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Regresión a la media

Todas las personas tienen una habilidad real constante, y cada puntuación le suma algo de suerte. Elige cuánta dispersión se debe a la habilidad y cuánta a la suerte, selecciona un grupo según su puntuación y comprueba cómo le va en la siguiente. La página calcula el cambio exacto esperado y simula una población para ilustrarlo. La tabla debajo del gráfico realiza los cálculos matemáticos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Regresión a la media

Cuando una medida suma la habilidad real y la suerte independiente, dos medidas de las mismas personas se correlacionan con r = σS² ÷ (σS² + σL²), la proporción de la varianza que corresponde a la habilidad. Se espera que un grupo seleccionado por obtener puntuaciones extremas en una medida obtenga μ + r(x̄ − μ) en la otra: su distancia respecto a la media multiplicada por r. Esto es la regresión a la media. No necesita causa alguna, funciona en ambas direcciones y no requiere que la dispersión de la población se reduzca: aquí se mantiene igual.

Qué significa cada símbolo

r
la correlación entre dos medidas, la proporción de la varianza debida a la habilidad. 1 significa cero suerte, 0 significa pura suerte
σ_S
la dispersión de la verdadera habilidad en la población
σ_L
la dispersión de la suerte en una sola medida
μ
la media de la población, el punto hacia el que regresa el grupo
λ
la razón de Mills inversa: la media del grupo seleccionado se sitúa a λ desviaciones estándar de μ, por lo que es μ + σλ para un grupo superior

Los mejores lo hacen peor la próxima vez, y nadie empeoró 🖖

Pulsa 10 % superior, r = 0,5. Quienes obtuvieron la puntuación más alta la primera vez promedian 124,8, y se espera que en la segunda ocasión promedien 112,4. Nadie perdió habilidad alguna. El 10 % superior era, en promedio, mejor y más afortunado que los demás. En la segunda prueba la habilidad se mantiene, pero la suerte se reparte de nuevo. La segunda puntuación esperada es μ + r(x̄ − μ): con r = 0,5, sobrevive la mitad de la distancia hasta la media. Pulsa Fiabilidad perfecta y verás que no hay suerte que perder, por lo que nada se mueve. Pulsa Pura suerte y no quedará habilidad que conservar, haciendo que el grupo caiga por completo hasta 100.

Un tratamiento que no hace nada funciona con los peores 🖖

Pulsa El 10 % peor tratado. Quienes obtuvieron las puntuaciones más bajas reciben un tratamiento cuyo efecto se ha ajustado exactamente a cero, y en la siguiente sesión han mejorado en 12,4 puntos. Cualquier tutor, remedio o gerente nuevo que se asigne a quienes lo hicieron peor la última vez parecerá mejor de lo que es, por este mismo margen aproximadamente, a menos que exista un grupo de comparación. Daniel Kahneman habla de instructores de vuelo convencidos de que gritar a un cadete tras un mal aterrizaje daba resultado y de que elogiarlo tras uno bueno resultaba contraproducente: en ambos casos, las puntuaciones simplemente regresaban hacia la media. Pulsa Con grupo de control. La mitad de los peores reciben el tratamiento y la otra mitad no; ambos ganan unos 12 puntos. La única medida honesta del tratamiento, la diferencia entre los dos, arroja una esperanza de cero.

Funciona hacia atrás en el tiempo, y nadie converge 🖖

Pulsa Estatura padres e hijos: los progenitores del 10 % más alto promedian 187,4 cm y se espera que sus hijos promedien 181,2. Francis Galton publicó esto en 1886, a partir de las estaturas de padres y sus hijos adultos, y lo llamó regresión a la mediocridad. Ahora pulsa Estatura hacia atrás: selecciona en su lugar a los hijos más altos y, en este modelo donde ambas generaciones tienen la misma dispersión, se espera que sus progenitores sean más bajos que ellos exactamente en la misma medida. Por tanto, no es una fuerza que arrastre a las personas hacia la media a lo largo del tiempo. Tampoco se reduce la dispersión: la tabla muestra casi el mismo nivel de dispersión en ambas medidas, 7,09 y 7,10 cm. Las personas en los extremos son reemplazadas por otras personas en los extremos cada vez, simplemente porque la suerte favorece a personas distintas.

Problema resuelto al detalle

  1. Cuánto cae la décima parte superior 5 pasos

    Las puntuaciones de una prueba tienen una media de 100. La dispersión de la habilidad real es 10 y la dispersión de la suerte en una sola sesión también es 10. El 10 % superior de la primera sesión se examina de nuevo. Halla su promedio en la primera sesión y su promedio esperado en la segunda. Pulsa 10 % superior, r = 0,5 para comprobarlo.

    Abre este problema en la herramienta

    1. La correlación entre sesiones es la proporción de la varianza que corresponde a la habilidad, y de ahí se deriva la dispersión total:

    2. El 10 % superior comienza en el percentil 90, esto es, 1,2816 desviaciones estándar por encima de la media:

    3. La media de todas las personas por encima de ese corte, a partir de la altura y la cola de la curva normal en ese punto:

    4. En la segunda sesión, la media esperada mantiene tan solo la fracción r de la distancia respecto a μ:

    5. Así que se espera que el grupo caiga en:

    Respuesta

    La décima parte superior promedia 124,8 la primera vez y se espera que promedie 112,4 la segunda, una caída de 12,4 puntos sin que la habilidad de nadie haya cambiado. Se espera que su verdadera habilidad media sea de 112,4 en todo momento: la segunda sesión no está sesgada por la suerte que los seleccionó, puesto que esa suerte no se selecciona de nuevo.

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.