Grenzwert-Explorer

Erkunde Grenzwerte visuell. Beobachte, ob und wie sich Funktionswerte einem Zielwert annähern, während x sich ihm nähert.

Startwerte — Grenzwert-Explorer

f(x)	sin(x)/x
x → a	0

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Jede Ableitung ist ein verkapptes 0/0 🖖

Grenzwerte sind keine Formalität auf dem Weg zur Analysis — ohne sie kann die Analysis nicht einmal beginnen. Die Steigung einer Kurve in einem einzigen Punkt ist (f(x+h) − f(x)) / h mit h = 0, und das ergibt für jede Funktion 0/0. Die Division hilft hier nicht: 0/0 ist keine Zahl, und keine Umformung macht daraus eine. Der Grenzwert umgeht die Frage: er fragt, worauf der Quotient zuläuft, während h schrumpft, nicht welchen Wert er bei h = 0 annimmt. Genau dieses Ausweichen ist der Grund, weshalb eine Tangente überhaupt eine Steigung hat.

Wohin eine Funktion strebt, nicht ihr Wert dort 🖖

Ein Grenzwert fragt, wohin eine Funktion strebt, wenn x sich einem Punkt nähert — nicht, was am Punkt selbst passiert. Dieser Unterschied zählt: sin(x)/x ist bei x = 0 nicht definiert (es ergibt 0/0), doch von beiden Seiten zielt der Graph genau auf 1. Zieh x zum Zielpunkt und beobachte, wie links- und rechtsseitiger Wert übereinstimmen; tun sie das, existiert der Grenzwert — auch wenn die Kurve ein Loch hat.

Wenn die Wertetabelle lügt 🖖

Dieses Werkzeug wertet f bei x = 10⁻ⁿ für n = 1, 2, …, 8 aus. Gib sin(π/x) nahe 0 ein, und jede Zeile zeigt genau 0, denn sin(10ⁿπ) = 0 für ganzzahlige Exponenten — die Tabelle meldet bereitwillig den Grenzwert 0. Zwischen den Stützstellen schwingt die Funktion aber unendlich oft zwischen −1 und +1, der wahre Grenzwert existiert also nicht. Numerische Konvergenz ist ein Hinweis, nie ein Beweis.

GRENZWERT-THEORIE — WAS DER GRAPH TUT, WENN x GEGEN a GEHT

Welcher Grenzwertfall liegt bei dir vor?

Ein Grenzwert fragt, wohin f strebt, während x sich a nähert — nie, was f an der Stelle a tut. Lies zuerst die beiden einseitigen Grenzwerte ab: Stimmen sie überein, existiert der Grenzwert, und es bleibt nur die Frage, ob f(a) dazu passt. Stimmen sie nicht überein, benennt die Art der Abweichung den Fall — Sprung, Polstelle oder endloses Schwingen.

Hebbare Lücke — beide Seiten stimmen überein, f(a) fehlt L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

0/0 mit gemeinsamem Faktor — erst kürzen, dann urteilen 0/0 → ÷(x − a)

Sprung — die beiden Seiten widersprechen sich L⁻ ≠ L⁺

Polstelle — die Werte laufen aus der Skala f → ±∞ at x = a

Oszillation — die Werte kommen nie zur Ruhe ∄L, |f| ≤ 1

Hebbare Lücke — beide Seiten stimmen überein, f(a) fehlt

Was du weißt: Linker und rechter Grenzwert sind gleich und endlich, f(a) ist aber nicht definiert. Einsetzen von a liefert 0/0, und kein Faktor kürzt sich weg.

Test: L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

Rechenbeispiel: f(x) = sin(x)/x bei a = 0 → f(0) ergibt 0/0, aber f(±0,001) = 0,99999983 → Grenzwert = 1

Diesen Fall öffnen: sinc sin(x)/x

Hebbare Lücke — beide Seiten stimmen überein, f(a) fehlt. Beide Äste zielen auf dieselbe Höhe; nur der Punkt selbst ist herausgestanzt. Linker und rechter Grenzwert sind gleich und endlich, f(a) ist aber nicht definiert. Einsetzen von a liefert 0/0, und kein Faktor kürzt sich weg. — Beide Äste zielen auf dieselbe Höhe; nur der Punkt selbst ist herausgestanzt.

0/0 mit gemeinsamem Faktor — erst kürzen, dann urteilen

Was du weißt: Einsetzen von a liefert 0/0, und Zähler und Nenner haben den Faktor (x − a) gemeinsam.

