.5$
2. Cada célula contribui com o seu desvio quadrático dividido pelo seu valor esperado. Dividir por E é o que transforma uma discrepância absoluta numa medida comparável — ter 3 em 11 importa mais do que ter 3 em 1100.
  
  $χ^{2} = \sum \frac{( O - E ) ^{2}}{E} = 2 (0.2143 + 0.8182 + 0.2647) = 2.5943$
3. Os graus de liberdade contam as células que se podem preencher livremente uma vez fixadas as margens. Dados os totais das linhas e das colunas, escolher duas células determina o resto.
  
  $df = (r - 1) (c - 1) = 1 \times 2 = 2$
4. Dois graus de liberdade é o caso especial: a distribuição qui-quadrado é então apenas uma exponencial, e o valor p é e elevado a menos metade da estatística. Sem tabelas, sem software.
  
  $df = 2 ⟹ p = e^{- χ^{2} /2} = e^{- 1.29717} = 0.2733$
5. Analisar de onde veio a estatística é mais informativo do que olhar apenas para o total. A coluna do meio fornece 63,1% desse valor — as células de 8 contra 11 e 14 contra 11 —, pelo que, a haver algum efeito, é aí que se encontra.
  
  $\frac{2 \times 0.8182}{2.5943} = 63.1% of χ^{2} is one column$
Resposta

A ferramenta apresenta χ² = 2,5943, gl = 2, p = 0,2733 e uma frequência esperada mínima de 8,5. Um valor de p de 0,27 não constitui evidência de associação, e uma leitura rigorosa fica por aí: também não demonstra independência, pois uma tabela com 60 observações pode facilmente ocultar um efeito moderado. O hábito importante vem no fim. O valor total do qui-quadrado, por si só, diz muito pouco; as contribuições de cada célula mostram onde procurar. Clique na predefinição de associação forte e observe a coluna central desaparecer, enquanto as quatro células dos cantos perfazem 99,5% da soma.

$p = e^{- χ^{2} /2} when df = 2; p = 0.27 ⟹ no evidence of association$

Percurso de aprendizagem

Quando é que uma diferença é real?

Conduz a Tamanho da amostra a mesma partição em contextos onde não há médias para calcular, restando unicamente contagens organizadas por categorias.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Dependência fraca - chi² = 2,5943 com 2 graus de liberdade dá p = 0,2733, e o maior resíduo padronizado é -0,905. Não há aqui qualquer desvio em relação à independência.
Associação forte - chi² = 24,3415 com 2 graus de liberdade, p inferior a 0,00001. A maior contribuição individual vem da linha 1, coluna 1: há 20 observações onde a independência prevê 11,20, com um resíduo de +2,63.
Caso de alerta por esparsidade - p = 0,0521, por um triz da significância, mas sem qualquer valor. As nove frequências esperadas são inferiores a 5; a menor é 0,13, e essa célula contribui com 65% da estatística.
Referência equilibrada - Todas as células contêm 8; por isso, todas as frequências esperadas são 8, todos os resíduos são 0 e chi² é exatamente 0, com p = 1. É o único ajustamento perfeito disponível na ferramenta.