Explorador de Decomposição SVD

Divida uma matriz em direções, intensidades de alongamento e uma reconstrução de posto baixo.

Exemplo resolvido — Explorador de Decomposição SVD

Energia preservada	88.1%
Energia perdida	11.9%
Erro de reconstrução	34.5%
Posto numérico	3
Σ: intensidades de alongamento	3.5915150003.1622780001.760971

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Truncar a SVD é comprovadamente o melhor que se pode fazer 🖖

Mantenha apenas os k maiores valores singulares e descarte o resto, e você não encontrou meramente uma aproximação de rank k razoável — encontrou a ótima. O teorema de Eckart–Young–Mirsky diz que nenhuma outra matriz de rank k chega mais perto da original, nem na norma de Frobenius nem na espectral. O erro é exato e não estimado: na norma espectral ele vale σ_k+1, o primeiro valor singular que você jogou fora, e na de Frobenius é a raiz quadrada da soma dos quadrados de todos os valores descartados. Esse único teorema é a razão de compressão de imagens, análise de componentes principais e indexação semântica latente se reduzirem todas à mesma instrução: calcule a SVD e depois corte-a.

Toda matriz é uma pilha de camadas 🖖

A SVD reescreve qualquer matriz como uma soma ponderada de camadas simples de posto 1 — cada uma formada por um padrão à esquerda e um à direita — ordenadas da mais para a menos importante segundo o seu valor singular. O quadrado de cada valor singular indica quanta da energia total da matriz aquela camada carrega. Mantendo apenas as primeiras, você reconstrói a maior parte dos dados com uma fração mínima dos números — e é por isso que a barra de energia preservada sobe tão abruptamente no início.

Descoberta cinco vezes antes de ser útil 🖖

A SVD não é uma invenção da era digital. Foi deduzida de forma independente por Beltrami (1873), Jordan (1874), Sylvester (1889), Schmidt (1907) e Weyl (1912) — teoria de matrizes pura, sem aplicação à vista. Só em 1965 Golub e Kahan publicaram um método numericamente estável para calculá-la, e isso destravou tudo o que você vê aqui: compressão de imagens, remoção de ruído, motores de busca e sistemas de recomendação.

Problema resolvido na íntegra

Três valores singulares e um erro de 34,5% ao manter 88,1% da energia 6 passos
Determine à mão os três valores singulares da matriz nesta página — o polinómio característico fatoriza-se — e explique depois por que razão manter 88,1% da energia ainda deixa um erro de 34,5%.
1. Os valores singulares são as raízes quadradas dos valores próprios de AᵀA, pelo que se calcula primeiro esse produto. É simétrico, o que garante que os valores próprios são reais e não negativos.
  
  $A = 3 - 1 0 130112, A^{⊤} A = 10020104246$
2. O determinante de AᵀA − λI fatoriza-se, o que é a parte conveniente: a primeira coluna contribui com um fator entre parênteses que sai limparmente e deixa uma expressão do segundo grau.
  
  $det (A^{⊤} A - λ I) = (10 - λ) [(10 - λ) (6 - λ) - 20] = 0$
3. Um valor próprio é exatamente 10; os outros dois são as raízes da equação do segundo grau. A sua forma com radicais é exata e os decimais seguem-se.
  
  $λ = 10; λ^{2} - 16 λ + 40 = 0 \Rightarrow λ = 8 \pm 26 = 12.8990, 3.1010$
4. Extraem-se as raízes quadradas. A verificação é imediata — os três valores ao quadrado têm de somar o traço de AᵀA, e 26 é a soma da diagonal.
  
  $σ = λ : 3.591515, 3.162278, 1.760971; \sum σ^{2} = 26 = tr (A^{⊤} A)$
5. Manter duas direções conserva a sua parte desses 26. O erro de Frobenius é a raiz quadrada da parcela descartada, e essa raiz quadrada é a resposta completa.
  
  $kept = \frac{12.8990 + 10}{26} = 88.1%, lost = \frac{3.1010}{26} = 11.9%, \frac{∥ A - A _{2} ∥ _{F}}{∥ A ∥ _{F}} = 0.119 = 34.5%$
6. Mais duas identidades obtêm-se de forma imediata a partir dos mesmos três números: o seu produto é o determinante em valor absoluto e o seu rácio é o número de condição. A 2,04 esta matriz tem um comportamento totalmente regular — os 34,5% não são uma quase-singularidade, são uma genuína terceira direção.
  
  $σ_{1} σ_{2} σ_{3} = 20 = ∣ det A ∣, κ = \frac{σ _{1}}{σ _{3}} = 2.04$
Resposta

Porque o erro é uma raiz quadrada: √0,119 = 0,345. A energia é medida nos valores singulares ao quadrado e o erro nos valores sem elevar ao quadrado, pelo que descartar um oitavo da energia custa um terço da norma, e os dois números no painel são o mesmo facto apresentado em duas escalas diferentes. Esta é a armadilha em qualquer afirmação do tipo «mantivemos 95% da variância»: 95% da energia corresponde a um erro de reconstrução de 22%, e 99% continua a ser 10%. Eckart e Young provaram em 1936 que nenhuma matriz de característica 2 faz melhor do que 34,5% aqui, pelo que este é um limite mínimo imposto pela matriz, e não uma fraqueza da truncatura.

$kept 88.1% \Rightarrow error = 1 - 0.881 = 34.5%$

Percurso de aprendizagem

Matrizes que movem coisas

Conduz a Componentes principais

Referências (2)

The five independent discoveries block 3 lists: G. W. Stewart, "On the Early History of the Singular Value Decomposition." SIAM Review 35(4), 551–566, 1993 — Beltrami, Jordan, Sylvester, Schmidt and Weyl, and what each of them actually proved.
The 1965 algorithm that made it computable: G. Golub and W. Kahan, "Calculating the Singular Values and Pseudo-Inverse of a Matrix." Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series B: Numerical Analysis 2(2), 205–224, 1965.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-23

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Estatística e Finanças →

Problemas de exemplo

matriz de posto 2 - A decomposição de uma matriz pequena mostra as direções e valores singulares principais.
3x3 mista - Para Σ obtemos 3,591515, 3,162278 e 1,760971. São três fatores de dilatação que não diferem entre si por mais de um fator de 2,04. Logo, nenhuma direção predomina. Se descartarmos o mais baixo, retemos 88,1% da energia. A reconstrução regista um desvio de 34,5%. A ferramenta assinala que o posto 2 de uma matriz 3×3 não ocupa menos espaço do que armazenar a própria matriz A. Aqui, o truncamento explica a matriz sem a comprimir.
3x3 diagonal - U e Vᵀ resultam na matriz identidade. Uma matriz diagonal não tem direções a descobrir, pelo que Σ repete simplesmente a diagonal: 5, 2, 0,5. Esta é a única predefinição aqui em que o truncamento traz alguma poupança. O posto 1 guarda cerca de 77,8% da quantidade de números da própria A, ao passo que o posto 2 da matriz mista guarda mais. Manter essa única direção retém 85,5% da energia. A reconstrução fica com 38,1% de erro.