Ecuación de Tsiolkovski

Δv = Isp · g₀ · ln(m₀/mf) — la ecuación que rige el vuelo espacial

Valores iniciales — Ecuación de Tsiolkovski

Impulso específico (Isp, s)	311
Relación de masa (m₀/mf)	4.5

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la tiranía de la ecuación del cohete 🖖

Cada kilogramo de carga útil necesita propelente para acelerarse — pero ese propelente también tiene masa, que necesita más propelente. El coste crece exponencialmente. Para duplicar el delta-v, hay que aproximadamente elevar al cuadrado la relación de masa. Por eso el Saturn V pesaba 2.900 toneladas al despegue y solo entregó 45 toneladas a la Luna. Mira la animación: en el encendido el tanque de propelente domina todo el cohete; al final de la combustión casi nada queda.

Por qué los cohetes lanzan masa hacia atrás 🖖

Un cohete no tiene contra qué empujar, así que avanza expulsando propelente por detrás: cada kilogramo lanzado hacia atrás a la velocidad de escape v_e empuja la nave hacia delante (tercera ley de Newton). Al sumar esos empujones mientras la nave se aligera, aparece el logaritmo. La lección práctica: lo rápido que expulses el gas — lo que mide el impulso específico — importa más que cuánto combustible lleves; duplicar v_e duplica tu Δv con exactamente la misma razón de masas.

La ecuación sobrevive a la relatividad 🖖

Sustituye el Δv newtoniano por la rapidez — la magnitud relativista que sigue sumándose de forma lineal — y se cumple exactamente la misma forma con el logaritmo de la razón de masas a cualquier velocidad. Así, el presupuesto de Δv de un cohete no tiene techo aunque su velocidad nunca pueda alcanzar c. La trampa es brutal: un cohete de fotones de materia y antimateria (v_e = c) necesita para 0.9c una razón de masas cercana a 4.4, y un viaje de ida y vuelta que además frene en cada extremo lo eleva a la cuarta potencia — más de 350.

Problemas resueltos al detalle

Alcanzar la órbita con una relación de masa de 4,5 y 311 s de impulso específico 5 pasos
Una etapa lleva 3,5 toneladas de propelente por cada 1 tonelada de todo lo demás —depósitos, motor y carga útil combinados— tras un motor de 311 s de impulso específico. Halla su Δv y determina a continuación si una sola etapa construida así podría alcanzar la órbita. Esa relación de masa llena a vacía es una razón de masas de 4,5, y 311 s es la cifra del ajuste predefinido de la primera etapa del Saturno V en la herramienta: cerca del extremo superior del rango para queroseno y oxígeno, que va desde unos 260 s a nivel del mar hasta 310 s en el vacío.
1. El impulso específico expresado en segundos es la velocidad de escape disfrazada: es la velocidad de escape dividida por la gravedad estándar, de modo que al volver a multiplicarla se recupera el valor que exige la ecuación del cohete. Se utilizan segundos porque la cifra resulta así idéntica en unidades imperiales, no porque nada dure 311 s.
  
  $v_{e} = I_{s p} g_{0} = 311 \times 9.80665 = 3050 m/s$
2. El logaritmo toma una proporción, por lo que solo importan las relaciones relativas. Una etapa de 3 toneladas y una etapa de 3000 toneladas construidas con estas proporciones proporcionan los mismos 4,587 km/s.
  
  $Δ v = v_{e} ln (\frac{m _{0}}{m _{f}}) = 3.050 \times ln 4.5 = 3.050 \times 1.5041 = 4.587 km/s$
3. Si se expresa esta misma razón de masas como fracción de la masa de lanzamiento, casi cuatro quintas partes de la etapa son propelente, y esto apenas ha proporcionado menos de la mitad de lo que cuesta un lanzamiento a órbita.
  
  $f_{p} = 1 - \frac{m _{f}}{m _{0}} = 1 - \frac{1}{4.5} = 77.78%$
4. Así pues, apliquemos la ecuación a la inversa partiendo del objetivo. Alcanzar la órbita terrestre baja desde el suelo requiere unos 9,4 km/s una vez contabilizadas las pérdidas por arrastre aerodinámico y gravedad, y a esta velocidad de escape eso fija la razón de masas requerida, dejando un 4,6% de la masa de despegue para depósitos, motor, estructura y satélite en conjunto.
  
  $\frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{Δ v / v_{e}} = e^{9.4/3.050} = e^{3.082} = 21.80 ⟹ f_{p} = 1 - \frac{1}{21.80} = 95.4%$
5. Nadie construye depósitos tan ligeros. Una etapa de queroseno bien diseñada supone alrededor de un 8% de estructura en masa cargada, y eso por sí solo limita la razón de masas a 12,5 antes de añadir un solo kilogramo de carga útil. Lo que falta para llegar a 9,4 km/s es el déficit.
  
