Drawdown und Volatilitätsbremse

Ein Rückgang von 50% braucht einen Anstieg von 100%, um ausgeglichen zu sein. Dieselbe Asymmetrie wirkt in jedem Jahr, ganz ohne Crash.

Rechenbeispiel — Drawdown und Volatilitätsbremse

Arithmetisches Mittel	11,86%
Jährliche Wachstumsrate (CAGR)	10,02%
Bremse (Mittel − Wachstumsrate)	1,84%
Halbe Varianz	1,86%
Größter Drawdown	64,8%
Nötiger Gewinn zur Erholung	+183,8%
Volatilitätsbremse	1,84%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Bremse ist kein Crash — sie ist der Preis der Fahrt 🖖

Zwei Portfolios können dieselbe Durchschnittsrendite erzielen und trotzdem an sehr verschiedenen Punkten enden, ohne dass in einem von beiden eine Katastrophe passiert wäre. Der Abstand liegt nahe der halben Varianz, und deshalb schlägt ein ruhigeres 8% ein wilderes 8%. An diesen Daten gemessen ist die Näherung eng: Das Verhältnis der tatsächlichen Bremse zur halben Varianz liegt zwischen 0,90 und 1,09 — über Aktienanteile von 0 bis 100% und über alle Teilzeiträume hinweg. Sie erklärt auch etwas, das wie ein Paradox aussieht: Das arithmetische Mittel einer Reihe ist die Zahl, die du nennen würdest, die Wachstumsrate ist die Zahl, die du bekommst — und nur für die zweite kannst du dir etwas kaufen.

Das flachste Portfolio ist nicht dasjenige ohne Aktien 🖖

Setze den Aktienanteil auf 0 und der tiefste Einbruch liegt bei 21,5 % mit dem Tiefpunkt im Jahr 2022. Erhöhe ihn und die Zahl geht nach unten — 18,8 % bei 10 %, dann 17,9 % von 14 % bis hin zu 28 % —, bevor sie wieder zu steigen beginnt: 18,7 % bei 30 %, 25,6 % bei 40 %, 64,8 % bei 100 %. Das Tiefjahr springt zwischen 28 und 29 % von 2022 auf 1931. Zwei verschiedene Katastrophen konkurrieren um den Titel, und die flachste Mischung in dieser Historie ist diejenige, die von jeder Anlage genug hält, sodass keine von beiden gewinnt. Die beiden Enden des Aktienfeldes zeigen das nicht; nur die 1 %-Schritte dazwischen tun es.

Dreizehn Jahre, in denen der Volatilitätsverlust höher war als die Marktrendite 🖖

Klick bei 100 % Aktienanteil auf Verlorenes Jahrzehnt, 2000. Zwei der vier Karten zeigen Werte, deren Widerspruch leicht zu übersehen ist: Die geometrische Rendite beträgt 1,63 % pro Jahr, der Volatilitätsverlust dagegen 1,78 %. Die Volatilität kostete mehr, als das Portfolio einbrachte. Das ist durchaus möglich: Der Volatilitätsverlust entspricht ungefähr der halben Varianz, während für die geometrische Rendite nur übrig bleibt, was nach diesem Abzug vom Mittelwert verbleibt. Jedes Zeitfenster mit einer im Verhältnis zum Mittelwert hohen Varianz zeigt denselben Effekt. Senkst du den Aktienanteil für dieselben dreizehn Jahre auf 60 %, fällt der Volatilitätsverlust auf 0,36 % bei einer geometrischen Rendite von 4,57 %: Statt die gesamte Rendite zu übersteigen, macht er nur noch rund 8 % davon aus.

Aufgabe vollständig gelöst

Vier Jahresrenditen, die die Tiefe des Crashs von 1929–1932 bestimmen 6 Schritte
Vier Jahresrenditen bestimmen die Tiefe des Crashes von 1929–1932. Der Gewinn, der ihn wieder ausgleicht, ist eine andere Zahl, und die Zeit, die dies dauern sollte, eine dritte — leiten Sie alle drei ab. Dies ist der Ausgangszustand des Werkzeugs: 100% Aktien über den gesamten 98-jährigen Zeitraum ab 1928, in dem auf der Karte Jährliche Wachstumsrate 10,02% steht.
1. Ein Jahr multipliziert Ihr Geld mit 1 + r und tut weiter nichts damit; vier schlechte Jahre in Folge sind also ein Produkt und keine Summe. Wandeln Sie die Renditen zuerst in Faktoren um. Es handelt sich um die jährlichen Gesamtrenditen des S&P 500 für diese Jahre aus dem Datensatz, der unter Woher die Zahlen stammen genannt ist.
  
  $r_{1929 \dots 1932} = - 8.30%, - 25.12%, - 43.84%, - 8.64% ⟹ 1 + r = 0.9170, 0.7488, 0.5616, 0.9136$
2. Multiplizieren Sie. Beachten Sie dann, was fehlt: 1928 brachte +43,81% und fehlt absichtlich, da ein Drawdown ein Verhältnis zum Höchststand ist und dieser Höchststand sich herauskürzt. Wie hoch Sie zuvor gestiegen sind, kann das Loch weder flacher noch tiefer machen. Die Karte Maximaler Drawdown stimmt dem zu, und ihr Hinweis nennt dieselben zwei Jahre.
  
