Snelliussches Brechungsgesetz Simulator

Licht trifft bei 30° auf Wasser. Finde heraus, wohin es verläuft und wie viel reflektiert wird — finde dann den Winkel, unter dem ein Fisch überhaupt nicht mehr nach draußen sehen kann. n₁ = 1.00 (Luft), n₂ = 1.33 (Wasser).

1. Brechung ist eine Aussage über die Komponente der Welle entlang der Oberfläche: Sie muss auf beiden Seiten übereinstimmen, sonst würden die Wellenfronten reißen. Diese Anpassungsbedingung ist das Snellius-Gesetz, und sie folgt genauso gut aus dem Fermatschen Prinzip.

   $$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$$

2. Löse nach dem Brechungswinkel auf. Der Simulator oben zeigt dies an, und der Strahl bricht sich zum Lot hin, weil er in das langsamere Medium eintritt.

   $$\sin {\theta }_2=\frac{1.00\sin 30^{\circ }}{1.33}=0.3759⟹{\theta }_2=22.08^{\circ }$$

3. Wie viel reflektiert wird, ist eine separate Frage, die das Snellius-Gesetz nicht beantworten kann — dazu werden die Fresnelschen Formeln benötigt, die die beiden Polarisationsrichtungen unterschiedlich behandeln.

   $$R_s={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_1-n_2\cos {\theta }_2}{n_1\cos {\theta }_1+n_2\cos {\theta }_2}\right|}^2,R_p={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_2-n_2\cos {\theta }_1}{n_1\cos {\theta }_2+n_2\cos {\theta }_1}\right|}^2$$

4. Unpolarisiertes Licht ist eine gleiche Mischung, also bilde den Mittelwert. Das Werkzeug zeigt diesen Wert an, und mit 2% ist dies der Grund, warum ein Fenster ein Fenster und kein Spiegel ist.

   $$R=\frac{1}{2}(R_s+R_p)=2.11\%$$

5. Kehre nun den Weg um. In der anderen Richtung — von Wasser zu Luft — gibt es einen Winkel, ab dem die Gleichung sin θ₂ > 1 verlangt, was keine Lösung hat.

   $$\text{water}\to \text{air}:{\theta }_c=\arcsin \frac{n_{\text{air}}}{n_{\text{water}}}=\arcsin \frac{1.00}{1.33}=48.75^{\circ }$$

Die Tafel bricht den Strahl auf 22,08° und meldet einen Reflexionsgrad von 2,11 %. Diese Zahl ist der Mittelwert zweier Größen, die sie nicht einzeln zeigt — und bei genau einem Winkel ist eine davon exakt null. Finde ihn.

1. Beginne mit der Brechung, die die Tafel druckt, direkt aus dem Snelliusschen Gesetz bei 30° in Wasser.

   $$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2:{\theta }_2=\arcsin \left(\frac{1.00}{1.33}\sin 30^{\circ }\right)=22.08^{\circ }$$

2. Sieh nun genauer hin, was der Reflexionsgrad eigentlich ist. Licht hat zwei Polarisationen bezüglich der Fläche, sie reflektieren unterschiedlich stark, und 2,11 % ist ihr Mittel. Mitteln lohnt nur, wenn beide vergleichbar sind.

   $$R=\frac{R_s+R_p}{2}=2.11\%,R_s\ne R_p$$

3. Schreibe den Fresnel-Koeffizienten der parallelen Polarisation hin und frage, wann sein Zähler verschwindet. Das ist eine ehrliche algebraische Frage mit exakter Antwort.

   $$R_p={\left|\frac{n_2\cos {\theta }_1-n_1\cos {\theta }_2}{n_2\cos {\theta }_1+n_1\cos {\theta }_2}\right|}^2=0⟺n_2\cos {\theta }_1=n_1\cos {\theta }_2$$

4. Diese Bedingung lässt sich zu etwas Bemerkenswertem umformen: sie gilt genau dann, wenn reflektierter und gebrochener Strahl senkrecht aufeinander stehen. Eingesetzt wird daraus ein einziger Tangens.

   $${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }⟹\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_1⟹\tan {\theta }_B=\frac{n_2}{n_1}$$

5. Setze das Wasser ein. Bei 53,06° reflektiert die parallele Komponente überhaupt nichts, und alles, was von der Fläche zurückkommt, ist in der anderen Richtung polarisiert.

   $${\theta }_B=\arctan \left(\frac{1.33}{1.00}\right)=53.06^{\circ },{\theta }_2=90^{\circ }-53.06^{\circ }=36.94^{\circ }$$

6. Beachte, wo das im Verhältnis zum anderen besonderen Winkel liegt, den das Werkzeug kennt — die Totalreflexion, die auf der anderen Seite der Grenzfläche und bei kleinerem Winkel wohnt.

   $${\theta }_c=\arcsin \left(\frac{1.00}{1.33}\right)=48.75^{\circ }<{\theta }_B$$