Reynolds-Zahl & Strömungsform

Wähle ein Fluid, eine Geschwindigkeit und einen Durchmesser, um zu sehen, ob die Strömung laminar oder turbulent ist und wie wenig es braucht, um die Grenze zu überschreiten.

Rechenbeispiel — Reynolds-Zahl & Strömungsform

Kinematische Viskosität	1,00 × 10⁻⁶ m²/s
Reynolds-Zahl	9.966
Strömungsform	Turbulent
Laminar unterhalb	0,2308 m/s
Turbulent ab	0,4014 m/s
Laminar in Rohren enger als	2,31 × 10⁻³ m
Turbulent in Rohren ab	4,01 × 10⁻³ m

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Lektion

Die Theorie — Reynolds-Zahl & Strömungsform

Die Reynolds-Zahl vergleicht die zwei grundlegenden Einflüsse in einem strömenden Fluid: die Trägheit, die es vorantreibt, und die Viskosität, die es dämpft. Re = ρvD/η. Sämtliche Einheiten kürzen sich dabei heraus. Es bleibt eine reine Zahl, und genau das ist der Punkt. Zwei Strömungen mit derselben Reynolds-Zahl verhalten sich physikalisch identisch. Ihre Größe, die Geschwindigkeit oder das Fluid sind dabei völlig egal. Genau deshalb kannst du ein Flugzeug durch ein Modell im Wassertank ersetzen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Re: die Kennzahl selbst, gänzlich ohne Einheiten
ν: die kinematische Viskosität, η/ρ, die einzige Kombination, auf die es hier ankommt

Setzt voraus: Ein glattes, gerades, kreisrundes Rohr mit vollständig ausgebildeter Strömung. Rauheit, Krümmungen und die Einlaufstrecke verschieben allesamt den Umschlagpunkt. Das ist der wahre Grund, warum die Grenzwerte auf dieser Seite Konventionen sind und keine Konstanten.

Zwei Fluide, ein Rohr, ein Tempo, gegensätzliche Ergebnisse 🖖

Wasser in einem 10-mm-Rohr bei 1 m/s liefert Re = 9.966. Das Ergebnis lautet turbulent. Stellst du das Fluid auf Honig um, ohne die Schieberegler zu berühren, liest du 1,420 ab. Laminarer wird eine Strömung kaum. Am Rohr hat sich nichts geändert, an der Geschwindigkeit auch nicht. Keines von beiden hat also den Ausschlag gegeben.

Die Zeile für kinematische Viskosität verrät den Grund: 1,00 × 10⁻⁶ m²/s bei Wasser gegenüber 7,04 × 10⁻³ m²/s bei Honig. Da Re = vD/ν gilt, stehen die beiden Reynolds-Zahlen genau im Verhältnis dieser beiden Stoffwerte zueinander. Dieses Verhältnis beträgt 7018 und es bleibt bei jeder denkbaren Einstellung des Werkzeugs erhalten. Zieh die Geschwindigkeit über ihre sechs Zehnerpotenzen und den Durchmesser über seine fünf. Beide Reynolds-Zahlen bewegen sich parallel, stets getrennt durch den Faktor 7018.

Beobachte die Strömungskarte, während du das Fluid wechselst. Der markierte Punkt bewegt sich nicht. Er ändert lediglich seine Farbe. Die Grenze hat sich nämlich um fast vier Zehnerpotenzen auf der Geschwindigkeitsachse verschoben, um an ihm vorbeizuziehen.

Fast nichts in deiner Wasserleitung ist laminar 🖖

Wasser in einem 10-mm-Rohr: Das Werkzeug gibt 0,2308 m/s als laminare Grenze an. Darunter färbt sich das Ergebnis grün. Gehst du über 0,4014 m/s hinaus, ist die Strömung voll turbulent. Ein Wasserhahn in der Küche läuft schneller als beides.

Laminare Rohrströmungen füllen ganze Lehrbuchkapitel, da sie sich in geschlossener Form lösen lassen. Das Geschwindigkeitsprofil ist eine exakte Parabel, der Druckabfall verhält sich proportional zum Volumenstrom, und zwischen den Schichten findet kein Austausch statt. Fast das gesamte Wasser in einem Haus verhält sich jedoch anders. Was in den Wänden fließt, vermischt sich. Es muss gemessen oder durch Korrelationen beschrieben werden, anstatt sich mathematisch herleiten zu lassen.

