Polarkurven

Erkunde Polarkurven: r als Funktion des Winkels θ.

Rechenbeispiel — Polarkurven

Gleichung	1+cos(θ)
r(theta)	0.0000
A	4.7124
(x, y)	(-0.000, -0.000)
theta	3.142 rad (180.0 deg)

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Ungerades k ergibt k Blätter, gerades k doppelt so viele 🖖

Eine Rosette r = cos(kθ) hat nicht einfach k Blätter. Bei ungeradem k schon: cos(3θ) zeichnet 3 Blätter und ist nach einer halben Umdrehung fertig — läuft man weiter bis 2π, fährt die Kurve nur die bereits gezeichneten Blätter nach, weil die negativen r-Werte genau auf den positiven landen. Bei geradem k gibt es dafür keinen Platz, und diese zusätzlichen Durchläufe werden zu neuen Blättern in den Lücken: cos(4θ) kommt so auf 8. Genau deshalb enden die beiden Rosetten-Vorgaben dieses Werkzeugs an unterschiedlichen Stellen: bei π für die dreiblättrige, bei vollen 2π für die achtblättrige.

Abstand und Richtung statt links und rechts 🖖

Polarkoordinaten legen einen Punkt über zwei alltägliche Fragen fest: Wie weit vom Zentrum entfernt und in welche Richtung? Deshalb erhalten Formen mit natürlichem Mittelpunkt — Spiralen, blütenartige Rosen, Umlaufbahnen — hier kurze, saubere Gleichungen, während sie im x-y-Gitter in umständliche Formeln ausufern. Probier die Spiral-Vorlage: r = θ/π heißt einfach „der Radius wächst stetig mit dem Drehen“, doch die kartesische Version ist ein Wirrwarr. Fazit: Wähle Koordinaten, die zur Symmetrie eines Problems passen, dann wird die Mathematik einfacher.

Die Spirale, die Bernoulli auf seinem Grab wollte 🖖

Die logarithmische Spirale r = a·e^(bθ) faszinierte Jakob Bernoulli so sehr, dass er sie spira mirabilis nannte — „die wunderbare Spirale“ —, weil sie beim Skalieren, Drehen oder Spiegeln dieselbe Kurve bleibt. Er wünschte sich eine auf seinem Grabstein mit dem Motto Eadem mutata resurgo („obgleich verändert, kehre ich als dieselbe wieder“). Der Basler Steinmetz meißelte jedoch stattdessen eine archimedische Spirale (r = aθ) ein — eine völlig andere Kurve, und der Fehler ist bis heute zu sehen.

POLARKURVEN — WELCHE FAMILIE IST DAS, UND WIE VIELE BLÄTTER?

In welchem Polarkurven-Fall bist du?

In Polarform entscheidet die Formel für r über die Gestalt, und dazu, wie weit θ laufen muss, bis die Kurve schließt. Rosen entstehen aus cos nθ, und die Blattzahl hängt davon ab, ob n ungerade oder gerade ist. Kardioiden und Limaçons entstehen aus a + b·cos θ, und das Verhältnis a/b entscheidet, ob es eine Delle, eine Spitze oder eine Schleife im Inneren gibt. Erkenne die Form, und du kennst das Bild.

a = b — die Kardioide, mit einer einzigen Spitze im Ursprung a = b ⇒ r(π) = 0

cos nθ mit ungeradem n — n Blätter, in einer halben Umdrehung n = 2k+1 ⇒ # = n

cos nθ mit geradem n — 2n Blätter, und die volle Umdrehung ist nötig n = 2k ⇒ # = 2n

b > a — ein Limaçon mit innerer Schleife b > a ⇒ ∃θ: r < 0

a = b — die Kardioide, mit einer einzigen Spitze im Ursprung

Was du weißt: r = a + b·cos θ mit gleichem a und b. Der Radius läuft von 2a bis auf genau null, die Kurve berührt den Ursprung also einmal und bildet dort eine Spitze.

