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Regression zur Mitte

Jede Person besitzt ein stabiles tatsächliches Können; jedes Ergebnis enthält zusätzlich einen Zufallsanteil. Lege fest, wie viel der Streuung auf Können und wie viel auf Zufall beruht. Wähle anhand eines Ergebnisses eine Gruppe aus und beobachte ihr Abschneiden bei der nächsten Messung. Die Seite berechnet die erwartete Änderung exakt und veranschaulicht sie anhand einer simulierten Grundgesamtheit. Die Rechnung steht in der Tabelle unter dem Diagramm.

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Lektion

Die Theorie — Regression zur Mitte

Setzt sich eine Messung aus tatsächlichem Können und unabhängigem Zufall zusammen, korrelieren zwei Messungen derselben Personen mit r = σS² ÷ (σS² + σL²). Dieser Wert gibt den Anteil der Varianz an, der auf das Können entfällt. Für eine Gruppe, die anhand extremer Werte bei einer Messung ausgewählt wurde, ist bei der anderen Messung ein Mittelwert von μ + r(x̄ − μ) zu erwarten: Ihr Abstand zum Mittelwert wird mit r multipliziert. Das ist die Regression zur Mitte. Sie benötigt keine Ursache und gilt in beide Richtungen. Die Streuung der Grundgesamtheit muss dabei nicht kleiner werden; hier bleibt sie gleich.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

r
die Korrelation zwischen zwei Messungen und der Anteil der Varianz, der auf das Können entfällt. 1 bedeutet: kein Zufall; 0 bedeutet: nur Zufall
σ_S
die Streuung des tatsächlichen Könnens in der Grundgesamtheit
σ_L
die Zufallsstreuung bei einer einzelnen Messung
μ
der Mittelwert der Grundgesamtheit, zu dem die Gruppe zurückkehrt
λ
die inverse Mills-Ratio: Der Mittelwert der ausgewählten Gruppe liegt λ Standardabweichungen von μ entfernt; bei einer oberen Gruppe beträgt er daher μ + σλ

Die Besten schneiden beim nächsten Mal schlechter ab, obwohl niemand schlechter geworden ist 🖖

Klick auf Obere 10 %, r = 0,5. Die Personen mit den höchsten Ergebnissen beim ersten Mal erreichen im Mittel 124,8; beim zweiten Mal sind im Mittel 112,4 zu erwarten. Niemand hat an Können verloren. Die besten 10 % waren im Durchschnitt besser und zugleich glücklicher als alle anderen. Beim zweiten Durchgang bleibt ihr Können erhalten, während der Zufall neu wirkt. Der erwartete zweite Wert ist μ + r(x̄ − μ): Bei r = 0,5 bleibt die Hälfte des Abstands zum Mittelwert bestehen. Klick auf Perfekte Reliabilität. Ohne Zufall gibt es nichts zu verlieren, daher ändert sich nichts. Bei Reiner Zufall gibt es kein Können, das erhalten bleiben könnte; die Gruppe fällt vollständig auf 100 zurück.

Bei den Schlechtesten scheint selbst eine wirkungslose Behandlung zu helfen 🖖

Klick auf Behandelte untere 10 %. Die Personen mit den niedrigsten Ergebnissen erhalten eine Behandlung, deren Effekt genau null ist. Beim nächsten Durchgang haben sie sich dennoch um 12,4 Punkte verbessert. Ob Nachhilfe, Heilmittel oder neue Führungskraft: Setzt man eine Maßnahme bei denjenigen ein, die zuletzt am schlechtesten abgeschnitten haben, erscheint sie ohne Vergleichsgruppe ungefähr um diesen Betrag wirksamer, als sie tatsächlich ist. Daniel Kahneman berichtet von Fluglehrern, die überzeugt waren, Anschreien nach einer schlechten Landung helfe, während Lob nach einer guten Landung schade. In beiden Fällen kehrten die Ergebnisse lediglich zum Mittelwert zurück. Klick auf Mit Kontrollgruppe. Die Hälfte der Schlechtesten wird behandelt, die andere Hälfte nicht. Beide verbessern sich um etwa 12 Punkte. Das einzig ehrliche Maß für die Wirkung, der Unterschied zwischen den beiden Gruppen, beträgt im Erwartungswert null.

Die Regression verläuft auch rückwärts, ohne dass sich alle einander annähern 🖖

Klick auf Größe: Eltern und Kind: Die größten 10 % der Eltern sind im Mittel 187,4 cm groß; für ihre Kinder sind im Mittel 181,2 cm zu erwarten. Francis Galton veröffentlichte diesen Zusammenhang 1886 anhand der Körpergrößen von Eltern und ihren erwachsenen Kindern und nannte ihn Regression zur Mittelmäßigkeit. Klick nun auf Körpergröße, rückwärts und wähle stattdessen die größten Kinder aus. Für ihre Eltern ist in diesem Modell eine geringere mittlere Körpergröße zu erwarten, und zwar um denselben Betrag, da beide Generationen gleich stark streuen. Es wirkt also keine Kraft, die Menschen mit der Zeit zum Durchschnitt zieht. Auch die Streuung nimmt nicht ab: Die Tabelle zeigt für beide Messungen nahezu denselben Wert, 7,09 und 7,10 cm. Bei jeder Messung stehen andere Personen an den Rändern, weil das Zufallsglück jedes Mal andere trifft.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Wie weit das obere Zehntel zurückfällt 5 Schritte

    Die Ergebnisse eines Tests haben den Mittelwert 100. Das tatsächliche Können streut mit 10, der Zufall bei einem einzelnen Durchgang ebenfalls mit 10. Die besten 10 % des ersten Durchgangs werden erneut getestet. Bestimme ihren Mittelwert im ersten Durchgang und den erwarteten Mittelwert im zweiten. Klick zur Kontrolle auf Obere 10 %, r = 0,5.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. Die Korrelation zwischen den Durchgängen entspricht dem Anteil der Varianz, der auf das Können entfällt. Für die Gesamtstreuung gilt:

    2. Die besten 10 % beginnen beim 90. Perzentil, also 1,2816 Standardabweichungen über dem Mittelwert:

    3. Aus der Höhe der Normalverteilung und der verbleibenden Fläche ergibt sich für alle Werte oberhalb dieses Grenzwerts der Mittelwert:

    4. Beim zweiten Durchgang bleibt im Erwartungswert nur der Anteil r des Abstands zu μ erhalten:

    5. Die Gruppe fällt daher voraussichtlich um:

    Antwort

    Das obere Zehntel erreicht beim ersten Mal im Mittel 124,8; beim zweiten Mal sind im Mittel 112,4 zu erwarten. Das entspricht einem Rückgang um 12,4 Punkte, obwohl sich das Können von niemandem verändert hat. Ihr tatsächliches Können liegt die ganze Zeit über im Erwartungswert bei 112,4. Der zweite Durchgang ist nicht durch den Zufall verzerrt, der zur Auswahl geführt hat, denn dieser Zufall wird nicht noch einmal ausgewählt.

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.