Partículas cargadas en un campo magnético

Elige una partícula, el voltaje que la aceleró y la intensidad del campo que atraviesa. La página calcula el círculo sobre el que se mueve, cuánto tarda una vuelta incluyendo la relatividad y qué le hacen ese mismo voltaje y campo a otras cinco partículas.

Ejemplo resuelto — Partículas cargadas en un campo magnético

Energía en reposo	938,272 MeV
Energía cinética por el voltaje	10,00 keV
Factor de Lorentz γ	1,000011
Velocidad	1,384×10⁶ m/s
Momento	2,315×10⁻²¹ kg·m/s
Radio del círculo	9,633 mm
Tiempo de vuelta sin relatividad	43,73 ns
Tiempo de la vuelta	43,73 ns

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Partículas cargadas en un campo magnético

Una carga q que se mueve con velocidad v a través de un campo magnético B siente la parte magnética de la fuerza de Lorentz, F = q v × B: en ángulo recto tanto con la velocidad como con el campo, de magnitud qvB cuando ambos son perpendiculares. Una fuerza que siempre forma un ángulo recto con el movimiento no realiza trabajo, por lo que la velocidad nunca cambia y solo lo hace la dirección, y la trayectoria es un círculo. Su radio es r = p/(|q|B), el momento dividido por la carga multiplicada por el campo, y una vuelta tarda T = 2πγm/(|q|B). A velocidades muy por debajo de la de la luz, γ vale 1 hasta muchos decimales y el tiempo de la vuelta no depende para nada de la velocidad; su inversa, qB/(2πm), es la frecuencia de ciclotrón.

Qué significa cada símbolo

q: la carga de la partícula, en culombios: un número entero de cargas elementales e = 1,602176634×10⁻¹⁹ C. Su signo determina la dirección de giro
B: el campo magnético, en teslas, igual en todos los lugares por los que pasa la partícula
r: radio del círculo. Lo define el momento, no la velocidad ni la energía por sí solas
T_0: el tiempo de la vuelta omitiendo la relatividad, 2πm/(|q|B)
γ: el factor de Lorentz, 1 + K/(mc²). El verdadero tiempo de la vuelta es γT₀

Supone: Un campo que es uniforme y constante, y una partícula moviéndose exactamente a través de él: cualquier parte de la velocidad a lo largo del campo no se ve afectada, y el círculo se convierte en una hélice. Un vacío, para que nada frene a la partícula. Se asume que la partícula no irradia, aunque una carga dando vueltas sí lo hace; para el ajuste del electrón la energía que irradia en una vuelta es inferior a una millonésima de electronvoltio, pero a un gigaelectronvoltio en un campo fuerte se convierte en una pérdida real, motivo por el que los sincrotrones de electrones tienen que seguir inyectando energía. Los iones de uranio son átomos con una sola carga, su masa es la masa atómica menos un electrón.
Falla cuando: La relatividad está integrada, por lo que una partícula rápida no rompe la página. Lo que la rompe es el imán: un campo real se debilita hacia su borde, y en un ciclotrón tiene que moldearse tanto para mantener el haz enfocado como para mantenerse cerca de la resonancia, que es el tema del artículo de Rose de 1938. En un ciclotrón en funcionamiento el campo eléctrico en la separación añade energía cada media vuelta, por lo que la trayectoria real es una espiral de semicírculos de radio creciente en lugar de un solo círculo. Además, muchos iones en un mismo haz se repelen entre sí y dispersan el rayo, un problema lo bastante grande como para figurar en el título del informe de William Parkins sobre el calutrón en tiempos de guerra.

El doble de rápido, un círculo el doble de grande, los mismos 43,73 ns 🖖

Pulsa primero Protón, 10 kV y después Protón, 40 kV. Al cuadruplicar la energía, se duplica la velocidad y con ella el radio de la circunferencia, que pasa de 9,633 a 19,27 mm. En ambos casos, la vuelta dura 43,73 ns. La velocidad se simplifica: el radio es mv/(qB), la vuelta es 2πr/v y queda 2πm/(qB), sin ninguna v. El artículo de 1932 sobre el ciclotrón, firmado por Ernest Lawrence y Stanley Livingston, se apoya en esa simplificación. La semicircunferencia le lleva el mismo tiempo incluso a un protón más rápido. Por eso, una radiofrecuencia fija aplicada al entrehierro entre los dos electrodos huecos puede impulsarlo en el momento preciso mientras describe una espiral hacia fuera. Así obtuvieron protones de 1,22 MeV con un tubo al que nunca se aplicaron más de 4.000 V. En el panel con las tres órbitas, los puntos indican la posición en cada órbita a intervalos de un cuarto del período clásico; a estas energías, los puntos de las tres circunferencias quedan alineados sobre los mismos cuatro radios.