Form: a = b ⇒ r(π) = 0

Rechenbeispiel: r = 1 + cos θ: r = 2 bei θ = 0°, r = 1 bei 90° und r = 0 bei 180°. Die eingeschlossene Fläche beträgt 3π/2 ≈ 4,712.

Diesen Fall öffnen: Kardioide

a = b — die Kardioide, mit einer einzigen Spitze im Ursprung. Der Radius schrumpft bei 180° auf null, und die Kurve schließt sich in einer Spitze. r = a + b·cos θ mit gleichem a und b. Der Radius läuft von 2a bis auf genau null, die Kurve berührt den Ursprung also einmal und bildet dort eine Spitze. — Der Radius schrumpft bei 180° auf null, und die Kurve schließt sich in einer Spitze.

cos nθ mit ungeradem n — n Blätter, in einer halben Umdrehung

Was du weißt: Ein ungerades n ergibt genau n Blätter, und die Rose ist fertig, sobald θ von 0 bis π gelaufen ist. Weiter bis 2π zeichnet dieselben Blätter noch einmal nach.

Form: n = 2k+1 ⇒ # = n

Rechenbeispiel: r = cos 3θ von 0 bis π: drei Blätter, jedes über 60° in θ, das erste um θ = 0 zentriert

Diesen Fall öffnen: Rose (3)

cos nθ mit ungeradem n — n Blätter, in einer halben Umdrehung. Drei Blätter, fertig nach einer halben Umdrehung; der Rest des Kreises wiederholt sie. Ein ungerades n ergibt genau n Blätter, und die Rose ist fertig, sobald θ von 0 bis π gelaufen ist. Weiter bis 2π zeichnet dieselben Blätter noch einmal nach. — Drei Blätter, fertig nach einer halben Umdrehung; der Rest des Kreises wiederholt sie.

cos nθ mit geradem n — 2n Blätter, und die volle Umdrehung ist nötig

Was du weißt: Ein gerades n ergibt doppelt so viele Blätter, wie man erwarten würde, und alle brauchen θ von 0 bis 2π.

Form: n = 2k ⇒ # = 2n

Rechenbeispiel: r = cos 4θ von 0 bis 2π: acht Blätter, jedes über 45° in θ

Diesen Fall öffnen: Rose (8)

cos nθ mit geradem n — 2n Blätter, und die volle Umdrehung ist nötig. Acht Blätter: vier aus positivem r, vier weitere aus den Bereichen, in denen r negativ wird. Ein gerades n ergibt doppelt so viele Blätter, wie man erwarten würde, und alle brauchen θ von 0 bis 2π. — Acht Blätter: vier aus positivem r, vier weitere aus den Bereichen, in denen r negativ wird.

b > a — ein Limaçon mit innerer Schleife

Was du weißt: r = a + b·cos θ mit b größer als a. Der Radius wird über einen Teil der Umdrehung negativ, und dieser Abschnitt zeichnet eine Schleife im Inneren der Hauptkurve.

Form: b > a ⇒ ∃θ: r < 0

Rechenbeispiel: r = 1 + 2cos θ: r = 3 bei θ = 0°, und r < 0 für θ zwischen 120° und 240° — das ist die innere Schleife

Diesen Fall öffnen: Limaçon

b > a — ein Limaçon mit innerer Schleife. Der Abschnitt mit negativem r faltet sich durch den Ursprung zurück und wird zur inneren Schleife. r = a + b·cos θ mit b größer als a. Der Radius wird über einen Teil der Umdrehung negativ, und dieser Abschnitt zeichnet eine Schleife im Inneren der Hauptkurve. — Der Abschnitt mit negativem r faltet sich durch den Ursprung zurück und wird zur inneren Schleife.

