Ilm ruudustikul

Prognoos on ruudustikul asuv väli, mida viib edasi kell. Kui need kaks aga teineteisega vastuollu satuvad, hakkab isegi veatu füüsikaga mudel andma arve, mida reaalses atmosfääris kunagi ei eksisteeri.

Näidisarvutus — Ilm ruudustikul

Ruudustiku samm	1,000 km
Couranti arv	1,000
Kui kaugele tuul ühe sammuga jõuab	1,000 km
Kas see arvutus jääb stabiilseks?	jah
Kujundi säilinud kõrgus	100,0%
Viga võrreldes täpse lahendiga	5,4 × 10⁻²²
Suurim väärtus mis tahes sammul	1,000
Simuleeritud aega	11,11 h

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Ilm ruudustikul

Prognoosimudel hoiab atmosfääri numbritena ruudustikul ja liigutab neid ajasammude kaupa edasi. Kõige lihtsam tegevus on advektsioon: tuul kannab mustrit endaga kaasas, ∂u/∂t + c ∂u/∂x = 0. See lehekülg lahendab advektsiooni 160 km pikkusel ringil. Lahendusviisi valik on oluline, kuna advektsioonil on täpne lahend – pärast aega t on väli lihtsalt algne väli, mida on nihutatud c·t võrra, ja ei midagi muud. Seetõttu mõõdetakse siin iga viga tegelikkuse, mitte lihtsalt tihedama arvutuse suhtes. Couranti arv ν = c·Δt/Δx näitab, mitu ruutu tuul ühe sammuga läbib. CFL-i tingimus ν ≤ 1 on reegel, millele siinsed ilmutatud skeemid alluvad või siis ebaõnnestuvad. Courant, Friedrichs ja Lewy avaldasid selle 1928. aastal, kaheksateist aastat enne, kui keegi üldse numbrilise prognoosi käivitas.

Mida iga sümbol tähendab

c: tuule kiirus ühikutes m/s. Siin on see konstantne, kuid päris mudelis on see pigem osa vastusest kui seadistus
Δx: ruudustiku samm, mis võrdub 160 km jagatuna ruutude arvuga
Δt: ajasamm sekundites
ν: Couranti arv, c·Δt/Δx. Kogu selle lehe sisu taandub küsimusele, kas see arv on üle või alla 1
N: ruutude arv ringil, alates 10 kuni 400

Eeldab: Üks võrrand, üks mõõde, üks tuulekiirus ja ilma servadeta ring. Kuna täpne lahend on teada, siis näidatakse vaid skeemi enda viga ja ei midagi muud. Samuti eeldatakse ilmutatud skeemi kasutamist, kus iga uus väärtus arvutatakse ainult vanade põhjal. Just sellise eelduse ümber CFL-i tingimus tegelikult keerlebki, ja tõeline mudel püüab sellest osaliselt kõrvale hiilida.
Ei kehti, kui: See eeldus murdub enamiku asjade puhul, millega prognoosikeskus tegeleb. Tõeline mudel kannab korraga mitut lainekiirust ja neist kiireim on heli, umbes 340 m/s. CFL-i tingimuse järgimine helilainete puhul, mida keegi niikuinii ei prognoosi, sunniks kasutama kolmkümmend korda väiksemat ajasammu, kui ilm vajaks. Seetõttu ongi operatiivsed mudelid pool-ilmutamata skeemidega, käsitledes neid laineid eraldi. Ka tuul pole pidevalt ühesugune. ν peab vastu pidama ruudustiku kõige kiiremale, mitte lihtsalt keskmisele tuulele. Piiratud alaga mudelil on ääred, ning nendega toimetulek on täiesti omaette uurimisteema. Ilmutamata skeem pääseb CFL-i piirangust täielikult, makstes selle eest hinda, kus igal sammul tuleb maatriksist ülekäimise asemel lahendada võrrandisüsteem.

Kella määrab ruudustik, mitte võrrand 🖖

Vajuta Täpselt piiril, seejärel Tihedam võrk, sama kell. Tuul, ajasamm ja võrrand on samad. Võrgusilmad kahanevad 1 km pealt 667 m peale ja miski muu ei muutu. Esimene arvutus on täpne. Teine ületab algse tipu kümnekordselt 44. sammul ja jõuab väärtuseni 1,8 × 10³⁰. Põhjus peitub tabeli kolmandal real. Tuul läbib ühe 100 s pikkuse sammuga 1,000 km. Kuni võrgusilm on vähemalt nii lai, pärineb sinna saabuv õhk kuskilt antud silma ja selle tuulepoolse naabri vahelt. Uus väärtus kujuneb seega nende kahe seguna. Täpselt nii vastutuuleskeem töötabki. Kui muuta võrgusilm kitsamaks, pärineb sinna saabuv õhk kaugemalt kui naaber, kellelt skeem andmeid küsib. Võrgusilma enda väärtuse kaal, 1 − ν, muutub negatiivseks. Negatiivne kaal ei keskmista. See võimendab. ν = c·Δt/Δx ≤ 1 on seesama lause sümbolite keeles. Võrgu tihendamine parandab mudeli füüsikat. Samas ohustab see aritmeetikat. Võrrandid ei ütle selle kohta sõnagi.