  $ε = 0.08 ⟹ (\frac{m _{0}}{m _{f}})_{m a x} = \frac{1}{0.08} = 12.5, Δ v_{m a x} = 3.050 ln 12.5 = 7.703 km/s (9.4 - 7.703 = 1.70)$
Respuesta

La herramienta muestra una velocidad de escape de 3050 m/s, 4,587 km/s de Δv y una fracción de propelente del 77,78%. El último paso explica la razón de ser de la ecuación, ya que no dice que una sola etapa vaya a ser difícil, sino que la Δv no alcanza, incluso con una carga útil igual a cero. Incluso con un 6% de estructura, cerca de lo mejor que logra una etapa grande de queroseno, el total solo alcanza 8,58 km/s. Cubrir 9,4 km/s en una sola etapa con un 8% de estructura requeriría un impulso específico de 380 s, una quinta parte más que este motor y por encima de cualquier motor de queroseno que haya volado jamás; los motores de hidrógeno-oxígeno alcanzan unos 450 s, motivo por el cual todo estudio serio sobre una sola etapa hasta la órbita ha sido con hidrógeno. La otra vía de escape es dejar de transportar el depósito vacío: al desprenderse de él, la ecuación vuelve a empezar con una m₀ mucho menor, lo que convierte la división en etapas no en una optimización, sino en la solución a una imposibilidad.

$I_{s p} \geq \frac{Δ v}{g _{0} ln ( 1/ ε )} = \frac{9400}{9.807 \times 2.526} = 380 s$
Coste de propulsor para un cohete que logra 4,587 km/s para alcanzar la órbita 6 pasos
El panel dice que este cohete alcanza 4,587 km/s con el 77,78 % de su masa inicial en propelente. Una órbita pide unos 9,4. El doble de velocidad no significa el doble de combustible: calcula lo que cuesta de verdad, y después cómo se le dio la vuelta al problema.
1. Empieza donde está el panel. La velocidad de escape de gases es el impulso específico por g₀, y el Δv sale solo de la razón de masas.
  
  $v_{e} = I_{s p} g_{0} = 311 \times 9.807 = 3050 m s^{- 1}, Δ v = v_{e} ln 4.5 = 4.587 km s^{- 1}$
2. Lee la fracción de propelente al pie de la letra: con una razón de 4,5, todo salvo una parte de 4,5 es combustible que se tira.
  
  $\frac{m _{p}}{m _{0}} = 1 - \frac{1}{4.5} = 0.7778$
3. Pídele ahora al mismo motor 9,4 km/s. Invierte la ecuación del cohete y la razón de masas no se duplica: se dispara exponencialmente hasta 21,80.
  
  $Δ v = 9.4 km s^{- 1} : \frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{9400/3050} = e^{3.082} = 21.80 ⟹ \frac{m _{p}}{m _{0}} = 0.9541$
4. Mira qué significa 95,41 % antes de seguir. Depósitos, motores, estructura, guiado y carga útil se reparten el 4,59 % de la masa en la rampa. No es un objetivo difícil de ingeniería: es aproximadamente una pompa de jabón que debe sobrevivir a un lanzamiento.
5. Parte entonces el trabajo en dos. Cada etapa hace 4,7 km/s y necesita una razón de 4,669 — y multiplicadas devuelven exactamente 21,80.
  
  $Δ v_{1} = Δ v_{2} = 4.7 : R_{1} = e^{4700/3050} = 4.669, R_{1} R_{2} = 4.66 9^{2} = 21.80$
6. Por qué multiplicadas: el Δv se suma, y el Δv es un logaritmo de la razón. Una suma de logaritmos es el logaritmo de un producto.
  
  $i \sum Δ v_{i} = v_{e} i \sum ln R_{i} = v_{e} ln i \prod R_{i}$
Respuesta

Las etapas no reducen la razón de masas: la factorizan. 21,80 es inalcanzable de una pieza y trivial como dos copias de 4,669, y el truco es honesto porque los depósitos vacíos de la primera etapa dejan de ser carga en el instante en que se sueltan. Cada etapa queda entonces al 78,58 % de propelente — y vuelve a mirar el panel, que lleva todo el rato marcando 77,78 %. La configuración no es un cohete que alcanza la órbita: es una etapa de un cohete que sí lo hace.

$i \prod R_{i} = 21.80 : 95.41% ⟷ 78.58% + 78.58%$

Ruta de aprendizaje

Órbitas a partir de dos números

Referencias (1)

The equation itself: K. E. Tsiolkovsky, "Исследование мировых пространств реактивными приборами" ("Exploration of Outer Space by Means of Rocket Devices"). Nauchnoye Obozreniye, 1903.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Saturn V primera etapa - Isp=311s, relación de masas=4.5 → Δv≈4.6 km/s, fracción de propelente 78%
Falcon 9 (nivel del mar) - Isp=282s, relación de masas=6 → Δv≈5.0 km/s, fracción de propelente 83%
Propulsor iónico - Isp=3000s, relación de masas=12 → Δv≈73 km/s (propulsor iónico: empuje mínimo, Δv enorme)
Cohete amateur - Isp=130s, relación de masas=2.5 → Δv≈1.2 km/s, fracción de propelente 60%