Aufgabe vollständig gelöst

Fläche von 4,7124, eingeschlossen von der Kardioide r = 1 + cos θ 5 Schritte
Die Kardioide r = 1 + cos θ schließt eine Fläche von 4,7124 ein. Leiten Sie dies ab und vergleichen Sie die Kurve mit dem Kreis, aus dem sie entsteht.
1. Der Flächeninhalt in Polarkoordinaten ist nicht ∫y dx. Ein dünner Sektor mit dem Winkel dθ ist ein Dreieck mit dem Flächeninhalt ½r²dθ, und die Integration dieser Sektoren ist bereits die ganze Formel.
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ, r = 1 + cos θ$
2. Der Integrand ist also das Quadrat des Radius, das sich für diese Kurve in drei Terme ausmultiplizieren lässt.
  
  $(1 + cos θ)^{2} = 1 + 2 cos θ + cos^{2} θ$
3. Jeder davon lässt sich ohne Weiteres über eine volle Umdrehung integrieren. Der mittlere verschwindet — der Kosinus ist im Mittel gleich null — und für den letzten nutzt man das Standardergebnis, dass cos² im Mittel ein Halb beträgt.
  
  $\int_{0}^{2 π} 1 = 2 π, \int_{0}^{2 π} 2 cos θ = 0, \int_{0}^{2 π} cos^{2} θ = π$
4. Ihre Summe ergibt 3π/2, was 4,7124 entspricht.
  
  $A = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2} = 4.7124$
5. Die Kurve berührt den Ursprung genau einmal, bei θ = π, wo 1 + cos θ = 0 gilt. Das ist die Spitze, und sie ist der Grund, warum die Kardioide kein verschobener Kreis ist.
  
  $r (π) = 1 + cos π = 0 (the cusp), \frac{3 π /2}{π} = 1.5$
Antwort

Das Werkzeug gibt einen Flächeninhalt von 4,7124 aus, mit r = 0 bei θ = 3,142. Der Vergleich ist der eigentliche Gewinn: Der Einheitskreis schließt π ein, die Kardioide umfasst also genau 1,5-mal so viel, obwohl sie an ihrer breitesten Stelle nur bis r = 2 reicht und sich an der Spitze auf null verengt. Das Bild der Sektoren erklärt dies — der Flächeninhalt wächst mit r², sodass die breite Seite weit stärker dominiert, als ihre Breite vermuten lässt. Wechselt man die Kurve zu cos(3θ), zeigt die Anzeige 1,5708 an — was π/2 entspricht, genau dem Doppelten des tatsächlichen Flächeninhalts der dreiblättrigen Rose von π/4. Nicht das Integral ist falsch, sondern der Integrationsbereich. Eine Rose mit ungerader Blattzahl wird bereits vollständig durchlaufen, wenn θ bis π läuft, und wird bis 2π ein zweites Mal überstrichen, sodass die Sektoren doppelt gezählt werden. Setzt man die obere Grenze auf 3,14159, erscheint 0,7854. Der Flächeninhalt in Polarkoordinaten ist das eine Integral, bei dem die Grenzen eine Modellierungsentscheidung und keine reine Formalität sind.

$A = \frac{3 π}{2} = 4.7124 = 1.5 \times the unit circle; r (π) = 0$

Quellen (2)

Who first used these coordinates, and for what: J. L. Coolidge, "The Origin of Polar Coordinates." The American Mathematical Monthly 59(2), 78–85, 1952.
The logarithmic spiral in shells and horns — the reason polar form is worth the change of variable: D’Arcy W. Thompson, On Growth and Form, Chapter XI: The Equiangular Spiral. Cambridge University Press, 1917.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-27

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Beispielaufgaben

Kardioide - r = 1+cos(θ) umschließt über eine volle Umdrehung A = 4.7124, also 3π/2 — anderthalbmal den Einheitskreis
Rose (3) - cos(3θ) braucht θ nur bis π, um alle drei Blätter zu schließen, und umschließt A = 0.7854 = π/4
Rose (8) - cos(4θ) zeichnet acht Blätter, nicht vier — ein gerades k verdoppelt sie — und braucht die vollen 2π für A = 1.5708 = π/2
Limaçon - r = 1+2cos(θ) wird negativ: bei θ = π zeigt die Anzeige r = −1.0000 am Punkt (1.000, 0.000), und daraus entsteht die innere Schleife