Verengst du das Rohr, steigt die Grenze, anstatt zu fallen. Stellst du den Durchmesser auf 5 mm, klettert die laminare Obergrenze auf 0,4616 m/s. Re = vD/ν schert sich nämlich nur um das Produkt. Halbierst du D, musst du v verdoppeln, um wieder 2300 zu erreichen. Deshalb bleibt eine Kapillare laminar, eine Wasserhauptleitung hingegen nicht.

2300 und 4000 sind Konventionen, und sie gelten für Rohre 🖖

Die ausgegebene Zahl ist exakte Arithmetik aus den vier von dir eingestellten Werten. Das Wort daneben beruht auf einer Konvention. Zieh die Geschwindigkeit auf 0,3 m/s im 10-mm-Rohr. Die Reynolds-Zahl steht bei 2.990, das Ergebnis lautet Übergang. Das Werkzeug weigert sich hier völlig zu Recht, eine klare Antwort zu geben. 2300 und 4000 beschreiben eine voll ausgebildete Strömung im glatten Rundrohr. Weder die Rauheit dieses Rohres noch die Ruhe seiner Einlaufströmung fließen in die Reynolds-Zahl ein. Deshalb siehst du hier einen gelben Streifen, wo eine scharfe Linie aufgeräumter wirken würde.

Die Bedeutung der unteren Zahl klärten Avila, Moxey, de Lozar, Avila, Barkley und Hof im Jahr 2011 in Science. Ihre Methode ist der eigentlich wissenswerte Teil. Sie injizierten Turbulenzballen in eine laminare Rohrströmung und stoppten die Zeit, wie lange jeder einzelne überlebte. Unterhalb eines kritischen Punktes zerfällt ein solcher Ballen. Darüber breitet sich die Turbulenz schneller aus, als sie abklingt. Der Schwellenwert ist also nicht die Geschwindigkeit, bei der ein Rohr aufhört, laminar zu sein. Es ist die Geschwindigkeit, oberhalb derer eine einmal entstandene Turbulenz nicht mehr von alleine verschwindet.

Änderst du die Geometrie, wandert der Vergleichsmaßstab mit. Eine Kugel, die durch dieses selbe Wasser absinkt, wird nahe Re = 1 und Re = 1000 beurteilt. Eine Grenzschicht entlang einer flachen Platte schlägt bei etwa Re = 5 × 10⁵ um.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein Lüftungskanal im Wasserkanal 7 Schritte
Ein runder Lüftungskanal mit 0,40 m Durchmesser transportiert Luft bei 3,0 m/s. Du möchtest untersuchen, was die Strömung im Inneren macht. Dafür planst du ein 1:10-Modell in einem Wasserkanal. Wie schnell muss das Wasser strömen, damit die Strömung im Modell der Strömung im Kanal entspricht?

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Dichte der Luft und ihre Viskosität tauchen im Ergebnis niemals getrennt auf. Teilst du die zweite durch die erste, erhältst du die kinematische Viskosität: 1,813 × 10⁻⁵ geteilt durch 1,204 ergibt 1,5058 × 10⁻⁵ m²/s. Die Zeile für kinematische Viskosität rundet auf 1,51 × 10⁻⁵. Diese einzige Zahl ist alles, was die Reynolds-Zahl über das Fluid wissen will.
  
  $ν_{a} = \frac{η}{ρ} = \frac{1.813 \times 1 0 ^{- 5}}{1.204} = 1.5058 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$
2. Re = vD/ν für den Kanal: 3,0 × 0,40 geteilt durch 1,5058 × 10⁻⁵ ergibt 79.691. Die Zeile für die Strömungsform sagt Turbulent. Das würde sie für jeden Wert jenseits der 4000 tun, und wir liegen das Zwanzigfache darüber.
  
  $Re_{d} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 0.40}{1.5058 \times 1 0 ^{- 5}} = 79, 691 \geq 4000$
3. Zwei Strömungen sind identisch, wenn die Geometrie ähnlich ist und die Reynolds-Zahlen übereinstimmen. Re ist die einzige dimensionslose Kennzahl im Problem. Sie anzugleichen ist also die einzige Bedingung. Nichts an dieser Bedingung besagt, dass das Modell dasselbe Fluid verwenden muss. Das Fluid ist genau der Spielraum, den es sich zu nutzen lohnt.
  