Un protón de 20 MeV se retrasa un 2,132%, y una frecuencia fija no puede seguirlo 🖖

El tiempo exacto de la vuelta es 2πγm/(qB), y γ crece con la energía. Protón, 20 MV tiene γ = 1,021316, por lo que cada vuelta tarda 44,66 ns en lugar de 43,73, mientras que la radiofrecuencia que lo impulsa sigue sintonizada con el protón lento. Cada vuelta llega un poco más tarde al hueco entre electrodos, y el retraso se acumula hasta que llega cuando el campo apunta en la dirección equivocada. Para un electrón el rango útil es minúsculo. Ajústalo a 20 kV y su vuelta ya es un 3,914% más larga; Electrón, 1 MV tiene γ = 2,956951, una vuelta casi tres veces más larga que su valor lento. El segundo panel dibuja T ÷ T₀ para cuatro partículas; cada curva sube cuando la energía cinética alcanza un pequeño porcentaje de la energía en reposo, que para un electrón son decenas de keV y para un protón decenas de MeV. M. E. Rose calculó en 1938 que con 50 kV en los electrodos y un campo cuidadosamente moldeado, un ciclotrón de frecuencia fija podía llevar protones a 13,9 MeV, o a 14,9 con un campo más complicado. El problema resuelto de abajo hace una estimación más aproximada de ese techo, y descubre por qué solo sube como la raíz cuadrada del voltaje.

El uranio-238 es un 1,28% más pesado y su círculo solo un 0,638% más ancho 🖖

Toda partícula que atraviesa el mismo voltaje obtiene la misma energía por unidad de carga, y el momento de una partícula lenta es √(2mK), por lo que para la misma carga el radio varía según la raíz cuadrada de la masa. Uranio-235, 35 kV gira a 1,2145 m. En la tabla adjunta, el uranio-238, con 238,0502 u frente a 235,0434, gira a 1,2223 m: un 1,28% más de masa, un radio 1,00638 veces mayor. En un instrumento que desvía el haz a través de medio círculo hacia un colector, los dos isótopos aterrizan separados por 15,5 mm, el doble de la diferencia de los radios. Esa es toda la separación que les da un imán con estos ajustes, y es el método que usaban los calutrones durante la guerra para separar el uranio-235.

Problema resuelto al detalle

¿Hasta dónde puede empujar a un protón un ciclotrón de frecuencia fija? 6 pasos
Un ciclotrón tiene un imán de 1,5 T, electrodos huecos de 0,5 m de radio y proporciona a un protón 100 keV cada vuelta. Encuentra la radiofrecuencia a la que tiene que funcionar, la energía de un protón que llega al borde, y si una frecuencia fija puede llevarlo hasta allí. Pulsa Protón, 10 kV para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. La frecuencia es la frecuencia de ciclotrón de un protón lento, que la página muestra a 10 kV:
  
  $f_{0} = \frac{q B}{2 π m} = \frac{1 . 602177 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 . 5}{2 π \times 1 . 672622 \times 1 0 ^{- 27}} = 22.87 MHz T_{0} = 43.73 ns$
2. En el borde el radio es de 0,5 m, así que el momento es qBR. Escrito como pc es una energía:
  
  $p c = q B R c = 1.602177 \times 1 0^{- 19} \times 1.5 \times 0.5 \times 2.997925 \times 1 0^{8} J = 224.84 MeV$
3. La energía cinética es la energía total menos la energía en reposo. Omitir la relatividad daría 26,94 MeV, un 1,4% de más:
  
  $K = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2} - m c^{2} = 224.8 4^{2} + 938.2 7^{2} - 938.27 = 26.56 MeV \frac{( p c ) ^{2}}{2 m c ^{2}} = 26.94 MeV$
4. A esa energía γ es 1,028312, por lo que una vuelta en el borde tarda un 2,83% más que una vuelta en el centro:
  
  $γ = 1 + \frac{26 . 56}{938 . 27} = 1.028312 \Rightarrow T_{rim} = 1.028312 T_{0}$
5. A 100 keV por vuelta el protón necesita 266 vueltas para llegar allí. En la vuelta k llega con un retraso de γ − 1 = kΔE/mc², como fracción de vuelta, y el retraso se acumula, hasta alcanzar 3,78 ciclos enteros de la radiofrecuencia para cuando llegaría al borde:
  
  $n = \frac{26 . 56}{0 . 1} \approx 266 k = 1 \sum n \frac{k Δ E}{m c ^{2}} = \frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{0 . 1}{938 . 27} \times \frac{266 \times 267}{2} = 3.78$
6. Solo se ve empujado hacia adelante mientras el campo en la separación apunta hacia adelante, durante la mitad de cada ciclo, por lo que deja de ganar energía una vez que el retraso acumulado alcanza medio ciclo, π de fase:
  
  $\frac{Δ E}{m c ^{2}} \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow n (n + 1) = \frac{938 . 27}{0 . 1} = 9383 \Rightarrow n = 97, K = 9.7 MeV \approx m c^{2} Δ E = 9.69 MeV$
Respuesta

El imán puede retener un protón de 26,56 MeV en su borde; una frecuencia fija puede acelerar uno hasta unos 9,7 MeV a 100 keV por vuelta, y entonces el protón pierde el paso. Cuadruplica la energía por vuelta a 400 keV y el techo solo se duplica, hasta 19,2 MeV, porque varía según √(mc²·ΔE). Esta estimación otorga a cada vuelta los 100 keV completos, lo cual es generoso; el cálculo de Rose de 1938, con un campo moldeado, alcanzó 13,9 MeV con 50 kV en los electrodos y halló la misma ley de raíz cuadrada. Las máquinas que llegaron más lejos reducen la frecuencia a medida que el protón gana energía, lo que reincorpora la γ que una frecuencia fija deja fuera.

$K_{m a x} \approx m c^{2} Δ E : Δ E = 100 keV \Rightarrow 9.7 MeV, Δ E = 400 keV \Rightarrow 19.2 MeV$

Referencias (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.