Piiri ületamine ei murra prognoosi kohe. See lihtsalt otsustab, et see juhtub. 🖖

Teine paneel varieerib Couranti arvu ja loendab samme, mis kuluvad välja kümnekordseks kasvamiseks. Väärtusel 1,05 võtab see aega 330 sammu, väärtusel 1,2 kulub 93 sammu ja väärtusel 2,0 vaid 19 sammu. Olles napilt üle piiri, väärtusel 1,01, kulub 1588 sammu. See on enam samme, kui esimesed kolm eelseadistust kokku teevad. Algsetes sammudes ei tundu miski valesti olevat. Kasv on eksponentsiaalne ning eksponentsiaalne kasv jääb nähtamatuks seni, kuni ta seda enam ei ole. Tulemust lugev sünoptik on arvutusressursi selleks ajaks juba ära kulutanud. Couranti arvu saab aga välja lugeda kolmest arvust juba enne arvutuse algust, ja just seal operatiivkeskus seda teebki.

Kõige täpsem seadistus asub läbikukkumise piiril 🖖

Täpselt ν = 1 juures pole vastutuuleskeem pelgalt täpne. See on veatu. Kõrvalekalle tegelikust vastusest on 5,4 × 10⁻²² ning kuju säilitab 100,0% oma kõrgusest. Couranti arv 1 muudab iga sammu puhtaks nihkeks ühe võrgusilma võrra. Nihe ongi advektsiooni kogu sisu. Iga väiksem väärtus hajutab kuju naabritesse, kuhu tuul polnud veel jõudnud. Samal 1 km võrgul möödunud 11,11 simuleeritud tunni järel säilitab ν = 0,99 oma kõrgusest 94,3%. Väärtuse ν = 0,90 puhul jääb alles 66,7%, ν = 0,50 annab tulemuseks 37,1% ning ν = 0,25 jätab järele 31,0%. Ohutuse nimel piirist eemale hoidmine on seega kindlaim viis ilmastikunähtus kaotada. Esimene pähe torkav lahendus teeb olukorra aga ainult hullemaks. Vajuta Parem skeem ja jälgi, kuidas vastutuuleskeemist suurusjärgu võrra väiksema kärpimisveaga meetod plahvatab poole Couranti piiri juures 39. sammul.

Ülesanne täielikult lahendatud

4 km mudelil kulub 40 minutit. Mida maksab aga 500 m arvutus? 7 sammu
4 km prognoosimudel arvutab oma ala läbi 40 minuti arvutiajaga. Sinult küsitakse, mida maksaks sama prognoosi tegemine 500 m sammuga. Arvuta see enne edasilugemist välja ja pane tähele, millist kolmest tegurist sa ei osanud oodata. Klõpsa valikul Täpselt piiri peal, et seada tööriist tabeli 1 km reale.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Alusta ruutudest. Sammu poolitamine kahekordistab nende arvu mõlemal küljel. Prognoosialal on kaks horisontaalsuunda, nii et üks poolitamine annab neli korda rohkem ruute. 4 km samm annab 40 × 40, 2 km samm aga 80 × 80.
  
  $N_{2 km}^{2} / N_{4 km}^{2} = \frac{8 0 ^{2}}{4 0 ^{2}} = 4$
2. Nüüd jõuame tegurini, mis inimesi üllatab. Ajasamm ei kuulu sinule. CFL seob selle ruudustikuga, mistõttu Δx poolitamine teeb poole väiksemaks ka suurima lubatud Δt. Näiteks 10 m/s tuule ja ν = 0,9 korral lubab 4 km ruudustik 360 s ajasammu ning 2 km ruudustik 180 s sammu. Ühe simuleeritud päeva sammude arv kasvab 240 pealt 480 peale.
  