Test: 0/0 → ÷(x − a)

Rechenbeispiel: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) bei a = 1 → (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → Grenzwert = 2

Diesen Fall öffnen: L'Hôpital

0/0 mit gemeinsamem Faktor — erst kürzen, dann urteilen. Nach dem Kürzen bleibt die Gerade y = x + 1 mit einem entfernten Punkt. Einsetzen von a liefert 0/0, und Zähler und Nenner haben den Faktor (x − a) gemeinsam. — Nach dem Kürzen bleibt die Gerade y = x + 1 mit einem entfernten Punkt.

Sprung — die beiden Seiten widersprechen sich

Was du weißt: Beide einseitigen Grenzwerte sind endlich, aber verschieden. Der Graph springt bei a von einem Niveau auf ein anderes.

Test: L⁻ ≠ L⁺

Rechenbeispiel: f(x) = |x|/x bei a = 0 → linker Grenzwert = −1, rechter Grenzwert = +1 → der Grenzwert existiert nicht

Diesen Fall öffnen: Sprung |x|/x

Sprung — die beiden Seiten widersprechen sich. Zwei waagerechte Äste auf verschiedenen Höhen: Die Seiten widersprechen sich. Beide einseitigen Grenzwerte sind endlich, aber verschieden. Der Graph springt bei a von einem Niveau auf ein anderes. — Zwei waagerechte Äste auf verschiedenen Höhen: Die Seiten widersprechen sich.

Polstelle — die Werte laufen aus der Skala

Was du weißt: Mindestens eine Seite wächst unbeschränkt. Einsetzen von a ergibt eine Zahl ungleich null geteilt durch null, also steht bei x = a eine senkrechte Asymptote.

Test: f → ±∞ at x = a

Rechenbeispiel: f(x) = 1/x bei a = 0 → von links → −∞, von rechts → +∞ → kein endlicher Grenzwert

Diesen Fall öffnen: Unendlich 1/x

Polstelle — die Werte laufen aus der Skala. Beide Äste fliehen entlang der senkrechten Asymptote x = a. Mindestens eine Seite wächst unbeschränkt. Einsetzen von a ergibt eine Zahl ungleich null geteilt durch null, also steht bei x = a eine senkrechte Asymptote. — Beide Äste fliehen entlang der senkrechten Asymptote x = a.

Oszillation — die Werte kommen nie zur Ruhe

Was du weißt: Die Funktion bleibt beschränkt, durchläuft denselben Bereich aber unendlich oft, egal wie nah an a du hinsiehst.

Test: ∄L, |f| ≤ 1

Rechenbeispiel: f(x) = sin(1/x) bei a = 0 → zwischen x = 0,001 und x = 0,002 durchläuft der Graph rund 80 volle Perioden und trifft jeden Wert in [−1, 1]

Diesen Fall öffnen: Oszillation sin(1/x)

Oszillation — die Werte kommen nie zur Ruhe. Das Schwingen wird schneller, nicht kleiner, wenn x gegen 0 geht. Die Funktion bleibt beschränkt, durchläuft denselben Bereich aber unendlich oft, egal wie nah an a du hinsiehst. — Das Schwingen wird schneller, nicht kleiner, wenn x gegen 0 geht.

Aufgabe vollständig gelöst

Beweis, dass sin x / x → 1 mit einem δ für jedes ε 5 Schritte
Beweisen Sie, dass sin x / x → 1, indem Sie für jedes ε ein δ angeben, und sagen Sie die beiden nutzbaren Zeilen der Tabelle voraus, bevor Sie sie ablesen. Dies ist f(x) = sin(x)/x mit x → 0.
1. Die Division der Sinusreihe durch x ist für jedes x ≠ 0 zulässig, was die einzige Stelle ist, die ein Grenzwert überhaupt betrachtet. Was herauskommt, enthält ausschließlich gerade Potenzen von x, und deshalb weisen die linke und rechte Spalte der Tabelle in jeder Zeile identische Ziffern auf.
  
  $\frac{sin x}{x} = \frac{1}{x} (x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots) = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{x ^{4}}{120} - \dots$
2. Zwei Terme genügen hier: Der x⁴-Term liegt bereits bei 8,33 × 10⁻⁷, zu klein, um die sechste Dezimalstelle zu verändern.
  