  $\frac{V _{1932}}{V _{1928}} = 0.9170 \times 0.7488 \times 0.5616 \times 0.9136 = 0.352305 ⟹ L = 1 - 0.352305 = 64.8%$
3. Herauszuklettern bedeutet, wieder auf 1 hochzumultiplizieren; der erforderliche Gewinn ist also der Kehrwert minus eins. Nehmen Sie ihn von 0,352305 und nicht von den angezeigten 64,8%: Eine Dezimalstelle reicht aus, um eine Tiefe anzuzeigen, aber nicht, um sie zu invertieren. Die gerundete Version ergibt 184,1%, einen Drittelpunkt über dem, was die Karte angibt.
  
  $g = \frac{1}{0.352305} - 1 = 2.83845 - 1 = + 183.8% (\frac{1}{1 - 0.648} - 1 = 184.1%)$
4. Das ist die Asymmetrie im Allgemeinen. Die Hälfte zu verlieren erfordert eine Verdopplung; 64,77% zu verlieren erfordert fast eine Verdreifachung. Jeder Gewinn wird an der kleineren Zahl gemessen; wenn der Verlust wächst, schrumpft also der Nenner, und die Anforderung läuft ihm davon.
  
  $g (L) = \frac{1}{1 - L} - 1 : L = 0.5000 \Rightarrow + 100.0%, L = 0.6477 \Rightarrow + 183.8%$
5. Bringen Sie nun die Zeit ins Spiel. Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate ist die einzelne Rate, die das gesamte 98-jährige Fenster reproduziert; fragen Sie sich also, wie viele Jahre bei dieser Rate mit 2,83845 multiplizieren.
  
  $n = \frac{ln 2.83845}{ln 1.1002} = \frac{1.04326}{0.09549} = 10.9 yr$
6. Öffnen Sie Wie lange die Erholung dauerte und lesen Sie das Jahr ab. Der Höchststand von 1928 wird 1936 wieder erreicht — vier Jahre nach dem Tiefststand von 1932, nicht elf.
  
  $1936 - 1932 = 4 yr \neq = 10.9 yr$
Antwort

64,8% im Minus, +183,8% für die Erholung, und es dauerte vier Jahre, wo 10,02% pro Jahr 10,9 voraussehen. Eine zusammengesetzte Rate wird an ein ganzes Fenster angepasst, weshalb sie genau keinen Teilabschnitt zeitlich bestimmen kann. 1933 brachte +49,98%, 1935 +46,74% und 1936 +31,94%, während 1934 mit −1,19% unverändert blieb; diese vier Faktoren multiplizieren sich zu 2,869 und übertreffen die erforderlichen 2,838 bei einer impliziten Rate von 30,15% pro Jahr. Erholungen erfolgen nicht mit der durchschnittlichen Rate. Sie erfolgen in zwei oder drei enormen Jahren, umgeben von einem gewöhnlichen Jahrzehnt — und diese Konzentration ist der fragile Teil: Streicht man 1933, multiplizieren sich die verbleibenden drei Jahre zu 1,913, weit unter den erforderlichen 2,838; ein einziges fehlendes Jahr dieser Art verschiebt die gesamte Erholung also über 1936 hinaus. Das Werkzeug gibt eine durchschnittliche Rate auf einer Karte und ein Kalenderjahr in einem ausgeblendeten Feld aus. Es berechnet weder die 10,9 Jahre noch den Abstand zwischen ihnen, und dieser Abstand ist der Grund, warum es sich lohnt, beide zusammen zu lesen.

$L = 1 - k = 1929 \prod 1932 (1 + r_{k}) = 64.8%, g = \frac{1}{1 - L} - 1 = + 183.8%, \frac{ln ( 1 + g )}{ln 1.1002} = 10.9 yr \neq = 4 yr$

Lernpfad

Risiko, gemessen

Führt zu Reihenfolge zählt die jährliche Wachstumsrate und den Grund, warum sie immer um etwa die halbe Varianz unter dem arithmetischen Mittel liegt.

Quellen (3)

Drawdown treated as the risk measure itself rather than as a symptom of variance: A. Chekhlov, S. Uryasev and M. Zabarankin, "Drawdown Measure in Portfolio Optimization." International Journal of Theoretical and Applied Finance 08(1), 13–58, 2005.
And a recent refinement of the same measure, for anyone who wants the conditional version: D. Rossello and S. Lo Cascio, "A refined measure of conditional maximum drawdown." Risk Management 23(4), 301–321, 2021.
Where the log-growth argument behind the compound rate comes from — why the geometric mean, not the arithmetic one, is what a repeatedly reinvested stake actually earns: J. L. Kelly Jr., "A New Interpretation of Information Rate." Bell System Technical Journal 35(4), 917–926, 1956.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

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Beispielaufgaben

Nur Aktien, ab 1928 - Die vollständige Zeitreihe bei 100% Aktien, deren tiefster Rückgang unter den Höchststand der Einbruch von 1929-1932 ist.
60/40, ab 1928 - Dieselben 98 Jahre mit 40% in 10-jährigen US-Staatsanleihen, was den tiefsten Drawdown deutlich verkleinert.
Nur Anleihen, ab 1928 - Nur Staatsanleihen, deren größter Drawdown nominal nicht 1929 oder 2008 ist, sondern 2022 — real hat die lange Inflation von 1946 bis 1981 allerdings weit mehr gekostet.
Verlorenes Jahrzehnt, 2000 - 2000 bis 2012 bei 100% Aktien: zwei tiefe Einbrüche in einem einzigen Zeitraum — und am Ende kaum Wachstum vorzuweisen.