  $Δ t \leq \frac{ν Δ x}{c} : \frac{0 . 9 \cdot 4000}{10} = 360 s ⟶ \frac{0 . 9 \cdot 2000}{10} = 180 s$
3. Korruta need omavahel. Neli korda rohkem ruute ja kaks korda rohkem samme tähendab ühe poolitamise kohta kaheksa korda rohkem tööd. 4 km puhul tehakse päevas 384 000 ruuduvärskendust, 2 km puhul aga juba 3 072 000. Tabeli viimases veerus on igal real kirjas 8,00. See ongi kordaja, mitte pelgalt hinnang.
  
  $Δ x 8 km 4 km 2 km 1 km 500 m cells 2 0^{2} 4 0^{2} 8 0^{2} 16 0^{2} 32 0^{2} Δ t_{m a x} 720 s 360 s 180 s 90 s 45 s steps/day 120240480960 1, 920 updates/day 48, 000 384, 000 3, 072, 000 24, 576, 000 196, 608, 000 \times 8888 4 (cells) \cdot 2 (steps) = 8 per halving$
4. Teekond 4 km sammust 500 m sammuni tähendab kolme poolitamist, seega on tegur 8³ = 512. Tabel kinnitab seda algusest lõpuni: 384 000 uuendust päevas 4 km juures, 196 608 000 uuendust 500 m juures.
  
  $8^{3} = 512$
5. Esialgsest 40 minutist saab 40 × 512 = 20 480 minutit, mis teeb tervelt kaks nädalat üheainsa ilmapäeva kohta. Just see on vastus küsimusele, miks prognoosiruudustik on sellise suurusega ja mitte nii peen, kui me kõik sooviksime. Samuti selgitab see, miks kaks korda paremat eraldusvõimet ostev keskus peab soetama kaheksa korda võimsama masina.
  
  $40 min \cdot 512 = 20, 480 min = 14.2 days$
6. Hinnang on oma olemuse osas aus. See eeldab, et töömaht ühe ruuduvärskenduse kohta ei muutu. See peab umbkaudu paika ühe advektsiooniliikme puhul, aga muutub järjest heldemaks möönduseks sedamööda, mida rikkalikumaks läheb füüsika. Samuti eeldab see, et ν püsib väärtusel 0,9. Ükski päris mudel seda lubada ei saa, sest ν peab vastu pidama ruudustiku kõige kiiremale tuulele, ning jugavool modelleerijalt arvamust ei küsi.
7. Siinkohal lehekülg ka peatub. Keskus, mis sellise aritmeetikaga silmitsi seisab, ei nõustu seda lihtsalt kinni maksma. Osa kordajast ostetakse tagasi pool-ilmutamata skeemiga, mis hiilib kiirete lainete CFL-i piirangust kõrvale, makstes selle eest igal sammul süsteemi lahendamisega. Teine osa aga võidetakse sellega, et eraldusvõimet kulutatakse ainult seal, kus seda päriselt vaja läheb. Näiteks pesastatud või muutuva eraldusvõimega ruudustiku abil. Mõlemad meetodid on reaalsed, kumbki pole tasuta ja see leht ei arvuta neist kumbagi.
Vastus

512 korda rohkem tööd, seega üheainsa prognoosipäeva jaoks kulub laias laastus kaks nädalat. Iga poolitamine toob neli korda rohkem ruute ja kaks korda rohkem samme. Kolm poolitamist teeb kokku 8³ = 512. Tegur, mida keegi oodata ei oska, on kolmas: Couranti tingimus kulutab ajasammu sinu eest.

$8^{3} = 51240 min \cdot 512 \approx 14 days$

Õpitee

Kuidas sünnib ilmaprognoos

Allikad (4)

The condition itself, published in 1928 — eighteen years before anyone integrated a forecast, and about hyperbolic equations rather than about weather: R. Courant, K. Friedrichs and H. Lewy, "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik." Mathematische Annalen 100(1), 1928, pp. 32-74. DOI 10.1007/BF01448839
The first numerical forecast that worked, and the paper that had to choose a grid and a time step to make it work: J. G. Charney, R. Fjørtoft and J. von Neumann, "Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation." Tellus 2(4), 1950, pp. 237-254. DOI 10.3402/tellusa.v2i4.8607
Richardson's 1922 attempt, which is where the subject starts and where the arithmetic first bit — his six-hour forecast of pressure change came out 145 hPa, against a real change of almost nothing: L. F. Richardson, Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge University Press, 1922.
Where the stability analysis of these two schemes is done properly, including why a second-order centred difference is unconditionally unstable for pure advection: D. R. Durran, Numerical Methods for Fluid Dynamics: With Applications to Geophysics, 2nd edition. Springer, 2010.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.