  $Re_{m} = Re_{d} ⟺ \frac{v _{m} D _{m}}{ν _{w}} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}}$
4. Wasser bei 20 °C: 1,0016 × 10⁻³ Pa·s geteilt durch 998,2 kg/m³ ergibt 1,0034 × 10⁻⁶ m²/s. Wasser ist grob achthundertmal dichter als Luft und etwa fünfundfünfzigmal viskoser. Die beiden heben sich beinahe auf. Was bleibt, ist ein Faktor von 15,007. Dieser wirkt genau so, wie Anfänger es nicht erwarten: Pro Trägheitseinheit ist Luft das dünnflüssigere der beiden.
  
  $ν_{w} = \frac{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}}{998.2} = 1.0034 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s, \frac{ν _{a}}{ν _{w}} = 15.007$
5. Setze die beiden Reynolds-Zahlen gleich und löse nach der benötigten Geschwindigkeit im Wasserkanal auf. Das Rohr um den Faktor zehn zu verkleinern, multipliziert die nötige Geschwindigkeit mit zehn. Der Wechsel von Luft zu Wasser dividiert sie durch 15,007. Das Fluid gewinnt. Die Antwort landet bei 1,999 m/s. Das Modell ist ein Zehntel so groß, doch das Wasser darin fließt langsamer als die Luft, die es abbildet.
  
  $v_{m} = v_{d} \cdot \frac{D _{d}}{D _{m}} \cdot \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = 3.0 \cdot 10 \cdot \frac{1}{15.007} = 1.999 m/s$
6. Stelle das Werkzeug auf Wasser, 1,999 m/s und 0,040 m ein. Die Zeile für die Reynolds-Zahl zeigt 79.689 gegenüber den 79.691 des Kanals. Die zwei Einheiten Differenz stammen aus der vierten Stelle einer auf vier Stellen gerundeten Geschwindigkeit. Die Zeile 'Laminar unterhalb' liefert einen zweiten Weg, die Übereinstimmung zu erkennen: Die Luft im Kanal müsste unter 0,0866 m/s fallen, um laminar zu werden, das Wasser im Modell unter 0,0577 m/s. Jede Strömung bewegt sich beim 34,6-Fachen ihres eigenen Grenzwertes.
  
  $Re_{m} = \frac{1.999 \cdot 0.040}{1.0034 \times 1 0 ^{- 6}} = 79, 689, \frac{3.0}{0.0866} \approx \frac{1.999}{0.0577} \approx 34.6$
7. Niemand stellt einen Kanal auf 1,999 ein. Rundest du den Regler auf 2,0 m/s, zeigt die Zeile 79.728. Das ist 0,05 % zu hoch, und 0,05 % einer Reynolds-Zahl liegen weit unterhalb dessen, was die Instrumente im Wasserkanal überhaupt auflösen können.
  
  $v_{m} = 2.0 \Rightarrow Re_{m} = 79, 728, \frac{79 , 728}{79 , 691} - 1 = 0.05%$
Antwort

Etwa 2,0 m/s durch ein 40-mm-Modell. Die exakte Anforderung lautet 1,999 m/s. Die Seite gibt eine Reynolds-Zahl für eine einzige Einstellung aus. Ihr eigentlicher Nutzen liegt jedoch im Vergleichen von zwei Zuständen. Genau deshalb ist 79.689 neben 79.691 die korrekte Antwort und kein Zufall. Was vom Modell zurück auf den Kanal übertragen wird, ist dimensionslos. Reibungsfaktor und Druckbeiwert lassen sich übertragen, Pascal und Newton hingegen nicht. Eine im Wasser gemessene Druckdifferenz wird über das Verhältnis von ρv² umgerechnet: 998,2 × 2,0² gegenüber 1,204 × 3,0². Der Wasserkanal misst also den 368-fachen Druck des Lüftungskanals.

$v_{m} = v_{d} \frac{D _{d}}{D _{m}} \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 10}{15.007} = 1.999 m/s$

Quellen (2)

Where the number and the threshold come from: O. Reynolds, "An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 174, 1883, pp. 935–982.
What the lower threshold actually marks, measured by timing whether turbulence survives: K. Avila, D. Moxey, A. de Lozar, M. Avila, D. Barkley & B. Hof, "The Onset of Turbulence in Pipe Flow." Science 333(6039), 2011, pp. 192–196.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.