  $x = \pm 0.1 : 1 - \frac{1 0 ^{- 2}}{6} + \frac{1 0 ^{- 4}}{120} - \dots = 1 - 1.666667 \times 1 0^{- 3} + 8.33 \times 1 0^{- 7} = 0.998334$
3. Rückt man um den Faktor zehn näher heran, schrumpft der Abstand zu 1 um den Faktor hundert. Die Annäherung erfolgt quadratisch in x, was eine weit stärkere Aussage ist als “der Grenzwert ist 1” — und die beiden eigenen Zeilen der Tabelle reichen aus, um dies zu belegen.
  
  $x = \pm 0.01 : 0.999983, \frac{1 - f ( 0.1 )}{1 - f ( 0.01 )} = \frac{1.665834 \times 1 0 ^{- 3}}{1.666658 \times 1 0 ^{- 5}} = 99.95$
4. Hinweise sind kein Beweis, daher schätzt man den gesamten Rest auf einmal ab. Für |x| ≤ 1 alterniert die Reihe mit kleiner werdenden Termen, sodass alles nach der 1 betragsmäßig kleiner ist als der erste weggelassene Term, und dieser Term ist x²/6. Kehrt man die Ungleichung um, wird δ zu einer Formel statt zu einer Suche.
  
  $\frac{sin x}{x} - 1 \leq \frac{x ^{2}}{6} (∣ x ∣ \leq 1) ⟹ δ (ε) = 6 ε (ε \leq \frac{1}{6})$
5. Lösen Sie ab, was die Quadratwurzel kostet. Das Verschärfen von ε um den Faktor eine Million bringt für x nur einen Faktor von tausend.
  
  $ε = 1 0^{- 6} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 3}; ε = 1 0^{- 12} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 6}$
Antwort

Die Tabelle gibt 0,998334 bei x = 0,1 und 0,999983 bei x = 0,01 aus, und beide wurden hier aus vier Termen einer Reihe aufgeschrieben, bevor das Bedienfeld konsultiert wurde. Was δ = √(6ε) hinzufügt, ist Gewissheit: Nennen Sie eine beliebige Toleranz, und das x, das sie erfüllt, ist nur eine Quadratwurzel entfernt, sodass auch weiteres Heranzoomen keine Überraschung hervorbringen kann. Es erklärt auch, warum der Tabelle die Aussagen ausgehen. Ihre Zeilen verkleinern x jeweils um den Faktor zehn, während der Abstand um den Faktor hundert fällt; in der dritten Zeile beträgt dieser Abstand also 1,6667 × 10⁻⁷ — weniger als eine halbe Einheit an der sechsten Dezimalstelle — und diese Zeile sowie die fünf darunter geben alle 1,000000 aus, obwohl der Wert bei x = 0,001 eigentlich 0,99999983 lautet. Behält man den Abstand, anstatt ihn zu verwerfen: Dividiert man die 1,665834 × 10⁻³ der ersten Zeile durch 0,01, erhält man 0,16658, was 1/6 ist. Ein zweiter Grenzwert verbirgt sich unter dem berühmten, und die Reihe hat ihn vorab benannt.

$δ (ε) = 6 ε, x \to 0 lim \frac{1 - \frac{s i n x}{x}}{x ^{2}} = \frac{1}{6}$

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Führt zu Die Ableitung was sich annähern bedeutet, wenn der Wert an der betreffenden Stelle gar nicht existiert.

Quellen (1)

When “heading towards” stopped being a way of speaking and became something you can check: J. V. Grabiner, "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", in Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History, 5–13. Mathematical Association of America, 2009.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

sinc sin(x)/x - Beide Seiten erreichen bei ε = 0.001 den Wert 1.000000, der Grenzwert existiert also und die Seite nennt es stetig
Sprung |x|/x - L⁻ = −1 gegen L⁺ = +1 bei jedem ε — ein Sprung, und der beidseitige Grenzwert existiert nicht
Unendlich 1/x - −∞ und +∞: bei ε = 10⁻⁶ zeigen die Seiten −1000000 und 1000000, unbeschränkt wachsend
Oszillation sin(1/x) - Keine Seite kommt zur Ruhe — die linke Spalte zeigt 0.544021, dann 0.506366, dann −0.826880 —, also stehen beide einseitigen Grenzwerte auf undefiniert
L'Hôpital - 0/0 bei x = 1, und doch streben beide Seiten gegen 2.000000: hebbar, und f(1) bleibt undefiniert